24平面向量的数量积20373

1、2.4平面向量的数量积教学目标一、知识与能力:掌握平面向量的数量积的物理背景及几何意义;掌握平面向量数量积的运算律;掌握平面向量数量积的坐标表示;能利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题二、过程与方法:渗透数形结合的数学思想方法，培养学生转化问题的能力；借助物理背景，感知数 学问题，探究知识的来龙去脉；培养学生转化问题的能力三、情感、态度与价值观:培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学 科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点教学重点向量的数量积的定义及性质.教学难点对向量数量积的定义及性质的理解和应用.教学时数教学过程第一课时一、新课引入问题：如图一个

2、力F作用于一个物体上，使该物体位移S,(1) 如何计算这个力所做的功？W =|S|F|cos .(2) 如何从数学的角度来理解这个公式呢? 的意义是什么？|F| cos 的意义是什么？ O3 ISCos 的意义是什么?师生活动设计： 教师创设问题情境，学生积极思考，可以相互讨论 二、概念形成1向量的数量积已知两个非零向量 a与b,我们把数量|a|blcos叫做a与b的数量积(或内积)， 记作a b=|a|blcos ，其中 是a与b的夹角,blcos叫做向量b在a方向上的投影.规定，零向量与任一向量的数量积为0.数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度|a|与 b在a的方向上的投影|b|co

3、s的乘积.2. 数量积的性质思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负?a b a b=0;当a与b同向时，ab=|a|b|;当a与b反向时，ab=-|a|b|,特别地，a a=|a|2;| a b|a |b|.例1已知|a|=5, |b|=4, a与b的夹角 =120 ，求a b.解：ab=|a|b|cos =54 cos120 =-10.3. 数量积的运算律(1) ab= b a;(2) ( a)b= ( ab)=a( b);(3) (a+ b)c= ac+ b c例 2 对于任意向量 a，b证明(1)(a+b)2=a2+2 ab+b2；( 2)(a+ b) (a-b)

4、=a2-b2.证明：(1) (a + b)2=(a+b)(a+ b)=aa+ab+ ba+ bb2 2=a +2ab+b ；2 2(2) (a + b)(a- b)= aa-ab+ ba-bb= a -b .三、概念加深与巩固 例3判断下列说法是否正确:（1）右a=0，则对于任一向量b,有ab=0.()（2）若a0，则对任一非零向量b,有a b 0.()（3）若a0, ab=0,则 b=0.()（4）若ab=0，则a, b至少有一个为零.()（5）若a0, a b=a c,贝U b= c.()（6）若ab=ac,贝U b= c,当且仅当a 0时成立.()（7）对任意向量 a、b、c,有（ab)

5、c a(bc).(（8）对任意向量a,有a2=|a|2.（)例4已知|a|=6.|b|=4, a与b的夹角为60，求(a+2 b)(a-3 b).解：(a+2 b)(a-3b)=aa- a46 bb)=| a 2-ab-6|b|2=| a f-la |b|cos-6|b |2 =-72.例5已知|a|=3, |b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量 a+kb与a-kb互相垂直?(a-kb)=0,解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是（a+kb）2 2 2即 a-kb=0,2 2 2 2va =3 =9, b=4 =16,9-16 k2=9 ,十=；4练习1 :向量|a|=6，a与b的夹角为

6、120，求a在b方向上的投影.（-3）练习2：已知|a|=8，|b|=6，a和b的夹角是60 ，求 ab. (24)练习3:已知|a|=2，|b|=4，ka+b与ka-b垂直，求实数 k的值.解:(ka + b)(ka-b)=0k2a2-b2=0 k2|a |2-|b|2=0 4k2-16=0k= 2.四、归纳小结与作业1.平面向量的数量积的物理背景及几何意义;2.平面向量数量积的运算律布置作业 习题 2.4 A 组 1、2、3、6、7.第二课时、复习回顾1. 平面向量的数量积的物理背景及几何意义a - b=|a|b|cos ，其中 是a与b的夹角;数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度|

7、a|与 b在a的方向上的投影|b|cos2. 平面向量数量积的运算律(1) ab= b a;(2) ( a)b= ( ab)=a(b);(3) (a+ b)c= ac+ bc二、讲授新课探究：已知两个非零向量1.平面向量数量积的坐标表示a=(Xi,yi), b=(X2,y2),怎样用a与b的坐标表示a b?/a=xii+yij, b=X2i+y2j,2 2a - b=(X1i+y1j) - (X2i+y2j)=X1X2i +X1y2i - j +X2y1i - j+y1y2j又 Ti . i=1, j . j=1, i . j=j . i=0 /a - b=X1X2+y1y2即两个向量的数量积

8、等于它们对应坐标的乘积的和2.向量的模若a =(X, y),则 |a |2 =x2 +y2,或 | a | = Jx2 +y2 .如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(X1,y1) ,(X2,y2),那么a = (X2 -X1, y2 -y1 ) Ia | = J(X2 X1 ) +(y2 % )3. 向量的垂直设 a=(Xi,yi),b=(X2,y2)，则bxiX2+yiy2=0.设a、b都是非零向量,4. 向量的夹角xi X2 + yi y2a=(xi,yi)，b=(X2,y2),是 a 与 b 的夹角，则cos8 =.1 a11 b 1Jx； + y： Jx； +y；例 1

9、已知 a=(3,-1) , b=(1,-2)，求 a b, al, |b|, a与 b 的夹角 解: ab = 3X1+(_1 F(-2 尸5 ,|a 1=J32 +(-1 2，|b|=Jl2 弋打 =75，cosQ = -a=二厂=,”0 =-I aII b I 訥0苗 24例 2 已知 A(1,2 )B(2,3C(-2,5 )求证:_L AC.解:竺M，1 )AC =(-3,3 ) AB ACJI ,3)=0 /.AB 丄 AC.例 3 已知 a=(-3,5)，b=(2,-3)，若 a+kb与 2a+3b 垂直，求 k 的值.解：a+ kb=(+2k,5-3k)2a+3b= (0,1) 由

10、题意(a + kb 2a +3b )=5 3k =0 /. k =5.3例4已知Ab =(/,k)AC =(3-2k,k +1求实数k的值，使三角形 ABC是直角三角形.解:B?=誰-AB =(5 -2k,1 )当O是直角时,ABbAC =k2 +5k-6=0= k =1 或k =-6;当ZB是直角时，ABb2 =5k -10=0= k =2;当NC是直角时,BCLAC=4k2 15k十16=0,此方程无解, ” k =1 或 k = -6或 k =2.| a匸屈| b |=2返，1X2 +2x(-2)Ticcost)=* = 练习1:已知a=(1,2), b=(2,-1)，求ai, |b|以及a与b的夹角75x27510/. 0 =71 arccos10练习2已知a=(2,-3), b=(3,1)，且b-a与b垂直，求实数 的值.(b-Za Lb= (3-2入)3+(1+3)护=10-3a -10-.儿.3练习3已知| a |=2护3, b =( -2,