北师大八年级下册-第1讲-等腰三角形与直角三角形讲义

1、等腰三角形与直角三角形 【知识梳理】 1、等腰三角形及其性质 (1)有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角 (2)性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 2、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 3.一般地，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形 等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45 4、直角三角形的性质:直角三角形ABC可以表示为RtABC (1)直

2、角三角形中，如果两条直角边为a、b，斜边为 c，斜边上的高为h，那么它们存在这样的关系：或h=abc. (2)定理：直角三角形的两个锐角互余 推理过程：在ABC中，C90， AB90（或A90B，B90A） 说明：这一定理应用的前提是Rt，已知一个锐角，求另一个角 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形，可以作为判定三角形是直角三角形的方法 (3) 定理：在直角三角形中，如果一个锐角为30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 推理格式：在ABC中，C90，A30，BC12AB (4)定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30 推理格式： 在ABC中，C90

3、，BC12AB， A30 【典型例题】 知识点一：等腰三角形 考点一：等腰三角形的判断与证明 例1、如图，ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：EBO=DCO；BEO=ODC；BE=CD；OB=OC （1）上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形） （2）选择第（1）题中的一种情形，证明ABC是等腰三角形 分析： 这是一道开放型的题目，考虑分析各种情形，从中选出适合题意的情形 解： （1）， （2）选择来证明结论成立 已知：EBO=DCO， OB=OC 求证：ABC是等腰三角形 证明：OB=OC，OBC=OCB 又EBO=D

4、CO，ABC=ACB， AB=AC ABC为等腰三角形 例2、如图，在ABC中，AB=AC，O为ABC内一点，且OB=OC求证：AOBC 证明： 延长AO交BC于D 在ABO与ACO中 ， ABOACO， BAO=CAO，即BAD=CAD， AOBC 考点二：利用等腰三角形求度数 例3、如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE求A的度数 分析： 本题中没有给出一个角的度数，而要求A的度数，必然是运用三角形内角和定理，其解题思路是设某一个角的度数为x，其他各角都能用x的代数式表示，列出代数方程求解 解： 设A=xAD=DE=EB DEA=A=x，EBD=EDB

5、 又DEA=EBDEDB， EBD=EDB=x2 BDC=AABD=32x BD=BC，AB=AC， BDC=BCD=ABC=32x 在ABC中，AABCACB=180， 即x+32x+32x=180， x=45，即A=45 例4、AD和BE是ABC的高，H是AD与BE或是AD、EB延长线的交点，BH=AC，求ABC的度数 （1）当H是AD与BE的交点时， BE、AD是ABC的高， 4=3=5=90， 1C=2C=90， 2=1 又BH=AC，BHDACD， BD=AD，DBA=6 又6DBA=90， DBA=45，即ABC=45 （2）当H是AD、EB延长线的交点时， BE、AD是ABC的高

6、， 3=2=90，4=90， 1H=90，CADH=90， 1=CAD 又BH=AC， DBHDAC， DB=DA， 5=6 又56=90，6=45， ABC=18045=135 故ABC的度数为45或135 考点三：几种辅助线作法：证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“截长”、“补短”等方法 例5、如图，已知AD是ABC的角平分线，B=2C，求证：AC=ABBD（你可以用不同的方法证明吗） 方法一： （截长法）在AC上截取AE=AB，连接DE 因为AD平分BAC，所以2=1 又因为AD=AD，所以BADEAD（SAS） 所以BD=ED所以3=B=2C 因为3=C4， 所以2C=C4，所以C

7、=4， 所以DE=CE所以CE=BD 所以AC=AEEC=ABDB 方法二： （补短法）如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE，所以E=1 因为2=E1=2E， 又因为2=2C（已知），所以C=E 因为4=3，AD=AD，所以ADCADE（AAS）， 所以AC=AE 因为AE=ABBD，所以AC=ABBD 例6、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？ 如图，已知ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF求证：EFBC 方法一： 解： 首先，小明根

8、据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AGBC于G这一条辅助线，如图 证明1： 过A作AGBC于G AB=AC，3=4 又AE=AF，1=E 又34=1E， 3=E， AG/EF， EFBC 方法二：接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AHEF于H这条辅助线，如图 证明2： 过A作AHEF于H AE=AF，EAH=FAH 又AB=AC，B=C 又EAHFAH=BC， EAH=B， AH/BC， EFBC 方法三：小彬也作出了一条辅助线，过C作MCBC交BA的延长线于M，如图 证明3： 过C作MCBC交BA的延长线于M，则12=90 AE=AF，AEF

9、=AFE， EAF=1802AFE 又AB=AC，B=1 又EAF=B1，EAF=21， 21=1802AFE， 1AFE=90， 2=AFE， DE/MC， EFBC 方法四：小颖的作法是：过E作ENEF交CA的延长线于N，如图 证明4： 过E作ENEF交CA的延长线于N，则12=90 AE=AF， 2=AFE，EAF=18022 又AB=AC，B=C，EAF=BC=2B， 2B=18022，B2=90， 1=B，EN/BC， EFBC 方法五：小虎的作法是：过E点作EP/AC交BC的延长线于P，如图 证明5： 过E作EP/AC交BC的延长线于P，则AFE=2，3=P 又AE=AF，1=AF

10、E， 1=2 又AB=AC，B=3， B=P，EB=EP， EFBC 方法六： 大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？ （如图） 证明6： AE=AF， 1=E 又2=1E， 2=2E 又AB=AC，B=C， 2=1802B， 2E=1802B， 即EB=90， 3=18090=90， EFBC 例7、如图，在ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，AD=BD求证：CDAC 证明： 取AB的中点E，连结DE AD=BD， DEAB， 3=90 又AB=2AC，AB=2AE， AE=AC 又1=2，AD=AD， AEDACD， 3=ACD，ACD

11、=90， CDAC 例8、ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F求证：DF=EF 过E作EG/AB交BC的延长线于G，则G=B 又AB=AC，B=1 又1=ECG， G=ECG，CE=GE 又BD=CE，BD=GE 又BFD=GFE， BDFGEF， DF=EF 知识点二：直角三角形 考点一：30所对的直角边等于斜边的一半 例1 （将一个有45角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角，如图，则三角板的最大边的长为（ ） A3cm B6cm C32cm D62cm

12、 思路分析： 过另一个顶点 C 作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半，可求出有45角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边 点评：此题考查的知识点是含30角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边 例2.如图，ACB = ADB = 90，AC = AD，E是AB上的一点。求证：CE = DE。 分析：这里要证明两次三角形全等。 例3.如图，在ABC中，B=C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。 例4.在ABC中，AB=AC，0120?BAC，ACAD?于A （1）求BAD?的度数 （2

13、）证明：DC=2BD 变式训练 如图4，在ABC中，BDDC，若ADAC，BAD30求证：AC 12 AB 考点二：利用直角三角形的性质证明 例5、如图所示，已知ABAE，BCED，BE，AFCD，F为垂足，求证：CFDF. 分析： 要证CFDF，可连接AC、AD后，证ACFADF即可. 证明： 连结AC、AD.在ABC和AED中， 所以ACAD（全等三角形的对应边相等）. 因为AFCD（已知），所以AFCAFD90（垂直定义）. 在RtACF和RtADF中 ， 所以RtACFRtADF（HL）.所以CFDF（全等三角形的对应边相等）. 例6、ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE、D

14、F分别垂直于AB、AC，垂足为E、F.求证BECF. 证明：在AED和AFD中， AEDAFD（AAS）. DE=DF（全等三角形的对应边相等）. 在RtBDE和RtCDF中， RtBDERtCDF（HL）. BE= CF（全等三角形的对应边相等）. 例7、已知：如图所示，AD为ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD. （1）求证：BEAC； （2）若把条件BF=AC和结论BEAC互换，那么这个命题成立吗？ 1）证明：ADBC（已知），BDA=ADC=90（垂直定义）， 12=90（直角三角形两锐角互余）. 在RtBDF和RtADC中 ， RtBDFRtADC（

15、HL）. 2=C（全等三角形的对应角相等）. A B C D 图4 12=90（已证），所以1C=90. 1CBEC=180（三角形内角和等于180）， BEC=90. BEAC（垂直定义）； （2）命题成立BEAC，ADBC， BDF=ADC=90（垂直定义）. 1C=90，DACC=90. 1=DAC（同角的余角相等）. 在BFD与ACD中 ， BFDACD（AAS）. BF=AC（全等三角形的对应边相等）. 例8、如图所示，已知12，ADBD4，CEAD，2CEAC，那么CD的长是（ ） A2 B3 C1 D1.5 分析： 在RtAEC中，由于2CEAC ，可以得到1230又ADBD4，

16、得到B230，从而求出ACD90，由直角三角形的性质求出CD 解： 在RtAEC中，2CE AC， 1230， ADBD4， B230， ACD18030390， CDAD2 故选A 例9、已知：如图，在RtABC和RtBAD中，AB为斜边，ACBD，BC，AD相交于点E (1) 求证：AEBE； (2) 若AEC45，AC1，求CE的长 分析： （1）由直角三角形全等判定定理（HL）证明RtABCRtBAD，得ABCBAD，AEBE（2）ACE为等腰直角三角形，CEAC1 解： (1)方法1： 在RtACE和RtBDE中， ABBA，ACBD， RtACERtBDE（HL）， ABCBAD，

17、 AEBE 方法2 ：在 Rt ACE和RtBDE中， AEC与BED是对顶角， AECBED CD90， ACBD RtACERtBDE（AAS）， AEBE (2) AEC45，C90， CAE45 CEAC1 达标测试： 1、如图，ABC中，AB=AC，BAD=30，且AD=AE，则EDC等于（A ） A15 B20 C25 D30 2等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ C ） A25 B25或32 C32 D19 3、如图，A=15，AB=BC=CD=DE=DF，则DEF为（D） A90 B75 C70 D60 4、已知等腰三角形ABC的底边BC=8cm，且|AC

18、BC|=2cm，则腰AC的长为（A ） A10cm或6cm B10cm C6cm D8cm或6cm 5、具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ C） A顶角，一腰对应相等 B底边一腰对应相等 C两腰对应相等 D一底角，底边对应相等 6、如图，D、E分别是ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（ B） A当B为定值时，CDE为定值 B当为定值时，CDE为定值 C当为定值时，CDE为定值 D当为定值时，CDE为定值 7如图122所示，在ABC中，ABAC，点D在AC上，且BDBCAD，则A等于 ( D ) A30 B40 C45 D36 8在等腰梯形ABCD中，AB

19、C2ACB，BD平分ABC，ADBC， 如图123所示，则图中的等腰三角形有 ( D ) A1个 B2个 C3个 D4个 9、下列结论中错误的是（C ） A一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 B一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D有一条直角边和斜边上的高线对应相等的两直角三角形全等 10、如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若A50，则BPC的度数是（ D） A150 B130 C120 D100 11、如图，ABC中，ACB90，在AB上截取AEAC，BDBC，则DCE等于（ A

20、） A45 B60 C50 D65 12、如图，已知ADBACB90，ACBD，且AC、BD交于点O，则下列说法正确的有（D ）ADBCDBCCAAOBOABCDO为等腰三角 13.如图，已知AB是等边三角形，在同一直线上，CG=CDF=D，则E 15 度 14已知ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= 3 15、如图，ABC中，C90，ABC60，BD平分ABC，若AD6，则CD_ 解：C90，ABC60， A30， BD平分ABC， CBDABDA30， BDAD6， CDBD6 3 16如图，ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DFAC

21、于F交BC于E， ?求证：DBE是等腰三角形 17.已知：如图，ABC?是等边三角形，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE,DE交BC于F,求证：BF=CF+CE 18.如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，D为AC的中点，AEBD于F交BC于E求证：ADB=CDE 证明： 过C作CGAC交AE的延长线于G，则ACG=12=90 又8=90，75=90 又67=90，5=6 又BAD=ACG=90，AB=CA， ABDCAG，AD=CG，3=G 又AD=DC，DC=GC 又AB=AC，ABC=1 又ABC1=90，1=45，2=45，即1=2 又CE=CE，CDECGE， 4

22、=G， 3=4 课后作业： 【巩固练习】 1已知等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是40，那么它的顶角是（ C ） A40, B50, C80, D100 2已知等腰三角形周长为10，则底边长a的取值范围是（ C ） A5a10, B2.5a5 C0a5, D0a2.5 3如图124，在 ABCD中，已知AD8cm，AB6cm，DE平分ADC交BC边于点E，则BE等于（ A ） A2 cm B4 cm C6 cm D8 cm 4下面几种三角形： 有两个角为60的三角形； 三个外角都相等的三角形； 一条边上的高也是这条边上的中线的三角形； 有一个角为60的等腰三角形 其中是等边三角形的有 ( B ) A4个 B3个 C2个 D 1个 5、如图，在ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，FDE=，则下列结论正确的是（A） A2A=180 BA=90 C2A=90 DA=18