《点集拓扑学》第7章§7.5度量空间中的紧致性

1、 7.5度量空间中的紧致性本节重点：掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间 的关系.由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是辽空间，所以上一节中的讨论(参见表7.2 )因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序 列紧致空间.但由于度量空间不一定就是Lindeloff 空间，因此从定理7.4.2并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间本节研究这个问题并给出肯定的回答.定义7.5.1设A是度量空间(X,p)中的一个非空子集.集合A的直径diam (A)定义为diam(A)=sup p (x,y)|x,y A若 A 是有界的diam(A

2、)= g 若 A是无界的定义7.5.2 设(X, p)是一个度量空间，A是X的一个开覆盖.实数 入 0称为开覆 盖A的一个Lebesgue数，如果对于 X中的任何一个子集 A,只要diam (A)v入，则A包 含于开覆盖A的某一个元素之中.Lebesgue数不一定存在.例如考虑实数空间R的开覆盖(- g,1) U (n - 1/n,n+1+1/n) |n Z+则任何一个正实数都不是它的Lebesgue数.(请读者自补证明.)定理7.5.1Lebesgue 数定理序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个 Lebesgue 数.证明 设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖.假若开覆盖A没有

3、Lebesgue数,则对于任何i Z+,实数1/i不是A的Lebesgue数，所以X有一个子集E,使得 diam (E)v 1/i并且Ei不包含于 A的任何元素之中.在每一个二之中任意选取一个点 ,由于X是一个序列紧致空间，所以序列._ 有一个收敛的子序列 二；：i-.由于A是X的一个开覆盖，故存在 A A使得y A,并且存在实数 0使得球形邻域 B( y, )_ A.由于；,所以存在整数 M使得k M+2/ ,则对于任何欣前碍) 0使得当iM时一.令k为任意一个整数,p （X, y）w p（x，二| ）+ p （:一 y）v 这证明与J、的选取矛盾.定理7.5.2每一个序列紧致的度量空间都是

4、紧致空间.证明 设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖根据定理7.5.1，X的开覆盖A有一个Lebesgue数，设为入0.令B=B（x,入/3）.它是X的一个开覆盖.我们先来证明B有一个有限子覆盖.假设B没有有限子覆盖.任意选取一点: X.对于i 1，假定点已经取定，由于Xj EXj LJ!P）V v 不是x的覆盖，选取 5按照归纳原则，序列 ._ 已经取定.易X X、Y Y pii见对于任何i,j Z+,i丰j，有p （二5）入/3 .序列- 没有任何收敛的子序列.（因 为任何y X的球形邻域B（y,入/6）中最多只能包含这个序列中的一个点.）这与 X是序列 紧致空间相矛盾.现在设 一 -是开覆盖B的一个有限子覆盖.由于其中每一个元素的直径都小于入，所以对于每一个i=1,2，,n存在以二二使得B（；入/3） 一二.于是一二-一二.是A的一个子覆盖.因此，根据定理7.5.2以及前一节中的讨论可见：定理7.5.3设X是一个度量空间则下列条件等价：（1）X是一个紧致空间;(2) X是一个列紧空间；(3) X是一个序列紧致空间；(4) X是一个可数紧致空间.我们将定理7.5.3的结论列为图表 7.3以示强调.瞎希1：|紧致空间O冋数紧致空间0 厚列紧致空间O列紧空间作业：P205 1 .本章总结：(1) 重点是紧致性、紧致性与分离性的关系.