专题检测(十三)立体几何中的向量方法理

1、专题检测（十三）立体几何中的向量方法A组一一大题考点落实练1.如图，在四棱柱 ABCDABCD中，AA丄底面 ABCD四边形 ABCD为菱形，AA= AB= 2,/ ABC= 60 E, F分别是BC AC的中点.求异面直线EF, AD所成角的余弦值;点M在线段Ai D上 , AM=入，若CM/平面AEF求实数 入的值.Al/AJw八V ft解：因为AiA丄平面ABCD AE?平面ABCD AD?平面ABCD所以AiA丄AE AiA丄AD在菱形 ABCD中 , / ABC= 60 连接 AC则 ABC是等边三角形.因为E是BC的中点，所以 BCIAE因为BC/ AD 所以AEX AD以A为坐标

2、原点，AE为x轴，AD为y轴，AA为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，贝yA(0,0 , 0) , (3 , i ,0) , Q0,2,0),岁，2 JA (0,0,2),曰/ , 0,0) , FAD = (0,2,0) , I?=(-申,2 , ij,所以 COSND , Ef=|dI = 厂l DI Epi 刘2所以异面直线EF AD所成角的余弦值为誓.(2)设 Mx ,y , z）,由于点M在线段Ai D上，且AM=入，所以Ai M =入 Ai D ,则(x , y , z 2)=入(0,2 , 2).入，2 2 入），所以 CM= （ , 2 入一i ,2 2 入）.设平面 AEF的

3、一个法向量为 n=（X0 , yo , zo）.解得M0,2iy3x0= 0 ,即乌。+討z0= 0,取 yo= 2,得 zo= i ,则平面AEF的一个法向量为n= (0,2 ,-1) =2=3.由于CM平面 AEF贝U n - Cm= 0 ,即2(2入一1) (2 2入)=0，解得入EtiDF C2.(2019届高三河北三市联考)如图，三棱柱ADEBCGK四边形 ABCDi矩形，F 是 EG的中点，EAIAB AD= AE= EF= 1,平面 ABGE /Q丄平面ABCD(1)求证：AF丄平面FBC 求二面角 &FGD的正弦值.解： 证明：四边形 ABCDi矩形, BCIAB又平面ABG丄

4、平面ABCD BCI平面 ABGE/ AF?平面 ABGE BCI AF在 AFB中 , AF= BF= , AB= 2 , aF+ bF=Ab ,即 AF! BF,又 BFn BC= B, AF丄平面FBC分别以AD AB AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，贝 yA(0,0,0), D(1,0,0), C(1,2,0),日0,0,1)巳0,2,0), F(0,1,1) , DE = ( 1,0,1) , DC= (0,2,0),设n1= (x , y , z)为平面CDEF的法向量,即 Fy=0,x + z = 0 ,令x = 1，得z = 1,即n1 = (1,0,1)为平

5、面CDE的个法向量,取n2= AF = (0,1,1)为平面BCF的一个法向量, cos n1 , n2 =1 n 1|1 n 2|A二面角&FGD的正弦值为 3如图，在四棱锥 E-ABC呼,底面ABCD直角梯形，其中CD/ AB BCIAB 侧面 ABE平面 ABCD 且 AB= AE=2BC= 2CD= 2,动点 F 在棱 AE上,且EF=入FA(1)试探究 入的值，使CE/平面BDF并给予证明; 当入=1时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值.解：(1)当入=2时，CE/平面BDF证明如下:连接AC交BD于点G,连接GFCD/ AB AB= 2CD ca=cd_1 GAABg ,1 E

6、F CG 1 EF=严 Fa= Ga= 2, GF/ CE又CE?平面BDF GF?平面BDFCE/ 平面 BDF取AB的中点O连接EO贝y EOL AB平面 ABEL平面 ABCD平面 ABE?平面 ABCI AB EOL平面ABCD连接 DO BO/ CD 且 BO= CD= 1,四边形BOD呦平行四边形， BC/ DO又 BCL AB AB! OD则OD OA OE两两垂直，以 O为坐标原点，OD OA OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz,则q0,0,0),A：0,1,0),B(0, 1,0) ,D1,0,0),Cl, 1 , f0),曰0,0 ,心(10 ,

7、 1 ,CE = ( - 1,1 ,心).BID=(1,1,0) , Bl = , 2 ,申设平面BDF的法向量为n= (x , y , z),|n BD = 0 , 则$|y+净=0,令 z = 73，得 y= 1 , x = 1,则n = (1 , 1 , 胎为平面BDF的一个法向量,设直线CE与平面BDF所成的角为0 ,则 sin e= |cos 72 , n| =1 ,店X护 5故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为15.4. (2018 成都一诊)如图，在边长为C(1)求证：平面 PACL平面 ABCPB= 4羽.QBGA的余弦值.y轴，z轴建立如图所示的空间直5的菱形ABCD中,

8、AC= 6，现沿对角线 AC(2)若Q是线段AP上的点，且 =1AP ,求二面角解：证明：取AC的中点O连接PO BO四边形ABCDi菱形,二PA=PC PO!AC/ DC= 5, AC= 6, OC= 3, PO= OB= 4, PB= 4 灵, pO+ oB= pb,二POLOB/ OBn AC= O, POL平面 ABC/ PC?平面PAC；平面PACL平面ABC(2) AB= BC - BOh AC故OB OC OP两两垂直.以O为坐标原点，OB OC OP所在直线分别为x轴,角坐标系Oxyz.则 B(4,0,0), C0,3,0), P(0,0,4), A(0 , 3,0).设点 Q

9、(x , y , z).由 72 = AP，得 Q(0 , 2 , UIBC = ( 4,3,0) , Bq =( 4, 2 , 3设n1= (X1 , y1 , Z1)为平面B(Q的法向量,h ebc = 0 , 由$m - BQ = 0,r 4X1 + 3y1 = 0 ,得4I 4X1 2y1 + 子1= 0 ,取 Xi= 3,贝U ni= (3,4,15).取平面ABC勺一个法向量n2= (0,0,1). cos n1, n2=ni n215In 1II n2|寸32 + 42+ 15210 ，二面角 QBGA为锐角,二面角 QBGA的余弦值为310B组大题专攻补短练P1.在三棱锥 P-

10、ABC中, PA= PB= PC= 2, BC= 1, AC=/3, ACLBC 求异面直线PA与BC所成角的余弦值.(1)求点B到平面PAC的距离.解：(1)以C为坐标原点，CA为X轴，CB为y轴，过C作平面ABC 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，取 AB的中点D,连接PD DC因为 ACE为直角三角形且 AOR, BC= 1,所以AB= 2,所以 PAB为正三角形,所以 PDL AB且 PD= V3-在 PDCK PC= 2, PD=W, DC= 1, 所以 pC = pD+ dC ,所以 PDL DC 又 ABn DC= D所以PDL平面ABC,CA=(护,则 Abja, 0,0),巳

11、0,1,0),20) p( ,2,间,00,0,0)0,0), CD=俘,2, 0J CP 二伴 rn V3 CB =(0,1,0),设平面PAC的法向量n = (X, y, z),in -则$ImCA = 0,CP = 0,阴x= 0 ,即 i申x+ 1yz = 0,12取y = 23，得n = (0,2 73, 1)为平面PAC的一个法向量,所以点B到平面PAC的距离|n| CB n| = 2护=2停=m=713= 13 .因为A =伴,2,科,C=(0, 1,0),设异面直线PA与 BC所成角为0 ,则 cos 0= 1 PA BC|PA| I C| 羽XI 4所以异面直线1PA与 BC

12、所成角的余弦值为-2.已知四棱锥F-ABCD中 ,底面 ABCDi梯形,BC/ AD ABL AD且AB= BC= 1, AD= 2,顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上 , PA丄PD(1)求证：平面 PABL平面PADr4 若直线AC与PD所成角为60 ,求二面角 A PCD的余弦值.解：(1)证明：V PHI平面 ABCD AH平面ABCD PHI ABV AB! AD ADA PH= H, AD?平面 PAD PH?平面 PAD AB!平面 PAD又AB?平面PAB 平面PABL平面PAD 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,V PHI平面 ABCD z 轴 /

13、PH则 A(0,0,0), G1,1,O), D(0,2,0),设 AH= a, PH= h(0a0).则 P(0 , a, h).F = (0 , a , h) , Dp = (0 , a 2 , h),C= (1,1,0). 2/ PAI PD AP DP = a(a 2) + h = 0./ AC与 PD所成角为60|a 2|icos辰,和1 = a2 2+ h2 2,2 2(a 2) = h ,. (a 2)( a 1) = 0,/ 0a0,.h= 1,a F(O,1,1). AP = (0,1,1), AC = (1,1,0), PC= (1,0 , 1) , DC= (1 ,1,0

14、),设平面APC的法向量为n= (Xi, yi,zi),n -则-In AP = 0,AC = 0,yi+zi = 0,Xi + yi = 0,令 Xi = i，得 yi = i ,乙=i,平面APC的一个法向量为 n= (i ,i,i),设平面DPC的法向量为 m= (X2, y2,Z2).jm-则$m-PC = 0,DC= 0,X2 Z2= 0 , 即X2 y2= 0,令 X2= i,得 y2= i,Z2= i,平面DPC的一个法向量为 m= (i,i,i).m- n i C0S m n= I mi n| = 3面角A-PCD的平面角为钝角,面角A-PCD的余弦值为3.3. (20 i 8

15、西安质检)如图，四棱柱 ABCEK B CD的底面ABCDI菱形，AC? BD= Q Ai O丄底面 ABCD AB= 2, AA = 3.A.证明：平面AiCQ_平面BBDD;(2)若/ BAD= 60求二面角 B-OC的余弦值.解: (1)证明： AiO丄平面 ABCD BD?平面 ABCD AO! BD四边形ABCDi菱形,COL BD AOn CO= O BD!平面 ACO/ BD?平面 BBDD,平面 AiCOL平面 BBDD.(2) AC丄平面 ABCDCOLBD OB OC OA两两垂直，以O为坐标原点，OB, OC,OA的方向为x轴，y轴，Z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标

16、系./i AB= 2 , AA= 3, / BAD= 60- OB= OD= 1, OA= OC=f3,OA= AA - OA= j.则 q0,0,0),巳1,0,0),C(0, &, 0),A(0,W, 0), a。,76), OB= (1,0,0) , BB = AA = (0,典範,Oeb =A：)B +aB = (1 ,萌,Oc= (0 ,占,0).设平面OBB的法向量为n= (X1 , y1 , Z1),则 I OB n- 0，OB n= 0,凶=0 ,即11 +回+卡Z1= 0.令yi=/2，得n= （0,迈,-1）是平面OBE的一个法向量.设平面OCB的法向量m= (X2, y2

17、,Z2),1 OC m= 0 , 则foB m= 0 ,;/3y2 = 0, X2+3y2 + 6z2= 0,令Z2= 1,得m=(丽,0, 1)为平面OCB的一个法向量,721 cos n , m I I 丄c ,1 n1 m WxV7 21由图可知二面角 B- O0 C是锐二面角,二面角RODC的余弦值为誓4. (2018 潍坊统考)在平行四边形 PABC中 , PA= 4 , PC= 2寸2 , / P= 45 , D是PA的中点（如图1）.将 PCD& CD折起到图2中 PiCD的位置，得到四棱锥 Pi- ABCD(1)将 PCD& CD折起的过程中，CDL平面RDA是否成立？请证明你

18、的结论.(2)若RD与平面ABC所成的角为60且 PDA为锐角三角形，求平面PAD和平面PBC所成角的余弦值.解：(1)将 PC沿CD折起过程中，CDL平面RDA成立.证明如下:/ D是 PA的中点，PA= 4,.DP= DA= 2,在 PDC中，由余弦定理得,CD= rC + pD 2RC- rd- cos 45 = 8+ 4 2X2 迄 X 2X 乎二 4 ,CD- 2 = rdCD + dR= 8 = rC, PDC为等腰直角三角形且 CDL PACDL DA CCL PD, PiDn AD- D,CDL平面 PDA由(1)知CDL平面PiDA CD?平面ABCD平面PiDAL平面 ABCD PDA为锐角三角形， Pi在平面ABC内的射影必在棱 AD上，记为O连接PO, PiO丄平面 ABCD则/ PiDA是 RD与平面ABC所成的角, / RDA= 60.DR= DA= 2, PDA为等边三角形,O为AD的中点,故以0为坐标原点，过点O且与CD平行的直线为x轴，DA所在直线为y轴，OR所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设x轴与BC交于点M/ DA= RA- 2, OR=a/3 ,易知 00 0A= CMk 1, BM= 3,则巴0,0，品,Q0, 1,0) , C(2 ,