无穷级数习题解答

1、无穷级数判断下列级数的敛散性，若收敛，求出其和1、解:c Z (Jn +2-2n +1 + 蘇)n 1因为nSn =S (Jk +2 2ji+jk )kn =z( Jk + 2)-(J-7ik 讣k L=(Jn +2 - Jn +1(血-历)1+1-近Jn +2 + J n +1所以lim Sn =1 -72?n nOC Z (Jn +2 -n +1 + 石)=1 -72n ztC2、解:1因为nm矿1 十0, lim 73所以壬发散。n=i v33、 3nn n1(1 +n)n解:Tnm（1+）nn3处 3nn= 3hO，所以送 3n 发散。 enm(1+ n)n织+字n 4 l2 3 /4

2、、C 1 OC解：&+躬=L?+詁总+茂 2注：常用极限及公式:f 1lim Ta =1, (a 0), lim 折=1, lim I1 +- I =e. n并n性5 I n丿S, =2；【f(k+1)-f(k)=f( n+1)-f(1) ,|q|1,2： aqn a1 q用比较判别法判断下列正项级数的敛散性1、2 11nm IJI -COS n解：因为Un2兀兀2 si-n 22n 2n而级数兀2n2n2Cs1 .- 送冷收敛，故S 11 -2n解：因为而级数cos】收敛。n丿5川、(2n 1)2nUn =3 5川(2n -1)13 丿C收敛，故S2n收敛。n壬3 II (2n -1)解：因

3、为 un =-n l2n+5 丿C八 J而级数.g丿收敛，J2n +5 丿收敛。CQn4、送一-n 七 n1)3n解：因为 un =2一 P,lim UnnC(3)由nm人弋0知=处HO，此时级数发散;对 =玉，3 N,当2boa0n-H。，此时级数发散;N时，成立alb(i AnVaobO故当n N时成立12b0 n P/ Un w 2bo na。3ao当P a +1时，由右端不等式可知级数收敛,当P =a +1时，由左端不等式可知级数发散。综上:P a +1时，级数收敛，P N时，成立a。2boAn3ao*2130I An -a0bo故当时，成立a012bo尹毛Un3a012bo严据此不等

4、式，由正项级数的比较定理得 P(n)与f -U同敛散。 nQ(n) 心 n故 P A Ct +1时，级数收敛,P 0可知，Z r 1 Fb0P(-knmQ( n) sY同敛散。1n +1解：由不等式 l nn1 1-n n +1n +1n +1可知0 :缩小分子放大分母（放到最4n2V 5n345n3n2 +15n3+23n27n33=。7n2.常用不等式:|, SinX ex; X 0,x+11X+10，则送un(un羽YVnn4与 vn （vn0）的敛散性有何关系？ni解：由lim Un=k可知，对s = k, Wn,当n N时，成立YVn2，即VnVn3k，故2k3k?Vn Un 肓 V

5、n由该不等式和正项级数的比较判别法可知,与S vn同敛散。n 二注：该结论称为正项级数比较判别法的极限形式。四、证明：若正项级数 h an发散，则-a-心1 +an发散，但nz1 a； 收敛。nrn 1 +n an证明:An=”)，则3C反证：假定S -a收敛,n zi1 + an补充：从而,im|n= limY1 一代Jim(1-A)=1,故由上题结论可知 送an收敛，矛盾。n=1an2又an20, Wn,当n N时MP（卯 口）.2 ak VSk兰+否定形式c级数送ann发散的充要条件是：3坯0, PN及某自然数P ,使得Mp无 ak So.心*1五、设正项级数Z an发散,n 二而Snn

6、=2 ak，试证明: kK a收敛(1) s an 发散;nzt Sn证明：(1)因 an 0, SnL ,所以n十a z玉 kzB十 Skn4p无ak kJ十Sn4pSn4p因为SnT址，故Wn当p亡LI充分大时，有处a所以送並发散。nz1 Snn加a 送玉 k=a+ SkC注：对2耳仕的发散性可利用不等式:nz SnSn+ Sn _ tI7Sn+十 n51Sn51an +Sn级数Z In 世发散因其部分和序列:n# Snn=Z In Sk+ Tn Sk = In Sn+ In S 发散。kT、八、1.由题意知Sn单调递增，且lim S又 r =2FSnSnr 111 1 1Sh丿=hm -

7、nrS1 Sn 丿a1n=2=1收敛。c级数zan & - Sn J Sn用比值判别法分析下列正项级数的敛散性cL(2n + 1)!解: lim 也=lim (2n 中3)!F U F 1Un=limF(2 n+3)(2 n+2)SnSn J处aZ乌收敛。S2n z1=0 ,故级数收敛。(2n +1)!c2. Zn 12n 1(2 n-1)解：lim也2n(2 n +1)2n-11= ；lim-=-，故级数收敛。2n(2 n+1)22n(2n -1)p 53. Zni n!5n解：lim-十 F U(n +1)!= 5lim= 0，故级数收敛。Tn +1n!4. Zn =1处 n273+(-1

8、)3n解：由于n2/3+(-1)n3n3n3n满足(n +1)2(73+1)n+Unnmn2(73+1)n3n1，而SnSn J.，因此它收敛,丿 3故原级数收敛。七、正项级数根式判别法(Cauchy判别法)及其应用 定理：对于正项级数I； Un，若limyU7= p，则pUn+，又 1剪1+带。所n产)=lim-= = 0，故级数收敛。3n+Vn 丿 Y3n+Jn以级数收敛。2.送(_i)narctannn zt解: uarcta n n而arctan X当x32时为单减函数，故UnUn4i( n 2)，又 lim acrtan nn_Vn= limacr tan n lim- Q = 0。

9、所以级数收敛。Yr Jn2f(xarctanx当X 2时为单减函数证明如下:2x +2 -arctanx ?2xJXf(x)=产， 一 1 因此，当 x2时，f(x)cO。九、判定下列级数哪些是绝对收敛，哪些是条件收敛nln(n +1)解：1讥(n+1)1，而-发散，故h 1n发散。n nn ln(n +1)1 ,ln(n+1) ln(n+2)，以及lim 一!一 = 0。所以级数条件收敛。 Yl n(n +1)兀sin n解：|Un| =1|sin 任，而S 十收敛，故级数绝对收敛。 n n处2)(2 n+1)23. 5： (1) 2n壬2解: |Un(21)21十，lim Un(2n+ 3

10、)22n*-lnm(2 n +1)22.,故级数绝2n+1丿 2对收敛。-(_1)n4.送n i nvn1 解：皿丽，斷迥齐1.故由三十发散,知三蔽发散。nm 11而一T当XA1时，为单减函数，故|Un|Un十|，又nm飞p 7少1 ”鸟+=0 1=0。所以级数条件收敛。只需证明：当xaI时，f(x)=x1飞单增f(x)=x1X,g(x)十xlnx,1g(x)=1-沁(x 1) g(x)g(1) = 2A0,故 f(X 0 (x 审。x比处unA n十、 设2 u2收敛，证明：2 绝对收敛。n4证明：由不等式Unn2阴+廿及討和 4的收敛性可知结论成立心nc类似的题目：设送un收敛，且Un 0，则当P一时送收敛。、证明:nlim = 0。 Fn!an5an证明：考虑级数送一，因n!lim(n 中1)!n an!= lim -|