方程与不等式之二元二次方程组知识点训练附答案

1、1方程与不等式之二元二次方程组知识点训练附答案、选择题1.解方程组:Y 4XY【答案】X2yi【解析】【分析】把X y= 4变形为用含X的代数式表示y,把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次 方程求出【详解】X的值，得方程组的解.解:X2X由得,Y 4XY 8X 把代入，得X2- X（4- X）= 8 整理，得 x2-2x-4= 0 解得：xi=i J5, X2=J5,把x=i 75代入，得把x=i-J5代入，得丫2=牟（i V5）= & 75 ；（Z5）=3 75 ；所以原方程组的解为:XiX2yiy2i 753 45【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法,代入法是解决本题的关

2、键【答案】XiYiX23是方程组2X2m的一组解，求此方程组的另一组解n-2Y2【解析】【分析】X先将Yi2代入方程组X2m中求出m、n的值，然后再求方程组的另一组n解.【详解】x1解：将 1 3 代入方程组y122y2 m 中得：yn13则方程组变形为：x213由 x+y=1 得： x=1-y，将 x=1-y 代入方程 x2+y2=13 中可得：解得 y=3 或 y=-2，将 y=3 代入 x+y=1 中可得：y2_y_6=0，即y+2)=0，所以方程的另一组解为：x=-2；x2-2y23【点睛】用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出n 的值是解题的关键 .3解方程组：xy4;2

3、y2 0.答案】x1y184,x2y2解析】【分析】把 x2xy 次方程组， 【详解】2y2 0 进行因式分解，化为两个一元一次方程，和 解方程即可 .x y 4组成两个二元由 得：x 2y x y0.所以x 2y 0或x y所以 x y 4 或 xx 2y 0 x所以原方程组的解为x1x2y1y2点睛】考查二元二次方程组的解法，把方程2xy 2y2 0 进行因式分解，化为两个一元一次方程是解题的关键 .4解方程组： xx2 y3xy6, 2y2x 3xy 2y【答案】x 4, X2 3, y1 2; y2 3.【解析】【分析】先对x2-3xy+2y2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联

4、立，组成两个二元一次方程组，解之即可.【详解】将方程X2 3xy2y20的左边因式分解,得 x 2y 0或 x y 0 .原方程组可以化为y2y60或6,0.解这两个方程组得Xiyi4,2；X223,3.所以原方程组的解是Xi14,2；3,y23.X2【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键.5.直角坐标系xOy中，有反比例函数 yx0上的一动点P,以点P为圆心的圆X始终与y轴相切，设切点为 A（1）如图1,0 P运动到与x轴相切时，求 OP2的值.（2） 设圆P运动时与x轴相交，交点为 B C,如图2,当四边形ABCP是菱形时, 求出A、B、C三点的坐标. 设一抛物线

5、过A、B C三点，在该抛物线上是否存在点Q,使QBP的面积是菱形ABCP1面积的一？若存在，求出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由.2【解析】0）；存在，满足（14，16/3），（ 8，243）和（6，0）.【分析】(1 )当0 P分别与两坐标轴相切时，PAIy轴，PK丄x轴，x轴丄y轴，且PA= PK,进而得出PK2,即可得出OP2的值；(2)连接PB,设AP= m,过P点向x轴作垂线，垂足为 H,贝y PH=33sin60 BP, P( m,里3m )，进而得出答案；22 求直线PB的解析式，利用过 A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联 立，列方程组求满足条件的 Q

6、点坐标即可.【详解】 解：(1)vO P分别与两坐标轴相切, PA丄OA, PK丄OK./ PAO=/ OKP= 90又/ AOK= 90/ PAO=/ OKP=/ AOK= 90四边形OKPA是矩形.又 AP=KP,四边形OKPA是正方形， OP2= OK2+ pk2= 2PK?OK= 2xy= 2x8316 73 ;(2)连结BP,则AP=BP,由于四边形 ABCP为菱形，所以 AB= BP= AP, ABP为正三角形, 设AP= m，过P点向x轴作垂线，垂足为 H,J3则 PH=sin60 BP m , P(m, m),2 2将P点坐标代入到反比例函数解析式中，则 m2= 8 73 ,2

7、解得：m = 4,( m=- 4舍去)，故 P (4, 2 运), 贝U AP= 4, OA= 2/3 , OB= BH= 2, CH= BH= 2, 故 A (0, 2船),B (2, 0), C (6, 0);设过A、B、C三点的抛物线解析式为y= a (x- 2)( x-6),将A点坐标代入得，aJ3故解析式为y x26过A点作BP的平行线6 , 迟2瓦3I抛物线于点Q ,贝y Q点为所求.设BP所在直线解析式为：y = kx+d ,2k则4k解得:故BP所在的直线解析式为：y J3x 2j3 ,故直线I的解析式为yJ3x 2j3，直线I与抛物线的交点是方程组解得:732x6屈x32/3

8、3的解,XiX2yiy21416/3Q (14, 1673),同理，过C点作BP的平行线交抛物线于点 则设其解析式为：y J3x+e，则0 = 6j3 故其解析式为：y J3 X - 6 J3 ,故得Q （0,Qi,e，解得:e=- 6 J3 ,其直线与抛物线的交点是方程组X6373x 673恥的解,0)可求得Qi( 8， 273) 和(6，（14, 1/3 ）,（ 8, 2灵）和（6, 0）本题考查了二次函数的综合运用以及二元二次方程组解法和正方形的判定以及菱形的性质 等知识，关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题.26.解方程组:xy2y2【答案】1212【解析】【分析】先将第二个方程分解因

9、式可得: 出即可.【详解】x- 2y=0或x+y=0,分别与第一个方程组成新的方程组，解解： 2xy x 1x 2y20由得:(X- 2y)( x+y) =0x- 2y=0 或 x+y=02y10,y原方程组可化为yx解得原方程组的解为2 xxy0.解方程组：2x4xy4yx0x20x31【答案】3,3yy2 -y322【解析】【分析】=0,73 x433y43由第一个等式可得 x (x+y)合第二个等式(x+2y) 2 =9可得出x和y的值.从而讨论可 x=0 ,XM0, ( x+y) =0,这两种情况下结【详解】/x(x+y)=0, 当 X=0 时,(X+2y) 2 =9,解得：yi=3

10、,y2 =-2 2当XMQ x+y=0时,/x+2y=3x解得：y综上可得，原方程组的解是XiX2yiy2X33 X43y33，y43 .【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则X y 17 xy 30【答案】x215yi15y22【解析】X与y的关系，代入第二个式子求解.【分析】根据第一个式子，得出【详解】細 X y 17解：金,xy30 由，得x=17+y,把 代入 式，化简得y2+17y+30=0, 解之，得 y1=-15, y2=-2.把 y1=-15 代入 x=17+y,得 X1=2,X2=15 .把y2=-2代入x=17+y,得Xi故原方程组的解为y115【点睛】本

11、题考查了二元二次方程的解法,9.解方程组:x215y22解题的关键是运用代入法得出X、y的值.X 3y 2 0X2 4xy 4y29【答案】【解析】13yiy2【分析】由完全平方公式, 组可变形为关于原方程组的解是得X1；得【点睛】X213y1y2本题考查了二元二次方程组的解法. 的关键.把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题组中可变形为（x+2y） 2 = 9,即卩x+2y= 3或x+2y =- 3 .这样原方程X、y的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解.【详解】x 3y 2 0 x2 4xy 4y29由得：（x+2y） 2= 9,即：x+2y= 3 或 x

12、+2y=-3x3y 2x3y2所以原方程组可化为x2y 3x2y3x3y2N 1解方程组得x2y3y1 113x3y2X25解方程组得x2y3.1 .4x22y010.解方程组： 2.3xxyX 2y 6 02X23【答案】%4y26【解析】【分析】由得:2x- y= 0, 2x+y=0，这样原方程组化成两个二元二次方程组,求出每个方程组的解即可 .详解】224x y023x xyx 2 y由得：2x y= 0,2x+y= 0,原方程组化为： 2x2y03xxy2x y 0， 3x2 xy x 2 y 6 0x1解方程组 得： 1y1x2y23,方程组 无解,6所以原方程组的解为：x1y124

13、，x2y26【点睛】本题考查解二元二次方程组，难度不大，熟练掌握二元二次方程组求解是解题关键11前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元,在其后的两年内,两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增 10 万元,而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数去 年甲厂全年的产值仍比乙厂多 6万元,而今年甲厂全年产值反而比乙厂少 3.2万元前年 甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？ 【答案】前年甲厂全年的产值为 92万元,乙厂全年的产值为 80万元,乙厂每年的产值递 增的百分数是 20%【解析】 【分析】根据题意，设前年乙厂全年的产值为x万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为

14、y,则甲厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即 可【详解】设前年乙厂全年的产值为 x万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y，根据题意得解得121210 x 110 10x16y 2 3.28020%80+12=92 答：前年甲厂全年的产值为 百分数是 20%, 故答案为： 92, 80, 20%【点睛】本题考查了方程组的列式求解问题,二元二次方程组的求解,根据等量关系列出方程组是万元），92 万元，乙厂全年的产值为 80万元，乙厂每年的产值递增的解题的关键.12.解方程组:2 2x 5xy 6y 0x y 12【答案】yi8 或 X294 旦 y23

15、【解析】【分析】利用因式分解法求x2 5xy 6y2 0,得到x 2y 0或x 3y 0，然后得到两个二元一次方程组，分别求出方程组的解即可.【详解】解：由（1）得 x 2y 0或 x 3y 0 ,x 2y 0x 3y 0或，x y 12x y 12解方程组得：x1yiy2则原方程组的解为Xiyix29y2 3【点睛】本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解, 然后得到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解 .13.解方程组:【答案】x 2y 52 2x y 2xy 1073 x 13或4 y 23【解析】【分析】 将方程x2 y2 2xy 1 0变形整理

16、求出x y 1或x y 1，然后分别与x 2y 5 组成方程组，求出对应的 x, y的值即可.【详解】解:x 2y 5 x2 y2 2xy 1 0x y 1或x y 1，-得：3y 4，解得:4y 代入得：x 23一得：3y 6，解得:y 2代入得：x5，解得:2 ,解得:故原方程组的解为:73或43【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是转化”这种转化包含 消元”和 降次”掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程组的关键.14. (1)解方程组:xy2y2(2)解方程组:x y1512x y6x y【答案】(2；(2)121213【解析】【分析】(1 )由 x将其

17、代入2xy 2y0求出y的值，再根据y的值分别求出对应的x的值即可;1(2 )设x y程组，再求出x,【详解】y即可.解：(1)由x1得:将x y 1代入x2xy-B，方程组变形后求出A,yB的值，然后得到关于 x, y的方y 1,2y22y 2y 0 ,整理得：2y2 y1解得：y 1或y = -1,将y 1代入x y 1得:1将y =-代入x y1 得：X -21故原方程组的解为:X 15.解方程组 或 X 21 y -(2)设A，X yX y12则原方程组变为：5A B,15A 2B 6A解得：6x 6y 51x y 61X 解得：21y 3X经检验，1是方程组的解.【点睛】 本题考查了

18、解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题 的关键.y X y 0 y2 8【答案】Xi22， y2 2X222y32 y42X3X42【解析】【分析】 先把方程组转化成两个二元二次方程组，再求出两个方程组的解即可.【详解】解：由原方程组变形得:y 0 X-yy28,X20y28由变形得：y=-X,把y=-x代入得：X2(-X )28，解得 Xi=2, X2=-2 ,把Xi=2, X2=-2代入解得:y1=-2, y2 =2 ,X2所以解为：1,2X2yiy2由变形得：y=X,把y=x代入得：X28，解得 X3=2, X4=-2 ,4y4=-2 ,把X3 =2, X4

19、 =-2代入解得：y3 =2,X3所以解为：X4综上所述解为:y3Xiyiy4X22y2 2X32 X42y32 y42【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组是解此题的关键.16.解方程:【答案】【解析】解：原方程组即为由方程（1）代人（2）并整理得:(1)(2i)（2 分）+2x- 3 = 0(2 分)解得,(2 分)代人得17.解方程组:2 X2 X/s2cXy 2y0,22xy y1,【答案】yi【解析】【分析】先对方程3.1；3X2y2分解因式转化为两个一元一次方程,然后联立，组成4个二元一次方程组，解之即可.【详解】X2 xy 2y20X2 2xy y21

20、 ，=0,由得(x+y)( X-2y) X+y=0 或 x-2y=0,由得(X+y) 2=1,-X+y=1 或 x+y=-1.所以原方程组化为01或X 2y 0 或X y 12y 0y 1所以原方程组的解为XiX2yiy2【点睛】本题考查了高次方程组,将高次方程化为一次方程是解题的关键.18.解方程X2 yX xy22y20 1,y21X2x-i 4,【答案】1y1 2【解析】【分析】先把 x2立 x y【详解】xy 2y2 0 化为 (x 2y)(x y) 02求出x,y即可.，得到 x 2y 0 或 x y 0 ，再分别联x2 xy所以： x2y22y0 可以化为：0或原方程组可以化为：(x2,y2y 02y)(x）与y)0，yy 20,(n)x解（I）得y4,，解2(n)得1,1答：原方程组的解为x1y142,与x2y21,1点睛】 此题主要考查二元方程的求解，解题的关键是把原方程变形成两个二元一次方程组进行求 解19.某起重机厂四月份生产 A型起重机25台,B型起重机若干台.从五月份起,A型起重机月 增长率相同,B型起重机每月增加 3台.已知五月份生产的 A型起重