2019年全国II卷理科数学高考真题

1、12232019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2 选择题必须使用 2b 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上 答题无效。4 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小

2、题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1设集合 a=x|x25x+60，b=x|x1b，则aln(a b)0ca b 07设 ， 为两个平面，则 的充要条件是 a 内有无数条直线与 平行c， 平行于同一条直线b平均数d极差b3 bb 内有两条相交直线与 平行 d， 垂直于同一平面8若抛物线 y =2px(p0)的焦点是椭圆x3 p+yp=1的一个焦点，则 p=a2c4b3d89下列函数中，以p2为周期且在区间(p4，p2)单调递增的是af(x)=cos2xcf(x)=cosxbf(x)=sin2xdf(x)=sinx10已知 (0，p2)，2sin2=c

3、os2+1，则 sin=a15b55c33d255-,3x 2 y 211设 f 为双曲线 c： - =1(a 0, b 0)a 2 b2的右焦点，o为坐标原点，以of为直径的圆与圆x2+y2=a2交于 p，q 两点若 pq =of ，则 c 的离心率为a 2c2b 3d 512设函数f ( x)的定义域为 r ，满足f (x +1) =2 f (x )，且当 x (0,1 时， f (x) =x(x -1)若对任意x (-,m，都有f ( x ) -89，则 m 的取值范围是a -,94b -,73c -,52 8 d 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13我国高铁

4、发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率 的估计值为_14已知f ( x)是奇函数，且当 x 0)0 0 0在曲线c : r=4sin q上，直线 l过点a(4,0)且与 om垂直，垂足为 p.（1）当q0=p3时，求 及 l 0的极坐标方程；（2）当 m 在 c 上运动且 p 在线段 om 上时，求 p 点轨迹的极坐标方程. 23选修 45：不等式选讲（10 分）已知f ( x) =|x -a | x +| x -2 | ( x -a

5、 ).（1）当 a =1时，求不等式f ( x) 0的解集；（2）若x (-,1) 时， f ( x) 0 ，求 a 的取值范围.2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案1a6c2c7b3c8d4d9a5a10b11a 12b130.98156 317解：（1）由已知得，1431626； 2 -1b c 平面 abb a ， be 平面 abb a 1 1 1 1 1 1，故b c be1 1又be ec1，所以be 平面eb c1 1（2）由（1）知beb =901由题设知 aberta b e 1 1，所以 aeb =45，故 ae =ab ， aa =2 ab1以d为坐

6、标原点，da的方向为x轴正方向， | da | 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系d xyz，则c（0 ，1 ，0 ），b（1 ，1 ，0）， c （0，1 ，2），e（1，0 ，1）， cb =(1,0,0) ， ce =(1,-1,1)，1cc =(0,0,2)1设平面ebc的法向量为n =（x，y，x），则12n nn nnn nn ncbn=0, cen=0,即 x =0,x -y +z =0,所以可取n=(0, -1, -1).设平面ecc1的法向量为m=（x，y，z），则ccm=0, cem=0,即 2 z =0,x -y +z =0.所以可取m=（1，1，0）于是cos =n

7、 m 1=- | n | m | 2所以，二面角b -ec -c1的正弦值为3218解：（1）x=2就是1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙 得分因此p（x=2）=0.50.4+（10.5）（10.4）=0.5（2）x=4且甲获胜，就是1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前 两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5（10.4）+（10.5）0.40.50.4=0.119解：（1）由题设得4( an +1+b ) =2( a +b ) n +1 n n，即an +1+bn +11= ( a +b ) n n

8、又因为a +b =l，所以1 1a +bn n是首项为1，公比为12的等比数列由题设得4( a -b ) =4( a -b ) +8 ，即 a -b =a -b +2n +1 n +1 n n n +1 n +1 n n又因为a b =l，所以1 1a -bn n是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）知，a +b =n n12 n -1，a -b =2 n -1 n n所以a =n1 1 1 (a +b ) +( a -b ) = +n -2 2n 2，1 1 1 b = (a +b ) -(a -b ) = -n +2 2 n 210x000- 0 -x0xx20解：（1）f（x）的定

9、义域为（0，1）（1，+）因为f ( x ) =1 2+ 0 ，所以 f ( x) x ( x -1)2在（0，1），（1，+）单调递增因为 f（e）=1 -e +1e -10e2 -1 e 2 -1，所以 f（x）在（1，+）有唯一零点 x ，1即 f（x ）=0又10 1 1 x +10)y =kx由 x2 y 2 +4 2=1得x =21 +2 k2记u =21 +2 k2，则p(u, uk ), q ( -u, -uk ), e (u,0)于是直线qg的斜率为k k，方程为 y = ( x -u ) 2 2g1=-0 ky = ( x -u ), 2由 x 2 y 2+ =14 2得(

10、2 +k2) x2-2uk2x +k2u2-8 =0设g ( x , y ) g g，则 -u和xg是方程的解，故x =gu(3k 2 +2) uk 3 ，由此得 y =2 +k 2 2 +k2从而直线 pg的斜率为uk 3-uk2 +k 2u (3k 2 +2) k-u2 +k 2所以 pq pg ，即 pqg 是直角三角形（ii）由（i）得| pq |=2u 1 +k2，| pg |=2uk k 22 +k 2+1，所 pqg 的面积1 8k (1+k 2 ) s = | pqpg |=2 (1+2 k 2 )(2 +k 2 )=18( +k )k1 1 +2( +k )k2设 t=k+1

11、k，则由 k0 得 t2，当且仅当 k=1 时取等号因为s =8t1 +2t216在2，+）单调递减，所以当 t=2，即 k=1 时，s 取得最大值，最大值为 9因此，pqg 面积的最大值为16922解：（1）因为 m (r,0q0)在c上，当q0=p p时， r =4sin =2 3 3 3由已知得| op |=|oa | cosp3=2设q( r,q)为l上除p的任意一点在rt opq 中， rcos q-p3 =|op |=2，p经检验，点 p (2, ) 在曲线3rcosq-p3 =2上,4 2 所以，l的极坐标方程为rcosq-p3 =2（2）设p(r,q) ，在 rtoap 中， | op |=|oa | cosq=4cosq,即r=4cosq因为p在线段om上，且 ap om，故q的取值范围是pp 所以，p点轨迹的极坐标方程为r=4cosq,ppq ,4 2 23解：（1）当 a=1 时，f ( x)=|x -1| x+|x