专题1——利用定积分定义求极限(1)(最新整理)

1、专题 1利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：n 是 n 时的极限 极限运算中含有连加符号i=1在定积分的定义中，我们把区间a, b 平均分成 n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间a, b，b - a2我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为n（即定义中的dxi ），这 n 个小区间分别为a, a + b - a ，a + b - a , a + 2 b - a ，a + 2 b - a , a + 3 b - a ，nnnnna + (n - 2) b - a , a + (n -1) b - a ，a + (n -1) b - a

2、, b ，在定义中每个小区间上任意取的x我们nnn b - aib - a一致取为每个小区间的右端点xi = a + in（也可以取左端点xi = a + (i -1)n），那么定义中nnb - a b - anb - a b - ab的 f (xi )dxi 就变为 f (a + in )n，那么lim f (a + in )n= af (x)dx 。（取i=1i=1nb - a b - abn i=1左端点时limf (a + (i -1)n i=1nn= af (x)dx ）注意：定积分的定义中l 0 表示的意思是把区间分割为无线个小区间（ n 也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意

3、分割的前提下，不能用 n 来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时， n 就nb - a b - ab表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是limf (a + i)n i=1nn= af (x)dx ，而不是lim f (a + i b - a ) b - a = b f (x)dx 。nl0 i=1nna11 ni如 f (x) 在区间0,1 上的积分可以表示为0 f (x)dx = lim n f ( n ) xi 取每个小区间的右端11 ni -1ni=1点，或者0 f (x)dx = lim n f (n ) xi

4、 取每个小区间的左端点。ni=1n3举例：求lim i4n i=1 n31 3n 1i 3分析：函数 f (x) = x在区间0,1 上的定积分的定义可以表示为0 x dx = lim ( )（这里xin i=1 nn1 3n 1i 3n i3取的是每个小区间的右端点），即 0 x dx = lim ( )= lim 4 。所以 n40n i31 3x4 11n i=1 nnn i=1 nlim=x dx =n i=14 |0 = 4对于这个考点的考法应该不会很深（这个方法经常在数学竞赛中用到），给出的极限应该可以化为某个函数在区间0,1 上的定积分，基于此，遇到这类题时，一定要把给出的极限化

5、为如下形式：lim 1 f ( i ) = 1 lim ninf ( ) 或者lim1 f (i -1) = 1 lim ni -1f () ，只要化为以上的几种nn i=1 nnn n i=1nn i=1 nnn n i=1n形式，那么给出的极限就是函数 f (x) 在区间0,1 上的积分，即 f (x)dx = lim 1 f ( i ) = 1 lim nin=f ( )lim1 f (i -1) = 1 lim nf (i -11n)0n i=1 nnn n i=1nn i=1 nnn n i=1n“”“”at the end, xiao bian gives you a passag

6、e. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. this document is also edited by m