分部积分法教案(最新整理)

1、分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。重点：分部积分法及其应用难点：在分部积分法中，要恰当的选取 u 和 v教学方法：讲练法0 回顾上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们熟记基本初等函数积分公式表熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）熟练、灵活的运用第二换元积分法。凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分； f (x)dx = f j(x)j(x)dx= f j(x)dj(x) 令 u = j(x)= f (u)du= f (u) + c= fj(x) + c第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换 x = j(t) ，使得难求的积分易求 f (

2、x)dx 令x=j(t) f j(t)j(t)dt= f j(t)dj(t)= fj(t) + c= f(x) + c1 引入用我们已经掌握的方法求不定积分 x cos xdx分析：被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。凑微法失效。 x cos x第二类换元积分法解：不妨设cos x = t则 x = arccos t原方程 t arccos t - 1 1 - tdt 更为复杂2所以凑微法和第二换元积分法都失效。反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设 u、 v 为两个函数）已知：(u v) = u v + uv对上式两边积分得： uv = u vdx +

3、uv dx移项得： uv dx = uv - u vdx观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意： uv dx 中 v为导数形式。故，我们可以尝试来解一下上面的积分。 x cos xdx 先要化的和要求积分的形式一样= x(sin x) dx= x sin x - xsin xdx= x sin x + cos x + c真是：ft重水复疑无路，柳暗花明又一村。通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。2 公式2.1 定理设函数u = u(x) 和v = v(x) 及都具有连续的导数，则有分部积分公式： uv dx = uv - u

4、 vdx （或 udv = uv - vdu ）说明：两函数的积分等于将其中一个放在 d 里后，里外相乘减去换位的积分。内外积减去换位“积”。步骤：a、放 d 中，b、套公式。2.2 例 1 求不定积分 x sin xdx解: x sin xdx x sin xdx= - xd (cos x)= -x cos x + cos xdx= -x cos x + sin x + c3 u、v 的选取问题例 2 求不定积分 ex xdx解：llllllllllll 放d中llllllllll 套公式 ex xdx=ex d ( 1 x 2 )2= 1 x 2ex - 1 x 2dex22= 1 x 2

5、ex - 1 ex x 2dx22容易发现使用分部积分公式后，变得更加复杂了，是我们的公式用错了吗？不妨换个角度看问题： ex xdx= xdex= xex - ex dx= xex - ex + c发现问题解决了，问题出在哪里？观察发现，这两种做法的不同之处在于把谁放在 d 里，换句话说就是则样选择 u 和 v 的问题，由上面的例看出运用分部积分公式时恰当的选择 u 和 v 是十分重要的，选对了可以轻松解题，选错了，轻则解题复杂，重则解不出结果。那么应该如何选取 u 和 v 的呢？我们来看一下公式 udv = uv - vdu ，要把 v 放在 d 中首先要对 v 积分，所以 v 要便于积分

6、；而 u 要进行求导，所以 u 便于求导；实际上关键是 v，v 定了，u 怎然定了。所以u、v 选取的原则是：v 便于积分，u 便于求导。例 3 求不定积分 x ln xdx分析：对于 x 和 lnx 来说明显的 x 便于积分，故选 lnx 做 u x ln xdx=ln xd ( 1 x 2 )2= 1 x 2 ln x - 1x 2d ln x22= 1 x 2 ln x - 1 xdx22= 1 x 2 ln x - 1 x 2 + c24实际上在选取 v 时是相对的，两个函数中更便于积分的做 v，我们列出了一个积分从难到易顺序：反、对、幂、三、指；一般在做题的时候我们选取后面的做 v.

7、4 例题讲解例 4 求不定积分ln xdx分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作1 ln x 即可。解： ln xdx= ln xdx= x ln x - xd ln x= x ln x - x + c结论：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。例 5 求不定积分 x 2ex dx解： x 2ex dx= x 2dex= x 2ex - 2 xex dxll再次使用分部积分公式= x 2ex - 2 xdex= x 2ex - 2(xex - ex dx)= x 2ex - 2xex + ex

8、 + c结论：分部积分公式是可以重复使用的。例 6 求不定积分 ex sin xdx解： ex sin xdx= sin xdex= ex sin x - ex cos xdx= ex sin x - ex cos x - ex sin xdx好像进入了死胡同，实则不然，令 ex sin xdx = i ,则上式变为：i = ex sin x - ex cos x - i则 2i = ex sin x - ex cos xi = 1 (ex sin x - ex cos x) + c2问题得以解决。故要灵活的处理问题。5 小结1、分部积分的公式2、u、v 的选取3、灵活的使用公式“”“”at

9、the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs o