等效切割长度

1、1、线框切割【例1】如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，磁场边界竖直，宽度为2L, abed是用金属丝做成的边长为L的正方形闭合线框，ed边与磁场边界重合，线框由图示位置起以水平速度v匀速穿过磁场区域在这个过程中，关于岀两点间的电压U沁 随时间变化的图像正确的是B xxxxxl jx x x x xj(mg)2 f2)RB2a2(3) Q2 2 23mR (mg) f 2B4a4(mgf)(a b)例4如图浙贰 将边长为念 质疑为皿、取覘为R的朮方形导线枢竖直向上拋出， 穿过宽度为匕 磁感应强度为B的匀强磁场，磴场的方向垂直纸面向里.线框向上离开磁场时的速度刚好是竝人檯场时邃度的一半，线樞离

2、开碣场后绅续上升一段 高度,然后落下并匀速进人磁场.整个运动过程中始终存在疔人小恒定的空气砒 力f RM框不发生转幼.求：(1)线框在下稱阶段匀速进人磁场时的逑度堆： (2)线横在上升惋段刚离开磁场时的速度VC3)线樞在上升阶段通过磁场过程屮产生的焦耳热艮解：对旬速进入(3)对刚进入磁场到刚完全出磁场丫动能定理 mgf十F安w +w旷_丄Ps=Bla 叫 +忙 - 2“I=E/R 匕二-饴(“引处! -(mg- f)R =.,呼(呷+ 3十石)由到环缶-和护亦) 对V到最高点,动能定理3爲1如汀一门-(ffJg 1 f)h = 0 阳=对最高点单V动能定理(mg-f)h = -mv -0 由到

3、得車心存鸣丁巴答案：(1) V2豐2严B aB2a(2) V1注意点：1.第问还可以选其他过程用动能定理，还可以用运动学公式2第问还可以用能量守恒，但容易漏掉摩擦生热【例3】(扬州期末15分)如图所示，一边长L = 0.2m,质量mi = 0.5kg，电阻R = 0.1 Q的正方形导体线框abed，与一质量为m2 = 2kg的物块通过轻质细线跨过两 定滑轮相连。起初ad边距磁场下边界为d1 = 0.8m,磁感应强度B=2.5T,磁场宽度d2 =0.3m,物块放在倾角9=53勺斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数尸0.5 现将物块由静止释放，经一段时间后发现 当ad边从 磁场上边缘穿出时，线框恰好做

4、匀速运动 。(g取10m/s2, sin53 =0.8cos53 = 0)求：(2) 线框ad边从磁场上边缘穿出时绳中拉力的 功率；b(2)线框刚刚全部进入磁场时速度的大小；(3)整个运动过程中线框产生的焦耳热。解：(1)由于线框匀速出磁场，则对 m2有:mgsinm?g cosT F得 T=10N对 mi有:T m1g BIL 0I又因为BLvR联立可得:2cos)陀 r 2m/sb2l2所以绳中拉力的功率 P=Tv=20W 2分(2)从线框刚刚全部进入磁场到线框ad边刚要离开磁场，由动能定理得Eg sinm2g cos )(d2L) m1g(d2 L)1(mi m2)v2 Ek(3)1(m

5、i 讣23.10解得 V0=5=1.9m/s2分从初状态到线框刚刚完全出磁场，由能的转化与守恒定律可得(m2g sinm2 cos )(d1 d2 L) m1 g(d1 d2 L) Q将数值代入，整理可得线框在整个运动过程中产生的焦耳热为:Q = 1.5 J1分2、双杆切割a、无外力等距双棒I Blv2 Blv1 Bl( v2v1)RR2RR2随着棒2的减速、棒1的加速，两棒的相对速度 v-v变小，回路中电流也变小。2 1v =0 时:1电流最大 1mBlvoR1 R2v =v 时:2 1电流1=0安培力FbBIlB2|2(v2 v1)RR21L |IlJI%0J21动量守恒、能量转化b、无外

6、力不等距双棒Bl1v1电流Bl 2 V2RR2最终当Bl v = Bl v时，电流为零，两棒都做匀速运动1 1 2 2棒1加速度变小的减速，最终匀速；棒2加速度变小的加速，最终匀速.最终 Bl1v1 Bl2v2F1BIl 1l1任一时刻两棒中电流相同，两棒受到的安培力大小之比为：f2BIl2l2整个过程中两棒所受安培力冲量大小之比：I1F1|112F 2I2对棒 1:11m1vom1v1对棒 2：I 2gV2 0结合：结口：可得:Bl1v1Bl2v2mJ；mJ； m2h2V。m1I2I1mJ； m2l：V。系统动能电能内能1 2 1 2 1 2 gv。 gw m?v2 Q2 2 2流过某一截面

7、的电量BJq m2v2 0Q1R1Q2R2a1FbC有外力等距双棒棒2相当于电源；棒1受安培力而起动.Blv2Blv1R2棒1：棒2：当a2 = a1时a2F Fbm2V2-V1恒定I恒定Fb恒定两棒匀加速稳定时的速度差Fb BIlI Bl( V2V1 )R1R2(RR2 )m1 F2 2B l ( mi m2)F (m m2 )a【例1】如图，两根间距为I的光滑金属导轨(不计电阻)，由一段圆弧部分与一段无限长 的水平段组成。其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场，其磁感应强度为B,导轨水平段上静止放置一金属棒 cd,质量为2m，电阻为2r。另一质量为 m电阻为r的金属棒ab,从圆弧段M处由静止释

8、放滑至 N处进入水平段，圆弧段 MNH径R,所对圆心角为60，求:(1)ab棒在N处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？(2) ab棒能达到的最大速度是多大？(3) ab棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少?解析：(1)ab棒由静止从 M滑下到N的过程中，只有重力做功，机 械能守恒，所以到N处速度可求，进而可求ab棒切割磁感线时产生 的感应电动势和回路中的感应电流。ab棒由M下滑到N过程中，机械能守恒，故有:mgR(1 cos60 )1 2 -mv 2解得v .gR进入磁场区瞬间，回路中电流强度为E Bl gR2r r 3r(2 )设ab棒与cd棒所受安培力的大小为F,安培

9、力作用时间为t，ab棒在安培力作用下做减速运动，cd棒在安培力作用下做加速运动,当两棒速度达到相同速度 v时，电路中运用动量守恒定律得mv(2 mm)v解得v 丄 JgR3(3)释放热量等于系统机械能减少量，有121Q - mv -23mv 2解得Q22电流为零，安培力为零，cd达到最大速度。【例2 (2003年天津卷)如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应13mgR强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小， 可忽略不计。导轨间的距离l= 0.20m。两根质量均为 m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动 过程中与导轨保持垂直，每根

10、金属杆的电阻为F=0.50 Q。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。2经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s，问此时两金属杆的速度各为多少？解析：设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为V1和V2 ,经过很短的时间(t 0时为0) t，杆甲移动距离 V1 t，杆乙移动距离 V2 t，回路面积改变S (x v2 t) v1 t t lx (v1 v2)l tS由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势 E B t回路中的电流i ,杆甲的运动方程 F Bli ma 2R由于作用于杆甲和杆乙的安

11、培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量等于外力F的冲量Ft mv1 mv2联立以上各式解得W妒罕(F ma)2 mB2F2RV2bv(fma)代入数据得 w 8.15m/sv2 1.85m/s【例3】两根相距d=0.20m平行金属长导轨固定在同一水平面，处于竖直方向的匀强磁场中， 磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25 Q,回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示.不计导轨上的摩擦(1 )求作用于每条金属细杆的拉力的大小(2)求两金属细

12、杆在间距增加0.40m的滑动过程共产生的热量.|解析：(1)当两金属杆都以速度 v匀速滑动时，每条金属杆中产生J 巳 E22rF1=F=IBd。的感应电动势分别为：E=Ea=Bdv由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为：I因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为由以上各式并代入数据得F1 F223.2 10 N2 L(2)设两金属杆之间增加的距离L,则两金属杆共产生的热量为Q I 2 2r L，代2v入数据得Q=1.28 X 10-2 J.3、等效切割以及电磁感应的图像问题例1. ( 09年山东卷)21 如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线 MN右侧有磁感应强度为

13、 B的匀强磁场。方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v向右匀速进入 磁场，直径CD始络与MN垂直。从D点到达边界开始到 C点进入磁场为止， 下列结论正确的X XXXX XXXX XX X X XXXX XXX是A. 感应电流方向不变B. CD段直线始终不受安培力C. 感应电动势最大值 E= Bav1D. 感应电动势平均值 E Bav解析：A选项在闭合电路进入磁场的过程中，通过闭合电路的磁通量逐渐增大，根据楞B选项根据左手定则可以判断，受安培力向下，B不正确。C选项当半圆闭合回路进入磁场一半时，即这时等效长度最大为a.这时感应电动势最大E=Bav，C正确D选项感应电动势平均值 E答案：ACD2a

14、注意点：感应电动势公式 E，D正确。只能来计算平均值，利用感应电动势公式 tE Blv计算时,I应是等效长度，即垂直切割磁感线的长度。例3如图所示，在戸0 (?幷区域存在着磁感应强度大 小相等、方向相反的匀强磴场，磁场方向均垂直纸 fib血边与磁场的边界p厳合和导线框与磁场区域的尺 寸如图所示。从f = 0时刻开始线框匀速横穿两个蹴场 区域。以Qf方f Qf 甘f/为线框中电幼势的正方向為 以下四个关系示意图中正确的是()解析：由楞次定律或左手定则可判定线框刚开始进入 彬场时的电流方向，即感应电动势的方向为顺时针方 向，故D选项错课：1 2$内1磁通屋不变化，感应电动势为0、A选项错误;2-

15、3s内，产生感应电动势E=2Bb十斑=3/JM感应电 动势的方向为逆时针方向（正方向儿故C&项正确.答案：C【例3】.08年全国2如图，一个边长为I的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场； 一个边长也为I的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直；虚线框对角线ab与导线框的一条边垂直，ba的延长线平分导线框。在t = 0时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿ab方向移动，直到整个导线框离开磁场区域。以i表示导线框中感应电流的强度，取逆时针方向为正。下列表示it关系的图示中，可能正确的是CM4【例4】如图所示，有一弯成 e角的光滑金属导轨 POQ，水平放置在磁感应强度为 B的匀 强磁场中，磁场方向

16、与导轨平面垂直，有一金属棒MN与导轨的OQ边垂直放置，当金属棒 从O点开始以加速度a向右匀加速运动t秒时，棒与导轨所构成的回路中的感应电动势是多 少?解：由于导轨的夹角为 e，开始运动t秒时，金属棒切割磁感线的有效长度为:1 2FQL=sta n e = 一 at2ta n ev=at据运动学公式，这时金属棒切割磁感线的速度为 由题意知B、L、v三者互相垂直，有E=BLv=B at2tanB at= Ba2t3tanB2 2即金属棒运动t秒时，棒与导轨所构成的回路中的感应电动势是1E= Ba2t3tan B .2【例5】、如图所示，平行于y轴的导体棒以速度 v向右匀速直线运动，经过半径为R、磁

17、感应强度为B的圆形匀强磁场区域，导体棒中的感应电动势与导体棒位置x关系的图像是 AMN PQ磁场宽度为 L。一个边长感应电流i随时间t变化的图象可能是图8中的哪一个A.只可能是B.只可能是C.只可能是D.只可能是【例6】、如图所示，水平方向的匀速磁场的上下边界分别是为a的正方形导线框（L2a）从磁场上方下落，运动过程中上下两边始终与磁场边界平行。线框进入磁场过程中感应电流i随时间t变化的图象如图 7所示，则线框从磁场中穿岀过程中有一较小的三角形线框abc【例7】、如图所示，两平行的虚线间的区域内存在着有界匀强磁场,与ah边垂直.则下列各图中哪一个可以定性地表示线框在上述过程中感应电流随时间变化

18、的规律？（ D ）【例8】、如图所示,LOO和/ OO L 均为45。折线的右边有一匀强磁场，其方向垂直00的方向以速度v做匀速直线运动，在 t =0时刻恰好位于图中所示的位置。以逆时针方向为导线框中电流的正方向，在下面四幅图中能够正确表示电流一时间（I t ）关系的是（时间以l/v为单位）（D ）【例9】.L12011 江苏物理卷如图5所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计.匀强磁场与导轨平面垂直.阻值为R的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好.t = 0时，将开关S由1掷到2. q、i、v和a分别表示电容器所带的电荷量、A【例 10】. L12011-江苏物理卷D【解析】

19、当开关S由1掷到2时，电容器开始放电,此时电流最大,棒受到的安培力最大，加速度最大,以后棒开始运动，产生感应电动势,棒相当于电源,利用右手定则可判断棒上端为正极,下端为负极，当棒运动一段时间后,电路中的电流逐渐减小，当电容器极板电压与棒两端电动势相等时，电容器不再放电,电路电流等于零，棒做匀速运动，加速度减为零，所以,B、C错误，D正确；因电容器两极板有电压，由q = CU知电容器所带的电荷量不等于零,A错误【例11】、如图甲所示，圆形线圈处于垂直于线圈平面的匀强磁场中,磁感应强度的变化如图乙所T_ T的时间内，关于环中的感应示在t=0时磁感应强度的方向指向纸里，则在0 f和厶一大小相等，方向

20、先是顺时针,后是逆时针大小相等，方向先是逆时针,后是顺时针大小不等，方向先是顺时针,后是逆时针大小不等，方向先是逆时针,后是顺时针【例12】如图所示,AB是两个同心圆，半径之比Ra : Rb=2 :1,AB是由相同材料，粗细求AB中电流大小之比（不一样的导体做成的，小圆B外无磁场，B内磁场的变化如图所示， 计两圆中电流形成磁场的相互作用）解析：在 = B/ t -S中，S是磁场变化的面积.所以1 A= B t2 rIb= B 2 r2 2r t2 rSS所以 Ia： Ib= 1 : 2注意:IA的计算不可用做实际面积大小【例13】.【2011 甘肃模拟】如图X22 6所示，虚线上方空间有垂直线

21、框平面的匀强磁场， 直角扇形导线框绕垂直于线框平面的轴O以角速度3匀速转动设线框中感应电流方向以逆时针为正，那么在图X22 7中能正确描述线框从图 X22- 6中所示位置开始转动 一周的过程中线框内感应电流随时间变化情况的是（A ）HMWBB屛具基屋NMOtHNp;图 X22 6ABCD图 X22 7与运动能量相结合的题型【例1】、如图所示，用一根均匀导线做成的矩形导线框abed放在匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直，ab、be边上跨放着均匀直导线ef,各导线的电阻不可以忽略。当将导线ef从ab附近匀速向右移动到ed附近的过程中（ A ）A. ef受到的磁场力方向向左B. ef两端的电压始终不

22、变C. ef中的电流先变大后变小D. 整个电路的发热功率保持不变*X耳XXXXXXX*XMXVXXX【例2.两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为 L，底端接 阻值为R的电阻。将质量为 m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹 簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为 B的匀强磁场垂直，如图所示。除电阻 R外其余电阻不计。现 将金属棒从弹簧原长位置由静止释放则A .释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度gC.金属棒的速度为 v时.所受的安培力大小为2, 2B L vB. 金属棒向下运动时，流过电阻R的电流方向为bD .电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少答案：AC解析：在释放的瞬间，

23、速度为零，不受安培力的作用，只受到重力，A对。由右手定则可得， 电流的方向从 b至U a, B错。当速度为v时，产生的电动势为 E Blv，受到的安培力为F BIL，计算可得F,C对。在运动的过程中，是弹簧的弹性势能、重力势能和内能的转化，D错。【例3.【2011 南京质检如图 X23- 1所示，在光滑绝缘水平面上，一矩形线圈冲入一匀强磁场，线圈全部进入磁场区域时， 其动能恰好等于它在磁场外面时的一半. 设磁场宽度大于线圈宽度，那么（）IIkK :K :图 X23 1A. 线圈恰好在刚离开磁场的地方停下B. 线圈在磁场中某位置停下C. 线圈在未完全离开磁场时即已停下D. 线圈完全离开磁场以后仍

24、能继续运动，不会停下来12. D【解析 线圈冲入匀强磁场时，产生感应电流，线圈受安培力作用做减速运动，动能也减少.同理，线圈冲出匀强磁场时，动能减少，进、出时减少的动能都等于安培力做的功.由于进入时的速度大，故感应电流大，安培力大，安培力做的功也多，减少的动能也多，而线圈离开磁场过程中损失的动能少于它进入磁场时损失的动能，即少于它在磁场外面时动能的一半，因此线圈离开磁场仍继续运动.故选D.【例4.【2011 黑龙江模拟如图X23 3所示，连接两个定值电阻的平行金属导轨与水冬、图 X23 3有一导体棒ab质量为m棒的电阻为2R棒与导轨之间的动摩擦因数为口.导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为

25、 v时，定值电阻F2消耗的电功率为 P,下列说法正确的是( )A. 此时重力的功率为 mgvcos 0B. 此装置消耗的机械功率为口 mgvcos 0一、亠6PC. 导体棒受到的安培力的大小为一、亠8PD. 导体棒受到的安培力的大小为-v13. C【解析】 根据功率计算公式，则此时重力的功率为mgn 0，即选项A不正确；由于摩擦力f = 口 mgpos 0，故因摩擦而消耗的热功率为口 mgcos 0，由法拉第电磁感2 2应定律得E= BLv，回路总电流I = 3R导体棒滑动时受到安培力F= BIL = BR故整Eh2v个装置消耗的机械功率为(而 + 口 mgcos 0 )v,即选项B不正确.由

26、于 R=2R棒的电阻也为2R,当上滑的速度为 v时，定值电阻 R消耗的电功率为 P,则定值电阻 R 消耗的电功率也为 P,根据电路的基本特点，此时导体棒ab消耗的电功率应该为 4P,故整个电路消耗的电功率为6P,即安培力做功的功率为6P,所以导体棒受到的安培力6P的大小为F= Q,即选项C正确，而选项 D错误.楞次定律:【例1】如图，粗糙水平桌面上有一质量为m的铜质矩形线圈线圈中线AB正上方等高快速经过时，若线圈始终不动，则关于 线圈受到的支持力 Fn及在水平方向运动趋势的正确判断是A. Fn先小于mg后大于mg,运动趋势向左B. Fn先大于mg后小于mg,运动趋势向左C. Fn先大于mg后大

27、于mg,运动趋势向右D. Fn先大于mg后小于mg,运动趋势向右答案：D解析：本题考查电磁感应有关的知识，本题为中等难度题目。 条形磁铁从线圈正上方等高快速经过时，通过线圈的磁通量先增加后又减小。当通过线圈磁通量增加时，为阻碍其增加，在竖直方向上线圈有向下运动的趋势，所以线圈受到的支持力大于其重力，在水平方向上有向右运动的趋势， 当通过线圈的磁通量减小时，为阻碍其减小，在竖直方向上线圈有向上运动的趋势，所以线圈受到的支持力小于其重力，在水平方向上有向右运动的趋势。综上所述，线圈所受到的支持力先大于重力后小于重力，运动趋势总是向右。【例2】如图所示，AOC是光滑的金属轨道， A0沿竖直方向，0C沿水平方向，PQ是一根金 属直杆如图立在导轨上，0P 0Q直杆从图示位置由静止开始在重力作用下运动，运动过程 中Q0端始终在0C上, P端始终在A0上，直到完全落在 的匀强磁场，则在 PQ棒滑动的过程中，下列判断正确的是（A. 感应电流的方向始终由 i QB. 感应电流的方向先由 PtQ,再是CHPC.