第7章-给水管网优化设计【古柏高教】

1、第7章 给水管网优化设计,1,教育材料,管道单位长度造价与管道直径有关，可以表示为： C=a+bD (7.1) C管道单位长度造价，元/m； D管段直径，m； a、b、管道单位长度造价公式统计参数。 管道单位长度的造价包括管材、配件与附件等的材料费和施工费。 根据中国建筑工业出版社给水排水设计手册（第10册）（2000年8月第二版）“给水管道工程估算指标”，不同材料给水管道单位长度造价如表7.1所示,7.1管网造价计算,管道单位长度造价公式统计参数a、b、可以用曲线拟合当地管道单位长度造价统计数据求得。有作图法和最小二乘法两种方法,2,教育材料,例7.1】根据表7.1所给数据，试确定各种管材管

2、道单位长度造价公式统计参数a、b和,解】 （1）采用作图法求承插铸铁管参数。 作图法分为两个步骤，首先确定参统a，然后确定参数b和。 第一步以D为横座标，C为纵座标，将(C,D)的数据点画在方格坐标纸上，并且用光滑曲线连接，曲线延长后与纵轴相交，相交处的截距值即为a。如图7.1为根据铸铁管数据所作曲线，a值为100,第二步将公式改写为,如图7.2所示，在方格坐标纸上，以logD为横座标，log(c-a)为纵坐标，点画logD，log(c-a)数据，并且画一条最接近这些点的直线，该直线与logD0的纵坐标线的相交点所对应的log（c-a）值即为logblog（c-a）8.03，由此可得b=307

3、2。该直线的斜率为1.53，即=1.53。 所以，承插铸铁管造价公式为,图7.1 确定造价公式参数a,图7.2 确定参数b和,3,教育材料,2）黄金分割最小二乘法求承插球墨铸铁管造价公式参数 a、b、 已知为区间（1.02.0)的一个数值，则,式中 N为数据点数； 线性拟合均方差，元,在1.02.0区间用黄金分割法取值，代入式(7.4) (7.6)分别求得参数a、b和均方差，搜索最小均方差，直到步距小于要求值（手工计算取0.05，用计算机程序计算取0.01）为止，得a、b和值。 计算过程见表7.2 。 最后得a=112.9，b=3135，=1.5,7.4,7.5,4,教育材料,球墨铸铁和预应力

4、钢筋砼给水管造价公式,本例承插球墨铸铁给水管数据，可以计算得a=112.9、b=3135、=1.5，即承插球墨铸铁给水管单位长度造价公式为： (7.9) 相同的方法，可求得预应力钢筋砼给水管单位长度造价公式为,5,教育材料,7.2给水管网优化设计数学模型,数学模型：描述自然现象或工程对象的一个或一组数学公式。例如：给水管网水力计算环方程组、节点方程组。 优化数学模型：在一定条件下求解一个或多个最大或最小目标值的数学模型。描述目标值的数学表达式称为目标函数，需要满足的条件表达式称为约束条件。 供水管网优化设计数学模型：以管网供水成本最低为目标函数，以供水安全性最佳为约束条件的管网工程设计数学模型

5、，表达形式为经济管径或经济流速,7.2.1给水管网优化设计目标函数 给水管网优化设计的目标是降低管网年费用折算值，亦即在一定投资偿还期（亦称为项目投资计算期）内的管网建设投资费用和运行管理费用之和的年平均值。可用下式表示,7.10,式中 W年费用折算值，元/a； C管网建设投资费用，元； T管网建设投资偿还期，a；取值1520年； Y1管网每年折旧和大修费用，元/a,7.11,式中 p年折旧和大修费率，一般P=2.53.0； Y2管网年运行费用，元/a，主要考虑运行总电费,6,教育材料,7.2.2泵站年运行电费计算,泵站年运行电费按全年各小时运行电费累计计算，可用下式表示,式中 Et 全年各小

6、时电价，元/(KWh) ； 水密度，t/m3； g 重力加速度，取9.81 m/s2 ； qpt 全年各小时流量，m3/s； hpt 全年各小时扬程，m； t 全年综合效率，为变压器、电机和传动效率之积； E 最大时电价，元/KWh；qp 最大时流量，m3/s； Hp 最大时扬程，m； 泵站最大时综合效率； P管网动力费用系数，元/(m3/sma)，定义为,注： g x 24 x 365 = 85935 86000， 24 x 365 = 8760,7.12,7.13,泵站电费变化系数，即泵站全年平均时电费与最大时电费的比值，即,7.14,显然， =0，且全年各小时qpt、hpt、t和Et变化

7、越大， 值越小,7,教育材料,能量变化系数,1）泵站输水至近处水塔或高位水池（前置水塔系统），扬程基本不变(hpthp)，则,式中 Kd管网用水量日变化系数； Kh管网用水量时变化系数； Kz管网用水量总变化系数，即： Kz=KdKh,实际情况下，可以采用加权平均法近似计算能量变化系数，即,7.17,2）泵站压力稳定管网能量变化系数若泵站扬水至较远处且无地势高差，其扬程全部用于克服管道水头损失(hptqpt2)，则,7.18,7.19,式中 hp0泵站扬程hp中用于满足地形高差和用户用水压力的部分压力，m,8,教育材料,和P计算例题,设： Kd = 1.25，Kh = 1.25，E = 0.5

8、元 / KWh；h0 = 30m, hp = 45m； 0.85。 解： Kz Kd*Kh 1.575； 1/Kz 1/1.575 0.635； (Kz 1)2 + 1 / Kz3 1.33 / 3.907 0.34,P = 86000*0.537*0.5 / 0.85 = 27166,泵站年运行总电费可以表示为,式中 y2i管段i上泵站的年运行电费，元/a； Pi管段i上泵站的单位运行电费指标，元/（m3/sma）； qi管段i的最大时流量，即泵站设计扬水流量，m3/s； hpi管段i上泵站最大时扬程，m,(30/45) * 0.635 + (130/45)*0.34 0.537,泵站年运行

9、总电费可以表示为,9,教育材料,7.2.3给水管网优化设计数学模型的约束条件,给水管网优化设计计算必须满足管网水力条件和设计规范要求等，数学表达式如下： (1）水力约束条件,即给水管网恒定流方程组，其中,2）节点水头约束条件,式中 Hmaxj节点j最小允许水头（m），按不出现负压条件确定,Zj节点j的地面标高，m； Huj节点j服务水头，m，对于居民用水，一层楼10m，二层楼12m，以后每层加4m,10,教育材料,Hmaxj节点j的最大允许水头，m，按贮水设施水位或管道最大承压力确定,Hbj水塔或水池高度，m；水池为埋深，取负值； hbj-水塔或水池最低水深，m； Pmaxj节点j处管道承压能

10、力，m,3）供水可靠性和管段设计流量非负约束条件,式中， qmini 管段最小允许设计流量，必须为正值,4）非负约束条件,11,教育材料,7.2.4给水管网优化设计数学模型给水管网优化设计的目标就是求解管网中所有管段的一组管径Di，使管网的年费用折算值最小，可以用下列非线性规划数学模型表达,式中 wi 管段年费用折算值，元/a，如下式定义,7.36,7.30) （目标函数,约束条件,12,教育材料,7.2.5数学模型的求解法则（1）目标函数W不存在由qi和hi同时作为变量的极值 假设泵站为所有管段提供能量，克服该管段水头损失，且将式（3.17）代入(7.30)，则目标函数可以改写为管段流量qi

11、 和管段水头损失hi 的二元函数,对于任一已经定线的管段为常数,目标函数W存在极值的必要条件为,7.37,式中,13,教育材料,由二元函数极值判定法则，当 0时，目标函数W不存在极值，当 =0时，目标函数W不确定存在极值。 设=1.5, n=1.85, m=4.87，则n-m0，C0。因此可得： 0 。由此判定，目标函数不存在由由qi和hi同时作为变量的极值,目标函数W存在极值的充分条件证明,14,教育材料,证明： 假定管段水头损失hi已知，并视作常数，则管段流量qi为目标函数W的变量，其一阶和二阶导数分别为,2）使W最小的管段流量分配结果是枝状管网,当1.5，m4.87时，可得,和,即,由函

12、数极值法则，目标函数式（7.30）为关于变量qi的凹函数，由求解变量qi得到的目标函数极值为最大值，而不是最小值。 结论：不存在使目标函数最小的优化管段流量分配,15,教育材料,例7.3】两根并联管道如图7.3所示，假设管道水头损失为常数，该两条管段的水头损失必然相等。已知设管段长度分别为l1和l2，流量之和为q，求使目标函数达到极值的流量分配值q1和q2,设q1=q，则q2=(1-)q。目标函数可以改写成关于的函数如下,求W对的导数，并令其等于0，得,解】图示管道的目标函数为,7.41,7.42,7.43,16,教育材料,由式(7.43)整理，可得,结论：1）流量分配系数仅与两条管段的长度有

13、关； 2） 随着l2的增大而减小，即管段长度越长，管段流量越大。 显然，这样的流量分配将使管道造价增加，得到的极值是最大值，而不是最小值,17,教育材料,3）设管段流量qi已知，求解优化管段水头损失hi 假定管段流量已经分配，即qi已知，并视作常数，则管段水头损失hi为目标函数W的变量，其一阶和二阶导数分别为,当0，m0时，可得,和,结论： （1）当管网中管段流量分配已知时，以管段水头损失hi为自变量的目标函数式（7.30）为凸函数，可以求解优化管段水头损失，目标函数极值为最小值。 （2）环状管网优化设计是在管段流量已知条件下，求解使年费用折算W值达到最小的管段直径、水头损失或节点设计压力,7

14、.47,7.46,7.48,18,教育材料,本节目的：环状管网中，满足安全性条件的管段流量（经济）优化分配。 树状管网：管段设计流量可以由节点流量连续性方程直接解出，只有唯一分配方案； 环状管网：管段流量优化分配是完成管径、压力等优化计算的前提条件。 优化流量分配经济性安全性。多目标优化问题。7.3.1管段流量优化分配数学模型 假设管网中每个管段的输水费用是该管段的流量qi和长度li的非线性函数，使管网输水费用最小的管段流量优化分配的目标函数,7.3 环状管网管段流量近似优化分配计算,7.49,并必须满足节点流量连续性方程约束条件,7.50,式中，流量指数，取值区间为（0,2），长度指数，取值

15、区间为（0,1,19,教育材料,讨论： 当 0，管段输水费用随管段设计流量的增加而增加。当 1，目标函数(7.49)的解不再是树状管网，而成为环状管网。管段设计流量比较均匀地分配到各管段上。当 1，则管段流量将向输水距离较短的管线集中，安全性较差,结论： 综合考虑管网输水的经济性和安全可靠性， 一般可取1.5， 一般可取0.5左右。该数学模型可称为管段设计流量分配优化数学模型，可以求解管段设计流量分配的近似优化方案，具有工程实用意义,20,教育材料,7.3.2 管段流量分配近似优化计算,求极值原理： 由式（7.49），对qi求偏导数得： 用初分配流量泰勒公式展开，舍去非线性项，经整理变换得,2

16、1,教育材料,近似优化流量分配计算,迭代迭代公式： 计算收敛条件： 允许误差，m3/s，手工计算可取0.0001 m3/s，即0.1L/s； 计算机程序计算可取0.00001 m3/s，即0.01L/s,例7.3】某环状管网如图7.4，管段长度及初分配设计流量标于图中，进行管段设计流量近似优化计算， 取 =1.5， =0.5，eqopt= 0.1L/s,图7.6 管段设计流量分配近似优化,22,教育材料,解】从初分配管段设计流量qi开始，由公式（7.53）（7.58）分别计算各管段和环的优化迭代参数，列入计算表格中，计算过程如表7.3所示，其中的第三至第七次中间计算过程省略,23,教育材料,7

17、.4输水管优化设计,7.4.1压力输水管（水泵增压） 假设压力输水管由N个节点和N-1条管段组成，泵站设于管段1上，如图7.7 所示,泵站扬程为所有管段的头损失、地面高差和节点服务压力之和,由管网优化数学模型目标函数式(7.30)，并用公式 压力输水管优化管径计算目标函数为,写出目标函数对管径的一阶偏导数，并令其等于0，可得,24,教育材料,7.4.1压力输水管（水泵增压）(续) 整理得到输水管优化管径公式，又称经济管径公式,当输水管沿程流量不变时，成为单一管段，qiQ，经济管径公式为,7.63,式中，f为经济因素，是包括多个管网技术和经济指标的综合参数,7.65,25,教育材料,例7.5】某

18、压力输水管由3段组成，第一段上设有泵站，设计流量为160L/s，第二、三段设计流量分别为140L/s和50L/s，有关经济指标为： b=2105，=1.52，T=15，p=2.5，E=0.6， =0.55，=0.7，n=1.852，k=0.00177，m=4.87。管段长度分别为：l1=1660m，l2=2120m，l3=1350m，泵站前的吸水井水位H1=20m，管线末端地面标高H4=32m，管线末端服务压力Hf=16m。 （1）计算各管段优化管径； （2）求泵站的总扬程Hp,代入7.64式得,解】（1）计算优化管径,选用500mm管径,选用400mm管径,选用300mm管径,26,教育材料

19、,例7.5】（续） （2）计算泵站扬程,泵站扬程,m,当管道摩阻系数k=0.00177，管道的海曾-威廉系数C=100； 用海曾-威廉公式计算各管段水头损失hi,27,教育材料,7.4.2重力输水管 重力输水管依靠输水管两端的地形高差所产生的重力克服管线水头损失。 如图7.8所示，输水管线由N个节点和N-1条管段组成，起点和终点的可利用水头差，记为,依式(7.37)，略去电费项，重力输水管优化设计数学模型为,7.63,约束条件,或,7.67,7.66,7.68,28,教育材料,7.4.2重力输水管（续） 由式(7.66)和(7.67)构成的优化数学模型的拉格朗日函数为,式中，拉格朗日乘子。 求

20、F(hi)对hi的一阶偏导数，并令其等于0，得,7.69,由水力坡度 ii=hi/li ，得,7.72,令,得,7.71,29,教育材料,7.4.2重力输水管（续1） 由式(7.72)和式(7.68)组成的联立方程组,为重力输水管线的经济水力坡度方程组，可以求解各管段经济水力坡度。应用公式(7.73)可以得到各管段的优化管径,7.73,例7.6】仍用前例数据，若改用重力输水，输水管线可利用水头差为18.5m，试确定各管段直径,7.73,解】已知：管段设计流量为q1=0.16m3/s，q2=0.14m3/s，q3=0.05m3/s，管段长度为l1=1660m，l2=2120m，l3=1350m，

21、经济指标参数为 =1.52， n=1.852，m=4.87，k=0.00177。所以,30,教育材料,7.4.2重力输水管（续2,由方程组（7.73），得,解联立方程组，得：i1=0.0042, i2=0.0039, i3=0.0025,31,教育材料,7.5已定设计流量环状管网优化设计与计算,7.5.1泵站加压环状管网优化设计 （1）节点压力优化数学模型 对于环状给水管网，任意设定管网中各节点的压力水头Hj，则必然得到任一环中的管段水头损失之和等于0，每个环能量方程约束条件自然得到满足，使管网优化数学模型得到简化，成为求解管网中各节点优化压力的问题。 所以，采用节点压力作为管网优化计算未知参

22、数，具有很好的计算简便性,如图7.9所示，节点1至8为未知压力节点，其中节点7和8为水源节点，供水泵站分别从清水池和水塔加压供水，其节点流量已知，分别为两个水源的已知供水量。节点9、10和11为管网末端已知压力节点，各自要求满足最低服务压力。该管网优化设计问题是求解节点（1）（8）的优化压力。并由水源节点压力H7和H8可以计算泵站的扬程,管网优化数学模型目标函数式（7.37）可以改写为,7.74,32,教育材料,7.5.1泵站加压环状管网优化设计（续） 管网中任一管段的水头损失和水泵扬程可以分别表示为,式中， hj管段水头损失（m）， hpj连接节点j的泵站扬程（m）， Hi, Hj节点压力（

23、m），Hjd泵站加压前的水源节点水位（m,构成管网节点压力优化数学模型如下,7.78,和,7.77,令,式（7.77）简化为,33,教育材料,7.5.1泵站加压环状管网优化设计（续1） 对未知节点压力写出一阶偏导数，并令其等于0，表达式如下,式（7.79）物理意义：节点压力Hj变化对管网年费用值影响，其中，第1项表示Hj对流出节点j的管段费用影响，第2项表示Hj对流入节点j的管段费用影响，第3项表示Hj对泵站能量费用影响，当j节点无水泵时，PjQj=0,令连接j节点的所有管段虚流量之和为Qj，并称Qj为节点j的节点虚流量，则,7.80,7.79,式中，流入j的管段虚流量为负值，流出j的管段虚流

24、量为正值,式（7.79）可以改写为如下形式,令,并定义为管段jk的管段虚流量,7.82,34,教育材料,7.5.1泵站加压环状管网优化设计（续2） 由式(7.80)，节点虚流量的值为,结论：一般节点上的管段虚流量之和等于0，节点虚流量等于0，泵站节点上的管段虚流量之和等于 PjQj，节点虚流量等于PjQj,式（7.83）称为节点虚流量连续性方程组，简称节点虚流量方程组，即节点压力优化数学模型,7.83,可以得到经济管径公式,2) 泵站加压环状管网经济管径公式 将管段虚流量公式（7.81）还原展开，得,7.85,35,教育材料,7.5.1泵站加压环状管网优化设计（续3） 式中，f称为管网经济因素

25、系数,3）泵站加压环状管网节点压力优化计算 1）节点压力优化线性化方程组求解 设定一组节点压力初始值，节点虚流量方程(7.83)可以转化为线性方程,式(7.88)可以简写为,7.88,对于泵站出流管段，其管段虚流量,经济管径,7.87,令,7.89,36,教育材料,7.5.1泵站加压环状管网优化设计（续4） 将(7.89)应用泰勒公式展开，仅保留一次项，可得,由此，节点压力优化计算方程组转化为求解节点压力校正值Hj的迭代方程组,式(7.91)可以写成矩阵方程,7.91,7.93,7.90,设系数矩阵B的元素为vjk，C为右边向量，其中元素为cj，则,37,教育材料,7.5.1泵站加压环状管网优

26、化设计（续5） 如图7.9所示管网，设未知压力节点的初始压力水头初始值为Hj(0)，各管段的初始系数矩阵元素为,则管网节点压力优化计算的矩阵方程为,7.94,求解方程组（7.94），得到全部优化节点压力 Hj，并计算经济管径,泵站扬程为,和,38,教育材料,7.5.2 起点水压已知的重力供水环状管网优化设计 （1）重力供水环状管网节点优化压力计算方法 水源位于高地（例如高地水池和水塔）的供水管网系统，依靠重力克服管网水头损失，属于起点水压已知的重力输水管网系统。求解经济管径的目标是充分利用管网中的地形高差，使管网建设费用和维护费用之和最小。重力供水管网动力费用为0,采用管网节点压力作为优化计算

27、变量，重力供水管网节点压力优化数学模型如下,式中，选定路径i为管网起点到最不利压力节点的管段组合，Hdi为第i路径的可利用重力水头，即该路径的允许最大水头损失,如图7.11所示，起端节点为7和8，最不利压力节点为9，10和11。存在多条选定路径，如管段1、5、8、11和12，管段1、5和10，管段4和7，均可为选定路径。目标函数中包含了已知节点压力，约束条件已经得到满足,7.99,39,教育材料,7.5.2 起点水压已知的重力供水环状管网优化设计 （1）重力供水环状管网节点优化压力计算方法（续） 设定图7.11所示重力供水管网中未知节点压力的初始值为Hj(0)，可得节点16的节点压力优化计算矩

28、阵方程,7.100,校正节点压力迭代计算公式和经济管径公式,图7.11,7.101,40,教育材料,7.5.2 起点水压已知的重力供水环状管网优化设计 （2）重力供水环状管网优化管径计算公式 应用前述泵站供水管网中管段虚流量和节点虚流量的推导方法，亦可得到重力供水管网的管段虚流量公式,起端压力已知的管段，如图7.11中的管段1和4，管段虚流量为,7.106,7.105,式中，Hj0，Hle0为路径起点和终端的已知压力，hl为路径中一个管段的水头损失,将式(7.105)代入经济管径公式,得重力供水环状管网经济管径公式,41,教育材料,7.6管网近似优化计算,为了减轻人工计算工作量，在工程可以采取一些近似方法，只要运用优化设计的理论指导，方法使用得当，可以保证较好的优化设计效果,7.6.1管段设计流量的近似优化分配 工程实践表明，管段设计流量分配对管网经济性影响不显著，其最主要影响是供水安全性。在工程设计中，遵守以下原则进行管段流量分配是可行： （1）