5四点共圆问题

1、 5四点共圆问题“四点共圆”是平面几何证题中一个十分有利的工具.四点共圆这类问题一般有两种形 式:(1) 证明某四点共圆或以四点共圆为基础证明若干点共圆；(2) 通过某四点共圆得到一些重要的结果，进而解决问题. 下面先给出与四点共圆有关的一些基本知识.(1) 若干个点与某定点的距离相等，则这些点在同一圆周上；(2) 在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆；(3) 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角,则这四点共圆；(4) 若点C D在线段AB的同侧，且/ ACBZ ADB则A、B C D四点共圆；(5) 若两线段AB C相交于点E,且AE- EB=

2、CE- ED则A B C D四点共圆；(6) 若相交线段PA PBk各有一点C D,且PA- PG=PBPD,则A、B、C D四点共圆.四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置 关系相互转化的媒介.例1、已知PQR是圆内接四边形，/ PSf=90 ,过点Q乍PR PS勺垂线，垂足分别为点H K.求 证:HK平 分 QS.证法1 :如图1,设HKf Q安于点T,则/ TSI=90 - / RSQ=90 - / RPQ/ TKS.所以,TS=TK.又/ TQK90 - / TSK=90 - / TKZ TKQ,所以,TQ=TK.故TS=TQ,即HI平分QS.S说

3、明:证法1是观察到T是Rt QSI斜边上的中点，从而去证明TS =TK及TS=TQ.阳丨此题也可从另一个角度去考虑，平行四边形的对角线互相平分，于是有证法2. 证法2:如图2,分别延长KH和S戎于点G,联结QG.因为Z QHPZ QKP90 ,所以,Q、H K P四点共圆.于是，Z QKHZ QPHZ QSR因此,Q、K、S G四点共圆.故四边形QKS是矩形.从而,HK平分QS .例2、给定锐角厶ABC，以AB为直径的圆与边ABh的高线CC及其 延长线交于点M N ,以A(为直径的圆与边ACk的高线BB及其延 长线交于点P、Q.证明:M、P、N Q四点共圆. 证明:如图3,由于AB和AC是两圆

4、的直；：. -.-的垂直平分线分别是朋和AC.t&AM = AN.AP = A 0联结血仏 在Rt A ABM中.AftT足斜边上的高，由射影定理知AMACAB.同理洱=仙W因点共圆，由割线定理得ACAB = ABAC.故AM1 = AP2.即AM二AP 从而，仏P、/V、O四点在UM为圆心的圆周上.图3 例3在等腰ABC中为底边BC上任意一点勒过点P作两腰的平行线分别与ABAC交于点0、/?,又点P是点P关于直线0/?的对称点.求证:点严在的外接圆上*分析：此题即证明A.PB.C四点共圆厅是，只须证明ZBPfBAG 证明：如图4,联结叽 PCFQfR*由 AC.円? 佔，且厶ABC是等腰三角

5、形町得QPw QB二QRP = RC= RP所以点Q为 PR严的外心，点R为PPI的外心. 故 Z.BPP =BQP = yZA,ZCrP = yZCRP = -Z4,把上面两浅相加得ZBPfP + ZCFP = Z4 即 ZflC = Z4.因此,A、PR、C四点共圆.ARB P C 图4例4 ABCD是圆内接四边形MC是圆的苜径，BDAC.AC与BD的交点为E,点 F在U4的延长线上，联结B几点G在册的延长线上，使得DGBF,点H在GF的延长线匕CH丄GF证明：趴职四点共圆.证明：如图联结BH、EF、CG*因为 附 s 他，所以又因为 ARES八ACD,所以*AB ACEA=DA X得BI

6、 5因为ZF4E = ZC4G.所以，以Es CAC.于是.ZFEA二/CGA.由题设知乙CRG二乙CHG二90. 所VA,RX.G.H四点共圆从而4HC = GC 故ZBHF + ZBEFZBHC + 90 + ZBE2 Z6GC +90 + ZBEF mEA+907ZBEF二1眇因此RE、F、H四点共圆.例5在ABC的边上分别取点0*使得ZPBC二乙QCB二占乙A.求 证:BQ=CPI.L 1证明：由題设知/PBC = ZW*Z/L则ZRg + ZCPR = （厶+ZC-*厶）+ （厶+ZB-*厶） =/ A+Z B+Z C=180 ._如图6,作点P关于BC勺对称点Pf ,联结BP、CP

7、 .于是，Z BQCZ BP 0180 .所以,B、Q C P四点共圆.又因Z Pf BC=Z PBCZ QCB则BP / QC.故BOP C.所以,BQ=CP.说明:Z BQ和 Z CP是对线段BC勺两个视角，当点P、Q在线段rBC勺两侧时,B、Q P、C四点共圆；当点P、C在BC勺同侧时，常 常作对称点，然后便有四点共圆了，这会给解题带来极大方便.例6、在梯形 ABC中,AD/ BC,B（=B=1,AB=AC,CB1,且Z BAGZ BDC180。.求CD勺长.解:如图7,作点D关于BC勺对称点E,联结AE BE CE.设AE与BC交于点F.由AD/ BC知点A、E到BC勺距离相等，所以,

8、AF=FE.设COCE=x,AF二FE=m.由 Z BACZ BDC180。，得Z BACZ BE(=180所以,A、B E、C四点共圆.由ABAC,得Z ABCZ ACB. 所以，Z 1=Z ACBZ AB(=Z 2.又/ EB=Z EAC于是， BF0A ACE所以,BE AEFE CE从而,2m2=AE- FE=BE- CE=x.由角平分线的性质知BFCfBECEBFCF由式及相交弦定理得m2 =AF- FE=BF- FC=x(x 1)21-.又BF+CF=1 ,所以,xAG图$将式代入式得2 =x .解得x= 一 2 -1 .因此,CD= 2 -1 .(x 1)例7、在锐角 AB(中

9、,ABM AC,A區高,H是AD上一点，联结B併延长交ACF点E,联结C并延长 交ABE点F.已知B C E、F四点共圆问:点H是否一定是 AB啲垂心？证明你的结论.解:答案是肯定的.如图8,在AD或其延长线上取一点G,使得AH- AG=AF- ABAE AC.(1)若点 G 不重合，则/ AFf=ZAGB/AEI=Z AGC.因为B C E、F四点共圆，所以，/ BF(=Z CEB .从而,/ AFhhZ AEH因此, / AGBZ AGC.于是,AB=AC矛盾.(2)若点G D重合，则/AFH/ADB900 , / AEH/ ADC90。. 所以，点I一定是 ABC勺垂心.例&已知 ABC

10、勺重心G关于边BC勺对称点是G .证明:A、B、G、C四点共圆的充分必要条件是 AB2 AC2 2BC2.证明:如图9,设AD BE Cf ABC勺三条中线. 由于点G与点G关于BC寸称,则有/ BGC/ BG C.(1) 若A、B G、C四点共圆，则/BG C+/BA(=180 又因/EG=/BGC/ BG C,所以/ EGF/ EA=180 . 故A、F、G E四点共圆.于是，/ BG=/BAC因此， / BGC1800 - / BG=180 - / BAC/ ABC/ACB .过点G乍射线GS交边BCF点S,使得/ CGS/ ABC贝卩/ BGS/ ACB.由于/ CGS/ ABC/FB

11、S所以,B、F、G S四点共圆.由/BGS/ACB/ ECS知C E、G S四点共圆.由割线定理得BF - BA=BG BE=BS- BC,CE CA=CG CF=CS- CB .贝SBF- BA+CE- CA=BC(BSCS),即AB2 AC2 2BC2.222(2) 若AB AC 2BC ,如图9,延长A到点K,使得DI=DG联结BK CK.则四边形BGC是平行四边形.从而，/ BKC/ BGC又由重心性质知DK=DC=1 AD.3因为人臾厶ABC勺中线，所以，AB2 AC2 2AD2 2BD2 2AD2 -BC2. 结合 AB2 AC2 2BC2,得 ad2 3bc2.4贝y ad|dk

12、 ad I1 ad 1 3bc2 1 bc2 bd|dc.33 44从而,A、B K C四点共圆.故/ BKC/BA(=180 .又/ BKC/BGC/ BG C,所以, / BG C+/BAC180。.因此,A、B G、C四点共圆.练习题1. 设D是等腰Rt AB(底边BC勺中点,过C D两点(但不过点A任作一圆交直线A(于点E ,联结BE交此圆于点F. 求证:AF丄BE.2. AB为。O的直径，点C在O C上且OCL AB,P为O C上一点,位于点B C之间,直线CP与AB勺延长线交于点Q,过Q作直线与AB垂直,交直线AP于点R.求证:BQ=QR.3. 如图 10,在厶 ABC中 ,AD丄

13、 BC,BEL CA,ADf BE交于点 H,P为 边AB的中点,过点C乍CQLPH,垂足为Q.求证：PE2=PH- PQ.(提示:联结QE CH.易知/ ABE：/ACH注意至U AP=BP=EP,所 以,/ ABE：/ PEB从而,/ PEB：/ACH又易知 C H、E、Q 四点共圆,所以,/ EQH/ACH从而,/ EQH/PEB=/ PEH. 又/QP=/EPH所以, EPMA QPE故 PE2=PH PQ.)104. 凸四边形ABC的内切圆,切边AB BC CD DA的切点分别为A1,C1,D1, 联结 AB1,B1GQD1,D1A ,点E F、G H分别为 AE,BQ,C1D1,D

14、1A 的中点. 证明：四边形EFGH为矩形的充分必要条件是A B C D四点共圆(提示：如图11,易知点H在 AI上，且Al! Ad .又ID1丄由射影 定理可知IH IA=iD1=r2,其中r为内切圆半径.同理,IE IB = r2. 于是,IE IB=IH IA.故A、H E、B四点共圆.所以,/ EHI=/ ABE. 类似地，可证/ IHG=/ ADG/ IFE=/ CBE,/ IFG=/ CDG将这四个式子 相加得/ EHG/EFC/ABG/ADC所以,A、B、C D四点共圆的Q、B图11充要条件是E、F、G H四点共圆.而熟知一个四边形的各边中点围成的四边形是平行四边形，平行四边形为矩形的充要条件是该四边形的四个顶点共圆.因此，EFGH为矩形的充要条件是A、B、G D四点共圆.) 5.在Rt ABC勺每一条边上,都向外作一个正方形,这三个正方形的中心分别记为D E、F.试证 DEF与厶ABC的面积之比值(1)大于1；(2)不小于2.(提示：如