(整理)高等数学曲线积分与曲面积分.(最新整理)

1、精品文档第十章曲线积分和曲面积分（a）1、计算下列对弧长的曲线积分1） l (x 2 + y 2 )n ds ，其中： l : x = a cos t, y = a sin t(0 t 2p)精品文档2） l xds, 其中 l为由y = x及y = x 2围成3） t x 2 yzds, 其中t 为折线 abcd，这里 a，b，c，d 依次为点（0，0，0），（0，0，2），（1，0，2），（1，3，2）4） l (x 2 + y 2 )ds, 其中 l： x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t - t cos t), (0 t 2p)2 、计算下列对坐标的曲

2、线积分1） l (x 2 - y 2 )dx, 其中 l 是 y = x 2 上从（0，0）到（2，4）的一段弧2） l xydx, 其中 l 是(x - a)2 + y 2 = a 2 及 x 轴围成的在第一象限内的区域的整个边界（逆时针向）3） t dx - dy + ydz, 其中 t 为有向闭折线 abca，这里 a，b，c 依次为点（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）4） l (x 2 - 2xy)dx + ( y 2 - 2xy)dy ，其中 l 是 y = x 2 上从点（-1，1）到（1，1）的一段弧3、利用格林公式，计算下列曲线积分1） l (2x - y + 4)

3、dx + (5 y + 3x - 6)dy, 其中 l 为三顶点分别为（0，0），（3，0）和（3，2）的三角形正向边界2） l (x 2 y cos x + 2xy sin x - y 2ex )dx + (x 2 sin x - 2 yex )dy, 其中 l 为正向星形线222x 3 + y 3 = a 3 (a 0)3） l (2xy 3 - y 2 cos x)dx + (1 - 2 y sin x + 3x 2 y 2 )dy, 其中 l 为抛物线 2x = py 2 上由p（0，0）到（,1) 的一段弧24、验证下列 p(x, y)dx + q(x, y)dy 在整个 xoy 面

4、内是某个u(x, y) 的全微分，并求这样的u(x, y)1） (x + 2 y)dx + (2x + y)dy2） (2x cos y + y 2 cos x)dx + (2 y sin x - x 2 sin y)dy5 、计算下列对面积的曲面积分4xyz1） (2x + 3 y + z)ds, 其中 为平面 2 + 3 + 4 = 1在第一卦限中的部分x 2 + y 22） (xy + yz + xz)ds, 其中 为锥面 z =被柱面 x 2 + y 2 = 2ax 所截得的有限部分6 、计算下列对坐标的曲面积分1） x 2 y 2 zdxdy, 其中 是球面 x 2 + y 2 +

5、z 2 = r 2 的下半部分的下侧2） xzdxdy + xydydz + yzdzdx, 其中 是平面 x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 围成区域的整个边界曲面的外侧7 、利用高斯公式计算曲面积分1） x3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy, 其中 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 的外侧2） xdydz + ydzdx + zdxdy, 其中 为界于 z = 0, z = 3 之间的圆柱体 x 2 + y 2 9 的整个表面的外侧8 、 求下列向量的散度w1） a = (x 2+ yz)i + ( y 2+ xz) j

6、+ (z 2+ xy)kw2） a = exyi + cos(xy) j + cos(xz 2 )kw9、求下列向量场 a 的旋度1） a = (2z - 3y)i + (3x - z) j + ( y - 2x)kw2） a = (z + sin y)i - (z - x cos y) j(b)a 2 - x 21、一段铁丝成半圆形 y =，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量.2、 把 l x 2 ydx - xdy 化为对弧长的曲线积分，其中 l 为 y = x 2 从点 a（-1，1）到 b（1，1）的弧段.3、把 g xyzdx + yzdy + xzdz 化成对弧长

7、的曲线积分，其中g 为曲线 x = t, y = t 2 , z = t 3 (0 t 1) 一段弧.4、求心形线 x = 2a cos t - a cos 2t, y = 2a sin t - a sin 2t 所围图形的面积.5、 求 l ( y 2ex + 3x 2 + 2xy + y 2 )dx + (2 yex + x 2 + 2xy - 3y 2 )dy ， 其 中 ： l 为1 - x 2y =从 a（1，0）到 b（0，1）.6、 把 pdydz + qdzdx + rdxdy 化为对面积的曲面积分，其中s1） s 是平面 x - 2 y + 3z = 6 在第二卦限部分上侧a

8、 2 - x 2 - y 22） s 是 z =上侧7 、 (x 2 - yz)dydz + ( y 2 - zx)dzdx + 2zdxdy, 其中s 为锥面 z = 1 -s上侧.x 2 + y 2 (z 0) 的8、 g ( y 2 - z 2 )dx + (z 2 - x 2 )dy + (x 2 - y 2 )dz ， 其 中 g 为 柱 面x + y + z = 1的交线，从 z 轴正向看g 为逆时针方向.x 2 + y 2 = 1与 平 面（c）1、计 算 i = l ( y - z)dx + (z - x)dy + (x - y)dz, 其 中 ： l：x 2 + y 2 =

9、a 2 x + z = 1,（a 0, h 0),从 x 轴正向看去 l 为逆时针. ah2、 已知曲线积分 i = l y 3dx + (3x - x3 )dy, 其中 l 为 x 2 + y 2 = r 2 (r 0) 正向，求（1） r 为何值时 i = 0 ;（2） 求 i 的最大值.3 、计算 i = f (x, y, z) + xdydz + 2 f (x, y, z) + ydzdx + f (x, y, z) + zdxdy ,其中：sf (x, y, z) 连续， s 为 x - y + z = 1 在第卦限部分的上侧.第十章曲线积分和曲面积分习 题 答 案1、1） 2pa

10、2n+15212)(5+ 612- 1)（a）(3)9(4)2p2a3 (1 + 2p2 )-562、1）2） - pa3114-3）4）153 、 1)122)022p213)4、1)x 24215+ 2xy + 1 y 222) y 2sin x + x 2cos y5 、1)42) 6461152a 46 、1)2105pr 72) 187、 1) 12pa552)81p8、 1)diva = 2x + 2 y + 2z2)diva = yexy - x sin(xy) - 2xz sin(xz 2 )9、1)rota = 2i + 4 j + 6k2)rota = i + j1、提示：

11、 m = l yds = 2a 2 , l : y =（b）a 2 - x 2，上半圆2a 211 + 4x 212、提示： l : y = x 2 , y = 2x, tana= 2x, cosa=, sina=2x2 l xydx - xdy = l (x y- x2x)ds = l1 + 4x 2( y - 2)x 21 + 4x 2ds1 + 4x 21 + 4x 223、提示：x = t, y = t 2 , z = t 3 , x = 1, y = 2t, z = 3t 2 ,ttt12t3t 3cosa= , cos b= , cosg = ，1 + 4t 2 + 9t 4 g

12、xyzdx + yzdy + xzdz = 1 + 4t 2 + 9t 4xyz + 2tyz + 3t 2 xz1 + 4t 2 + 9t 4ds =1 + 4t 2 + 9t 41 + 4t 2 + 9t 46xyzds14、 s = 2 lxdy - ydx = 6pa 21qpd5、连 oa，ob，（o（0，0），使 oa，ob，l 构成 4 圆周，t于是 t = ( x - y )ds=0 0而 oa =1 3x 2dx = 1, ob =1 (-3y 2 )dy = -1, = - 1 01)h l6 、 w = 1,-2,3, cosa=1 , cos b= - 2 , cosg

13、 =314141414= (p cosa+ q cos b+ r cosg)ds = 1 (p - 2q + 3r)dsss2 a 2 - x 2 - y 22） z =- x= - x , z= - yw = x y xzy, hzz,1,zxyzcosa= , x 2 + y 2 + z 2x 2 + y 2 + z 2x 2 + y 2 + z 2 = (sspx + qy + rzx 2 + y 2 + z 2ds 。x 2 + y 2 = 17、设s1 : z = 0下侧，则s + s1构成闭曲面，于是： = (2x + 2 y + z)dv = 2p，而 = 0, = 2p。s1

14、+sw3ss3cosacos bcosgxyzy 2 - z 2z 2 - x 2x 2 - y 28、 g = sds ，3hw = 1,1,1, cosa= cos b= cosg = 1 ， g =(-2 y - 2z - 2x - 2 y - 2x - 2z)ds13s333= - 4 (x + y + z)ds = - 4 ds ， = - 4 3dxdy = -4pssx = a cos t1 解： l : 参数方程为 y = a sin tz = h(1 - cos t)sc0 t 2p,i = 2pa cos t - h(1 - cos t)(-a sin t) + h(1 -

15、 cos t) - a sin ta cos t0+ a(cos t - sin t)hsin tdt = -2pa(a + h)另解：用 stokes 公式：i = -2dydz + dzdx + dxdy = -2(cosa+ cos b+ cosg)ds ，ssw = cosa, cos b, cosg = a ,0, h ，a 2 + h 2a 2 + h 2ha 2 + h 2i = -2 a + hds = -2pa(a + h)s2、解： i = ( q - p )ds= (3 - 3x 2 - 3y 2 )dxdydxyd= 32pdqr (1 - r 2 )rdr = 3pr

16、 2 (1 - r 2 ) ，02(1)r = r = 1, i0max2时 i = 0, (2)i = 6pr(1 - r 2 ) = 0, r = 1,= 3p 2h3、解：平面s 的法向量 w = 1,-1,1，3则cosa=1 , cos b= -1 , cosg = 1 ,333 i = 1 f (x, y, z) + x- 1 2 f (x, y, z) + y+ 1 f (x, y, z) +s33z ds= 1 (x - y + z)ds = 1 ds = 1 3dxdy = 1333ssdxy2“”“”at the end, xiao bian gives you a pas

17、sage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge,