圆锥曲线的综合应用（课堂PPT）

1、1,2,第十一单元 直线与圆、圆锥曲线与方程,3,第79讲,圆锥曲线的综合应用,4,掌握探究与圆锥曲线相关的最值问题、定点与定值问题、参变数取值范围问题的基本思想与方法，培养并提升运算能力和思维能力,5,1.已知R,则不论取何值，曲线C：x2-x-y+1=0恒过定点(,D,A.(0,1) B.(-1,1) C.(1,0) D.(1,1,由x2-x-y+1=0,得(x2-y)-(x-1)=0. x2-y=0 x=1 x-1=0 y=1, 可知不论取何值,曲线C过定点(1,1,依题设,即,6,2.已知kR,直线y=kx+1与椭圆 =1恒有公共点,则实数m的取值范围是,1,5)(5,由于直线y=kx

2、+1过定点P(0,1)，则当P(0,1)在椭圆上或椭圆内时，直线与椭圆恒有公共点，因此m且m5,求得m1,5)(5,7,3.双曲线x2-y2=4上一点P(x0,y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q，已知O为坐标原点，则POQ的面积为定值,1,如图,双曲线x2-y2=4的 两条渐近线为y=x, 即xy=0. 又|PQ|= , |PR|= ， 所以SPOQ= |PQ|PR|= =1,8,4.已知定点A(2,3),F是椭圆 =1的右焦点,M为椭圆上任意一点,则|AM|+2|MF|的最小值为,6,由于点A在椭圆内，过M点作椭圆右准线x=8的垂线，垂足为B. 由椭圆第二定义，得2|MF|=|MB|，

3、则|AM|+2|MF|AM+|BM|， 当A、B、M三点共线且垂直于准线时，|AM|+2|MF|的最小值为6,9,1.基本概念 在圆锥曲线中，还有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题.而当某参数取不同值时，某几何量达到最大或最小，这就是我们指的最值问题.曲线遵循某种条件时，参数有相应的允许取值范围，即我们指的参变数取值范围问题,10,2.基本求法 解析几何中的最值和定值问题是以圆锥曲线与直线为载体，以函数、不等式、导数等知识为背景，综合解决实际问题，其常用方法有两种： (1)代数法：引入参变量，通

4、过圆锥曲线的性质，及曲线与曲线的交点理论、韦达定理、方程思想等，用变量表示(计算)最值与定值问题，再用函数思想、不等式方法得到最值、定值,11,2)几何法：若问题的条件和结论能明显的体现几何特征，利用图形性质来解决最值与定值问题. 在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找.对于圆锥曲线的参数的取值范围问题,解法通常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时,12,可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式（如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时0等），通过解不等式（组）求得参数的取值范围；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可

5、先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域,13,题型一 定点问题,例1,已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一动点，且满足| | |= . (1)求点P的轨迹C的方程； (2)已知点M(m,2)在曲线C上，过点M作直线l1、l2与C交于D、E两点，且 l1、l2的斜率k1、k2满足k1k2=2,求证：直线DE过定点，并求此定点,14,1)设P(x,y),则 =（1-x,-y), =(-1-x,-y), =(-2,0), =(2,0). 因为| | |= ， 所以 2=2(x+1),即y2=4x, 所以点P的轨迹C的方程为y2=4x . (2)证明:由(1)知M(1,2),设D( ,y1

6、),E( ,y2), 所以k1k2= =2, 整理得(y1+2)(y2+2)=8.,15,kDE= = =k,所以y1+y2= . 由知y1y2=4- , 所以直线DE的方程为y-y1= (x- ), 整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0, 即4x- y+4- =0,即(x+1)k-(y+2)=0, 所以直线DE过定点(-1,-2,16,与圆锥曲线有关的定点问题的探求一般途径是恰当引入参变量，将题设转化为坐标关系式，然后通过分析参变量取符合题设条件的任何一个值时，坐标关系式恒成立的条件，而获得定点坐标,17,题型二 定值问题,例2,如图，F1(-3,0),F2(3,0)是双曲线C的两焦点

7、,其一条渐近线方程为y= x,A1、A2是双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于A2的一 动点，直线A1P,A2P交直线 x= 分别于M、N两点. (1)求双曲线C的方程； (2)求证： 是定值,18,1)由已知，c=3, = . 又c2=a2+b2，所以a=2,b=5. 所求双曲线C的方程为 =1. (2)证明：设P的坐标为(x0,y0),M、N的纵坐标分别为y1、y2, 因为A1(-2,0),A2(2,0), 所以 =(x0+2,y0), =(x0-2,y0), =( ，y1), =(- ,y2,19,因为 与 共线， 所以(x0+2)y1= y0,y1= . 同理y2=- . 因为

8、 =( ,y1), =(- ,y2), 所以 =- +y1y2=- - =- - =-10，为定值,20,题型三 范围与最值问题,例3,设F1、F2分别是椭圆 +y2=1的左、右焦点. (1)若P是该椭圆上的一个动点,求 的最大值与最小值； (2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围,21,1)由方程易知a=2,b=1,c=3， 所以F1(- ,0),F2( ,0). 设P(x,y),则 =(- -x,-y)( -x,-y) =x2+y2-3 =x2+1- -3 = (3x2-8). 因为x-2,2，所以0 x2

9、， 故 的最大值为1，最小值为-2,22,2)显然直线x=0不满足题设条件， 可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2 +y2=1,消去y,整理得 (k2+ )x2+4kx+3=0. 所以x1+x2= ,x1x2= . 由=(4k)2-4(k2+ )3=4k2-30, 解得k 或k- .,联立方程组,23,又00, 得 0, 所以 =x1x2+y1y20. 又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4 = + +4= . 所以 + 0,即k24. 结合、知,k的取值范围是(-2,- )( ,2,24,圆锥曲线中求最值与范围问

10、题是高考题中的常考问题，解决此类问题，一般有两个思路：（1）构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解（如本题第（2）问）；（2）构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解（如本题第（1）问）.在解题的过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等,25,抛物线有光学性质，由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线的对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p0),一光源在点M( ,4)处， 由其发出的光线沿平行于抛 物线的对称轴的方向射向抛 物线上的点P,折射后又射向 抛物线上的点Q,26,再折射后，又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出，途中遇到直线l:2x-

11、4y-17=0上的点N，再折射后又射回点M. (1)设P、Q两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),证明：y1y2=-p2; (2)求抛物线的方程； (3)试判断在抛物线上是否存在一点,使该点与点M关于PN所在的直线对称?若存在,请求出此点的坐标;若不存在,请说明理由,27,1)证明:由抛物线的光学性质及题意知，光线PQ必过抛物线的焦点F( ,0),设直线PQ的方程为y=k(x- ). 由式得x= y+ ,将其代入抛物线的方程y2=2px中,整理得y2- y-p2=0, 由韦达定理得y1y2=-p2. 当直线PQ的倾斜角为90时，将x= 代入抛物线方程得y=p,同样得到y1y2=-p2

12、,28,2)设光线QN经直线l反射后又射向M点， 所以直线MN与直线QN关于直线l对称. 设点M（ ，4）关于l的对称点为M(x,y), =-1 x= -17=0 y=-1,则,解得,29,直线QN的方程为y=-1,Q点的纵坐标为y2=-1. 由题设P点的纵坐标为y1=4, 由(1)知y1y2=-p2,则4(-1)=-p2得p=2, 故所求抛物线的方程为y2=4x. (3)将y=4代入y2=4x得x=4， 故P点的坐标为（4，4）. 将y=-1代入直线l的方程2x-4y-17=0, 得x= ，故N点的坐标为( ,-1). 由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y-12=0,30,设M点关于直

13、线NP的对称点M1(x1,y1), (-2)=-1 x1= -12=0 y1=-1, 即M1( ,-1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解， 故抛物线上存在一点（ ，-1）与点M关于直线PN对称,则,解得,31,本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力.对称问题是直线方程的一个重要应用.对称问题常有：点关于直线对称，直线关于直线对称、圆锥曲线关于直线对称，圆锥曲线关于点对称问题，但解题方法是一样的,32,1.若探究直线或曲线过定点，则直线或曲线的表示一定含有参变数，即直线系或曲线系，可将其方程变式为f(x,y)+g(x,y)=0(其中为参变数)

14、，由 f(x,y)=0 g(x,y)=0确定定点坐标,33,2.在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形. 3.解析几何中的最值问题，或数形结合，利用几何性质求得最值，或依题设条件列出所求最值关于某个变量的目标函数，然后应用代数方法求得最值,34,2007江西卷)设椭圆 =1(ab0)的离心率为e= ，右焦点为F(c,0)，方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1,x2)(,必在圆x2+y2=2内 B. 必在圆x2+y2=2上 C. 必在圆x2+y2=2外 D. 以上三

15、种情形都有可能,A,35,椭圆的离心率为e= ，故a=2c,b= c, 代入ax2+bx-c=0, 得2x2+3x-1=0，所以x1+x2=- ，x1x2=- . 故P(x1,x2)到圆心(0,0)的距离， d= = = = 2, 所以点P在圆内，故选A,36,2009浙江卷)已知椭圆C1： =1(ab0)的右顶点为A(1，0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C1的方程； (2)设点P在抛物线C2： y=x2+h(hR)上，C2在 点P处的切线与C1交于 点M、N.当线段AP的中 点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值,37,b=1 a=2 2 =1 b=1. 因此，所求的椭圆方程为 +x2=1. (2)设M（x1,y1）,N(x2,y2),P(t,t2+h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y|x=t=2t，直线MN的方程为：y=2tx-t2+h.将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0.即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.,1)由题意，得,从而,38,因为