空间直线及其方程

1、第六节 空间直线及其方程,本节内容提要,一、空间直线的几种形式,二、直线与直线、直线与平面间的关系,三、利用直线与平面其间的关系，求解综合题,教学目的： 使学生了解空间直线的几种形式，并会其间的 转换，会根据所给条件求直线方程，了解直线 与直线、直线与平面间的关系，会利用直线与 平面间的关系求解综合性题目,重点、难点：求空间直线方程 教学方法： 启发式教学法 教学手段： 多媒体课件和面授讲解相结合,教学时数： 2课时,一、空间直线的几种形式,过一点做一条且仅做一条与一条已知直线平行的直线，我们利用这一点建立直线方程,1、直线的标准式方程,定义：若一非零向量与一条直线L平行，则称该向量为直线L的

2、方向向量，一般用 表示。由定义可知直线的方向向量不唯一,已知直线L上一点 和直线L的方向向量 ，建立该直线L的方程,因为 ，所以,在直线L上任取一点,直线的标准式方程（或点向式方程,1,注：因为 ，所以 中可以有一个或两个数为零，规定（1）式中若分母为零，则其相应的分子也为零,如： ，则直线L的方程为,2、直线的参数式方程,令 , 则直线的方程变成,t为参数） -空间直线L的参 数式方程,例1、过点（-1，2，0.8）且以 为方向向量 的直线的标准式方程和参数式方程,解： 直线的标准式方程,直线的参数式方程： （t为参数,例2、求过点（1.1.-2）且垂直于平面 的直线方程,解：因为所求直线垂

3、直于平面，所以这个平面的法向量可以做为所求直线的方向向量，即,3、直线的两点式方程,直线过两点 , 则直线的两点式方程为,4、直线的一般方程,一条直线可以看成是过此直线的两个平面的交线，故直线方程可以用两个平面方程联立起来表示,设两个相交的平面方程为,则它们的交线L的方程为,空间直线的一般方程,例 将直线L的一般方程 化成标准式方程,解 令 代入原方程组， 得,解此方程组得,故（1.-1.0）为直线上一点,直线的标准式方程,练习 将直线L的一般方程 化成标准式方程,二、直线与直线、直线与平面间的关系,建立了直线与平面的方程，就可以通过方程来讨论直线与直线、直线与平面的位置关系,1、直线与直线的

4、位置关系,设直线 和直线 的方程分别为,则,当两条直线 相交时，设两条直线的夹角为 ，而方向向量 的夹角为 ，则 或,2、直线与平面的位置关系,设直线L的方程为,平面 的方程为,则有,当直线 和平面 相交时，直线 与它在平面上的投影线之间的夹角 称为直线 与平面 的夹角,如图,设直线的方向向量,与平面法向量 的夹角为 ，则,或,因此,例 求直线 ： 与平面 的夹角,解： 设直线 与平面 的夹角 为，则,三、利用直线与平面其间的关系，求解综合题,例1、求过点（-3.2.5）且与两平面 的交线平行的直线方程,解：设所求直线的方向向量为,因为所求直线与两平面的交线平行，所以 垂直于两平面的法向量,所求直线为： 即,例2、求通过点M（1.2.-2）且通过直线 的平面方程,解： 由直线 的方程可知,直线上一点 ，平面的法向量垂直于 及直线L的方向向量,所求的平面方程为 即,例3、求