思易学教育寒假专题——平面向量

1、课程信息年级高一学科数学1版本人教新课标A版课程标题寒假专题-平面向量编稿老师王志国一校林卉1二校黄楠1审核王百玲申课桎瞬课一、学习目标：1. 平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例， 了解向量的实际背景， 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；2. 向量的线性运算 通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； 了解向量的线性运算性质及其几何意义。3. 平面向量的基本定理及坐标表示 了解平面向量的基本定理及其意义； 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运

2、算； 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。4. 平面向量的数量积 通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 体会平面向量的数量积与向量投影的关系； 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。5. 向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程， 体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。二、重点、难点：重点：平面向量的概念及运算，平面向量的基本定理，平面向量的数量积及其应用。 难点：平面向量的数量积及其应用，与平面向量相

3、关的综合问题。出题量较小。以选择 向量的几何表示、向三、考点分析：本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较，题、填空题的形式考查本章的基本概念和性质，重点考查向量的概念、量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算，平面向量的数10-15量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值为 分。平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系, 解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。喃輕整惻题知识点一：平面向量的概念及运算例1：设a0为单位向量，(1)若a为平面内的某个向量， 则a=|a | a0 ； (

4、2)若a与a0平 行，则a=|a|a0；(3)若a与a0平行且|a |=1，则a = a0。上述命题中，假命题个数是()个A. 0 B. 1 C. 2 D. 3思路分析：向量是既有大小又有方向的量，因此两方面都要考虑到。解答过程：a与|a| 30模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命题；若a与a。平 行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=|a|a0，故(2)、( 3)也是假命题。综上所述，答案选 D。解题后的思考：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质， 注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。例 2：已知 a =(1,0),b =(2,1

5、).(1) 求 |a + 3b | ；(2) 当k为何实数时，k a-b与a+3b共线，共线时它们是同向还是反向？ 思路分析：本题主要要用到向量的坐标表示，向量的模，以及向量共线的条件等知识。 解答过程：(1)因为 a =(1,0),b=(2,1)，所以 a+3b = (7,3)，则 |2+313|=丁7匚孑=屈(2)ka-b =(k-2,-1)，a + 3b =(7,3)因为k a b与a +3b共线，所以3(k 2) +7 =0，即得-4则 a+3b = 3(ka -b)，即- -7-此时 k a b =(k -2,-1) =(, 1)，a +3b =(7,3),_ - 3此时向量a +3

6、b与ka-b方向相反。重点掌解题后的思考：以上两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现,握平面向量的共线的判定及平面向量的模的计算方法。IIT 4 T 时例3：求证：起点相同的三个非零向量 a，b，3a 2b的终点在同一条直线上。思路分析：先证明向量共线，再证明有公共点。T 4 T*解答过程:J明屮起点为O, OA孑a_,0B=b, oc =超2bI则 AC pOC -OA =2 ( a b), AB = OB OA = b a , AC = -2AB , AC, AB，共线且有公共点 A,因此，A, B, C三点共线， 即向量a , b , 3a 2b的终点在同一条直线上。解题后的

7、思考：(1)利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：证明向量平行； 说明两个向量有公共点；用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：证明向量平行； 说明两个向量无公共点。小结：学习本讲主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一个新的数学工具，它往往会与三角函数、数列、不 等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。(1) 向量的加法与减法是互逆运算；(2) 相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；(3) 向量平行与直线平行有区别，直线

8、平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括 共线(重合)的情况；(4) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对 位置有关。知识点二：平面向量的数量积及应用例4： |a |=1, |b |=2, c=a + b，且c丄a，则向量a与b的夹角为(A. 30 B.60 C. 120 D.150 思路分析：要求向量a与b的夹角，关键是求它们的数量积。2T T=a +afl|b|T T Ta +b ” aT 2即：cos8 =|a|b|解答过程：设所求两向量的夹角为 9 T 芒 T T,C =a + b c 丄 aT 2 T T/.| a | = |a | b |cos日

9、所以0 =120，故选C解题后的思考：对于ab =|a|b|co这个公式的变形的应用应做到熟练，解决向量a u的夹角问题时要借助于公式 cosQ =- -，另外向量垂直(平行)的充要条件必须掌握。|a|b|例 5：已知 a2 +b2 =1, c2 +d2 = 1，求证：|ac + bd |兰 1。2222ff思路分析：a +b =1, c +d =1，可以看作向量 x = (a, b),y = (c, d)的模的 平方，而ac+bd则是X、y的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。解答过程：设 x = (a, b),y = (c, d)则 X=ac + bd, | X | = Ja2 +

10、b2, | y |= Vc2 +d2。Jx 丁同x| y|,/.| ac +bd 戶需2 + 匕2 &2+d2 =1解题后的思考：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子,如 |a+ b|3|a| |b| ,|a +b|W|a|+|b|； b |aC|恒成立,则实数t的取值范围是(A. : 1，+s)B. (-s2: u： 1 ,+s)C. : 1, 1 7. 已知向量a=1 1A. 2 B. 2 C. 2 D. 28. 已知|a|=2|b|M0,且关于x的方程x2+|a|x + ab=0有实根，贝Ua与b的夹角0的取值范围是()nA. : 6，nD. (-s0：U： 1

11、 ,+s)(2,3), b=( - 1,2),若ma + b与a 2b平行，则实数 m等于()C.: n nD.:n, n二、解答题9. 已知 a=( cos2 a, sin a), b=( 1,2sin a- 1) , a( ; , n , a =7 ,求 cos ( %+* 的254值.3(1) 当(2) 求11.设函数(1) 求10. 已知向量 a =( sinx , 1), b=( cosx , ?) a/ b 时，求 cos2x-3sin2x 的值；n=( cosx, V3sin2x), x R。f (x) = ( a + b) b的最小正周期和单调递增区间.f (x)= m n ,

12、其中 m=( 2cosx,1),f (X)的最小正周期与单调减区间；C的对边，且f (A)= 2,(2) 在 ABC中，a, b, c分别是角 A, B, 求A;的值。sinB + si nC若b= 1, ABC的面积为弓3 ,求 b + c你热爱主命吗？那么别浪费时间，0为时间是齟成主1I二弗的柄料-富兰克林 I*1. A解析2 2 1c+ 3 (b c)= 3b + 3c,故选 A ob2. B解析入(1,2 ), /点M在线段AB的延长线上,即点 B在线段AM 上.3. D解析由条件得,c=( 1+ 入 3+ X),从而ac = 1 + X+ 3(3 + X0?入( 2 0)u(0,+s

13、).4. B 解析由(a b)2丄a 得，(a b) a= 0, ab= 0。|a|=, |b|= 2,/2 |a|b|cos = 0。cos a, b逅n=2 o0w w n, a, b=才。5. C解析|a + b|= | (3, k+ 2) |=7(k+ 2)2 + 32w 5, k+ 2) 2w 42,.-6 |XC? I BA22tBABC+12| bC2 |XC2,在ABC 中，易知AC = 1,2 1/B = 30 故得 2t 3t + 1 0,解得 tw 2或 t 1o 故选 B o7. B解析ma+ b=( 2m 1,3m+ 2), a 2b=( 4, 1),2m 1若ma+

14、 b与a- 2b平行，则=-3m- 2,1即 2m 1 = 12m 8,解之得 m= 3。2a b|a|21C 解析由条件得：=|a| 4 a b 0,即cos0= 丽石厂？，所以a与b的夹角0的取值范围是n，n.故选Co39.2 2解：a b= cos2 a+ sin a (2sin a 1) = 2cos a 1 + 2sin a sin a= 1 sin a,223由 ab=-得 1 sin a=7, sina=7o555- cos ( a+ 4)= cos a sin a7应10 oa ( 2 n, - COSa=寸 1 sin2 a= f。色(4)返X3 =25)2 5310.解：(

15、1)由 a /b,2sinx+ cosx= 0, tan x= I,2cos2x 3sin2x=cos x 6sinxcosx 1 6tanxsin2x+ cos2x1 + ta n2x1-6 x(-1)=1+(- 245石。3(2) -.a = (sinx, 1), b= (cosx, 2),a + b=( sinx+ cosx,f (x) = ( a+ b)b=1=2 (sin2x+ cos2x) +3(sinx+ cosx) cosx+44,最小正周期为n,由2k n 2W 2x+才W 2kn2Sin5 =返；4,3 n , n+2得 kn8W xW kn+ 8,故f( x)的单调递增区间为3 n , nkn , k7t+ 8 j, kZ。11. 解析f (x)= m n = 2cos2x +筋sin2x=1 + cos2x + /3sin2x= 2sin + 1。(1)函数f ( x)的最小正周期 T = n人nn 3 n令 2kn+-W 2x+ -W + 2k n ( kZ),2 6 2n 4 n2kn+-W 2xW w + 2kn ( k 題),332k 7t+ 6 XW 才+ k Tt (kZ).n 2 n (x)的单调减区间为 kn+ 6, y + kn (k題).n=2sin (