（江苏专用）2020高考数学二轮复习 综合仿真练（三）

1、综合仿真练(三)1已知向量m(cos x，1)，n(sin x，cos2x)(1)当x时，求mn的值；(2)若x，且mn，求cos 2x的值解：(1)当x时，m，n，所以mn. (2)mncos xsin xcos2xsin 2xcos 2xsin，若mn，则sin，即sin，因为x，所以2x，所以cos， 则cos 2xcoscoscossinsin.2.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点(1)求证：MN平面AA1C1C；(2)若CC1CB1，CACB，平面CC1B1B平面ABC，求证：AB平面CMN.证明：(1)法一： 取A1C1的中点P，连结AP，NP.因

2、为C1NNB1，C1PPA1，所以NPA1B1，NPA1B1.在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1AB，A1B1AB.所以NPAB，且NPAB.因为M为AB的中点，所以AMAB.所以NPAM，且NPAM，所以四边形AMNP为平行四边形，所以MNAP.因为AP平面AA1C1C，MN平面AA1C1C，所以MN平面AA1C1C.法二： 取BC的中点Q，连结NQ，MQ.由三棱柱可得，四边形BCC1B1为平行四边形又Q，N分别为BC，B1C1的中点，所以CQC1N，CQC1N，所以四边形CQNC1为平行四边形所以NQCC1.因为NQ平面MNQ，CC1平面MNQ，所以CC1平面MNQ.因为AMMB，CQ

3、QB，所以MQAC.同理可得AC平面MNQ.因为AC平面AA1C1C，CC1平面AA1C1C，ACCC1C，所以平面MNQ平面AA1C1C.因为MN平面MNQ，所以MN平面AA1C1C.(2)因为CACB，M为AB的中点，所以CMAB.因为CC1CB1，N为B1C1的中点，所以CNB1C1.在三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，所以CNBC.因为平面CC1B1B平面ABC，平面CC1B1B平面ABCBC，CN平面CC1B1B，所以CN平面ABC.因为AB平面ABC，所以CNAB.因为CM平面CMN，CN平面CMN，CMCNC，所以AB平面CMN.3.(2019海门中学模拟)某城市有一矩形

4、街心广场ABCD，其中AB4百米，BC3百米，在其中心P处(AC中点)有一观景亭现将挖掘一个三角形水池PMN种植荷花，其中M点在BC边上，N点在AB边上，满足MPN45.设PMC.(1)将PM表示为角的函数，并求出cos 的取值范围；(2)求水池PMN面积的最小值解：(1)矩形ABCD，AB4百米，BC3百米，AC5百米，P为AC中点，APCP百米设ACB，则且sin ，cos 在CPM中，即 PM，当点M在B处时，即为PBCPCB，则cos ，当点N在B处时，PBC，cos coscos 的取值范围为(0). (2)在APN中，即，PNSPMNPMPNsin 当2，即(0，)时，sinmax

5、1，则(SPMN)min3(1)此时cos 符合条件答：水池PMN面积的最小值为(33)百米2.4.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率过点T(1,0)作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；(3)记直线l与y轴的交点为P.若，求直线l的斜率k.解：(1)因为椭圆C：1经过点(b,2e)，所以1.因为e2，所以1，又a2b2c2，1，解得b24或b28(舍去)所以椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为T(

6、1,0)，则直线l的方程为yk(x1)联立直线l与椭圆方程消去y，得(2k21)x24k2x2k280，所以x1x2，x1x2.因为MNl，所以直线MN的方程为ykx，联立直线MN与椭圆方程消去y得(2k21)x28，解得x2.因为MNl，所以，因为(1x1)(x21)x1x2(x1x2)1，(xMxN)24x2.所以.(3)在yk(x1)中，令x0，则yk，所以P(0，k)，从而(x1，ky1)，(x21，y2)，x1(x21)，即x1x2，由(2)知x1x2，联立得x1，x2.又x1x2，50k483k2340，解得k22或k2(舍去)又因为k0，所以k.5数列an中，对任意给定的正整数n

7、，存在不相等的正整数i，j(ij)，使得anaiaj，且in，jn，则称数列an具有性质P.(1)若仅有3项的数列1，a，b具有性质P，求ab的值；(2)求证：数列具有性质P；(3)正项数列bn是公比不为1的等比数列若bn具有性质P，则数列bn至少有多少项？请说明理由解：(1)数列1，a，b具有性质P 或ab2或ab2；(2)证明：假设存在不相等的正整数i，j(i0且q1，则bnb1qn1.数列bn具有性质P存在不相等的正整数i，j(ii1，且i，jN*，ij21若ij21，即b1，b21，b3q要使b1bibj，则必为bn中的项，与b1矛盾；ij21若ij22，即b1，b2，b31，b4q，

8、要使b1bibj，则必为bn中的项，与b1矛盾；ij22若ij23，即b1，b2，b3，b41，b5q，b6q2，b7q3, 这时对于n1,2，7，都存在bnbibj，其中i0)，g(x)ln x2.(1)当m1时，求函数f(x)的单调增区间；(2)设函数h(x)f(x)xg(x)，x0.若函数yh(h(x)的最小值是，求m的值；(3)若函数f(x)，g(x)的定义域都是1，e，对于函数f(x)的图象上的任意一点A，在函数g(x)的图象上都存在一点B，使得OAOB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点求m的取值范围解：(1)当m1时，f(x)xln x，f(x)ln x1.因为f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)0，所以当x1时，f(x)0；当0x1时，f(x)0.所以函数f(x)的单调增区间是(1，)(2)h(x)2x，则h(x)2，令h(x)0，得x ，当0x 时，h(x) 时，h(x)0，函数h(x)在上单调递增所以h(x)minh2.当(21) ，即m时，函数yh(h(x)的最小值h(2)，即17m2690，解得1或(舍去)，所以m1.当0(21) ，即m0在1，e上恒成立，所以函数y在1，e上单调递增，故kOB，所以kOA，即ln xe在1，e上恒成立，即x2ln xmx2(eln x)在1，e上恒成立设p(x)x2l