14方向导数与梯度

1、第六节 方向导数与梯度在实际问题中，经常需要研究函数在某点沿某一固定方向的变化率问题，例如我们所学习的函数z = f(x,y)的偏导数 实际上就是点exP(x, y)沿x轴方向变化时函数的变化率，由此引入方向导数的概念。、方向导数我们以二元函数为例介绍方向导数。不难看出函数沿PQ方向的变 化率可以用如下极限表示M f(Q)_f( P)|P Q|T0|PQ|设函数 f (x, y)在点P(x0, y。)的某邻域U (Po)内有定义，丨为一向量，其单位向量为e = ai + bj = (a,b)，自点P引射线L，方向与e相同，由于L是xOy面上通过点P(x0,y0)且以e为方向向量的直线，由解 析

2、几何知射线L的参数方程为厂xo七0ly = y。+ tb在L上任意取一点Q(x,y)，则;xnP。ly = yo + tb由于PQ =(X - Xo, y - yo) = t(a, b) = te，所以P到Q两点间的距离为|PQ|=|t(a,b) |=|t |=t则函数Z = f(X, y)在点P(xo, y。)处沿方向e的变化率我们可以用函数增量f(Q) - f (P)与点Q到点P的距离t的比值f(Q)-f(P) _ f(xo+ta,yo+tb)-f(xo,yo)当Q点沿直线I趋于P (即tT 0 + )时的极限来表示，该极限为函数z = f(X, y)在点P处沿方向e的变化率，称为方向导数

3、。定义 设函数Z = f (X, y)在点P(Xo, yo)的某个邻域内有定义，I是一非零向量，其 单位向量为ei =(a,b)，如果极限|im f(x0 +ta,y0 +tb)- f(x0,yo) tT0中存在，则称此极限为函数z= f (x,y)在点P(Xo，yo)处沿方向丨的方向导cf数，记作 7|(xo,yo)，即薛 1lim f (Xo +ta,yo +tb)- f(xo,yo)評xoyoj。由方向导数的定义可知，方向导数cfr |(xo,yo)就是函数 z= f (X, y)7在点P(x0, y0)处沿方向I的变化率。特别地，如果取ei = i = (1,0)，且cf& |(x0，

4、y0)存在，则cf且忑|(xo,yo)存在，则cfdf-7f kxoyo)= fl(Xo，yo)。如果取ei=j珂0,1)，c|x硏_、亠7|(xo,yo|(xo,yo)。注意，反之未然。方向导数的计算本质上仍然是一元函数导数的计算，因为若令(t) = f(Xo +ta,yo+tb)，则|im f(xo+ta,yo+tb)- f(xo,yo) _ 佃 )-珥0) tT0+ttT0+tcf因而，百G)。例 1 求 f(x, y)=sin(x+y)在点(0,0)处沿方向(cosjsin)的方向导数。解这里(xo，yo) =(0,0)，故设d(t) = f (tcos日，tsin8) =sint(c

5、os0 中sin)Q(t) =(cos 日 +si n0)cost(cosH + si n)所以cf-|(oor cos +sin8当函数在点P)(xo, y。)处可微时，方向导数可以由偏导数表示出来。f(Q)-f( P)=f (x0 + ta,yo +tb)- f (Xo,yo)二 fx(x0，yo)ta + fy(x0，yo)tb + o(t)所以有讲(P)(X0,y0)=fx(x0,yo)a+ fy(xo,yo)b于是有如下定理定理设函数f (x, y)在P(x0,y0)点可微，向量丨的方向上的单位向量为ei =(a,b)，则有讦/ D= fx(Xo,yo)a+ fy(x0,yo)b。

6、cgF设0, =5 0为别为x轴、y轴到方向丨的转角，向量丨上的单位向量为(cossin 0)，则s叽P)= fx(Xo,yo)cos 日 + fy(X0,yo)sin 日例2 求函数z = xe2y在点P (1,0)处沿从P (1,0)到点Q(2厂1)的方向的方向导数。- 1解 = P Q = Ch1)，ei =(1厂 1)= J2ex (1,0)心“1，眾0)才丄+ 2丄丄、 点x(1,0)72逅)_ 1一石。二元函数方向导数的定义及计算方法可以推广到三元函数U = f(X, y,z)的情形，若U = f (x,y, z)可微，则它在空间一点P(x, y,z)沿方向 (设三个方向角为P、Y

7、 )的方向导数为斫 滸cf,cf=cos。+ COS P + COSY。 日excycz求它在点P(-1,1,7)沿方向例 3 设 f(X, y, z) = xy + yz + zx ,I =(3,4,-12)的方向导数。解 e(3,4,12)13过直线 L : a(x -Xo)+b(y-yo) =O作平行于z轴的平面兀，它与曲面z =f(x, y)所交的曲线记作L。容易看出，_ 3 cf+ 4 wf12 &fPo 13 exPo 13 cyPo13方向导数的几何意义：Po=4813f(xo七,yo+tb)-f(xo,yo)表示割线PQ相应于与向量I的斜率，当tT 0时，割线相应于I斜率即为|

8、在点P处切线相应于I斜率14二、梯度1、梯度一般说来，一个函数在不同方向上的方向导数是不一样的，这说明函数值沿不同的方向变化速度不同，在许多实际问题中经常需要讨论函数 沿什么方向的变化率最大。设函数z=f(x, y,z)在P0(Xo，yo，Zo)可微，丨的单位向量为 e- = (cos,coS,coS)，由方向导数的计算公式cosYPOcos fPO勾(cos a , cosp , COsY)值。eiPo=|G I cos 日显然,-(cf cf cf y当丨的方向和G = I , , I致时，方向导数达到最大cy cy 丿(ex，cy，cy 丿 笛 cf cf 、&x 科科)为此我们介绍在物

9、理上一个非常有用的概念一梯度。这里我们首先介绍二元函数的情形。定义 设二元函数u= f (x,y, z)在P(Xo,yo,Zo)可偏导，称向量(fx(Xo，yo，Zo), fy(xo，yo，zo), fz(xo, y。，zO)为函数 u = f(X, y, z)在点 P(Xo, yo, zo)的梯度(gradient)，记为 gradf (Xo,yo,Zo)或京f (Xo,yo,Zo)，即 grad f (x。, yoz。)= (fxCXoyozo), fy(Xo，yo), fz(Xo, yoz。)梯度的方向是使方向导数取到最大值的方向，即为函数增加最快的 方向，最大值为I可f (xo,yo)

10、|。例4 设 Z = f (x, y) = xey o(1)求出f在点P(2,0)处从P到Q1,/|方向的变化率。12丿(2) f在点P处沿什么方向具有最大增长率，最大增长率是多少?解(1)设ei是与PQ同方向的单位向量，则e =-1o又f(x,y) =(ey,xey)，f(2,0) =(1,2)= (2,0) -(1,2) -(2,0)V 5 5丿f (x, y)在点P(2,0)处沿Vf (2,0) =(1,2)方向具有最大增长率,为鬥(2,0)|75 o上面介绍的梯度概念可以推广到三元函数的情形。请大家自己写出 定义，并归纳出相应的结论。2、有势场与梯度场场论是物理学即其他学科中常用的一个

11、概念，所谓场是指某种物理 量在平面或者空间区域中的一种分布， 在数学上实际上是一个映射。数量场 如果对于空间区域O上定义了一个数量值函数f(M )，则称f(M )定义了一个数量场，记为(f，0 )，或称f (M)为一个数量场。向量场 如果对于空间区域0上定义了一个向量值函数F(M) = P(M)i + Q(M)j + R(M)k，则称 F(M)在 0 上定义了一个向 量场，记为(F，。)，或称F(M )为一个向量场。简单地说，场就是函数。数量场是数值函数；向量场就是向量值函 数。场通常是空间坐标及时间的函数即为X, y,z,t的函数，如果时间的影响可以忽略不计，则称场为静场或恒稳场。一个数量值函数 f (M )可以生成一个向量值函数f (M)称为f(M )的梯度场。反之，如果某个向量场 F(M)是某数量场f (M)的梯度场，即F(M) = J(M )，贝U称该向量场F(M)为有势场，而称f (M )为F(M)的势函数。m r/、r丿X因而P333r r r丿-mx -my -