第3章动量守恒定律和能量守恒定1

1、第三章动量守恒定律和能量守恒定律问题解答3-1如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。试问：在下述情况下，(1 )地球从点 A运动到点B，( 2 )地球从点 A运动到点C，( 3) 地球从点A出发绕行一周又返回点 A，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？心丄 Mm mv2解由G盲 盲可得，地球绕太阳作圆周:. C运动的速率为v，方向沿轨道切线方向。Va(1) 地球从A到B，动量增量的大小为Pabm Vab m . 2v2GM方向与B点速度方向成45角。在运动过程中，地球只受到引力作用，由动量定理可知，地球所受的冲量等于动量的增量，即I abPabm 2GM方向与B点速度方向成

2、45角。(2) 同理，地球从 A运动到C，动量增量大小为Pacm Vac2mv 2m 冒，方向与C点速度方向相同。此过程中地球所受的冲量为IacPac 2m，方向与C点速度方向相同。(3) 当地球绕行一周回到 A时，动量增量为零，地球所受到的冲量也为零。3-2假使你处在摩擦可略去不计的覆盖着冰的湖面上，周围又无其它可以利用 的工具，你怎样依靠自身的努力返回湖岸呢？解可以将身上所带的物品往后扔，由于动量守恒，人自身会向前进。3-3质点系的动量守恒，是否意味着该系统中，一部分质点的速率变大时，另 部分质点的速率一定会变小？解 不一定，因为动量是矢量，既有大小也有方向。例如炸弹爆炸，产生的碎 片获得

3、的速率相对爆炸前都增大，但方向不一。3-4 一人在帆船上用电动鼓风机正对帆鼓风，帆船是前进，还是后退？为什么?解 帆船仍然静止，鼓风机所鼓的风对帆及其自身都有作用力，对于整个帆船 来看，风对帆和鼓风机的力属于内力，动量守恒。3-5在大气中，打开充气气球下方的塞子，让空气从球中冲出，气球可在大气 中上升。如果在真空中打开气球的塞子，气球也会上升吗？说明其道理。解 气球会上升，由动量守恒，从气球中乡下冲出的空气会给气球一个向上的 冲力。3-6在水平光滑的平面上放一长为L、质量为m的小车，车的一端站有质量为m的人，人和车都是静止不动的。人以速率 此过程中人和小车相对地面各移动了多少距 离？解 如图所

4、示，取人与车为系统，在水平 方向系统不受外力，满足动量守恒。设小车沿 地面的速率为V，所以有v相对地面从车的一端走向另一端，在mv m v将上式两边乘以dt，并对时间积分tt设t时刻，人刚好走到小车另一端,此时人相对于地面运动的距离为s，小车相对于m0Vdt m 0Vdt (1)v dt，代入（1）式有t地面运动的距离为 s，所以s vdt，so(3)ms m s又由图示可知 s s l由（2）（ 3）可得人对地面移动的距离为 s -lm m小车对地面移动的距离为3-7人从大船上容易跳上岸，而从小舟上则不容易跳上岸了，这是为什么？ 解 船与河岸的距离一定，人要能跳上岸，则他相对于地面的速率必须

5、要达到一定的值，假设这个所需的速率为v，设人的质量为 m，船的质量为 m2，并且当起跳时人相对船的速率为U ,由相对运动可知，此时船相对地面运动的速率为v2u v1取人与船为一个系统，起跳过程中，在水平方向满足动量守恒，即m1v1m2 u v1m2又上式分析可知，人的质量m!、人相对地面所需的速度W恒定，当船的质量越小，则人相对船起跳的速率也要越大，即人从小舟跳上岸要 困难些。3-8质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点 的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？请举例说明。解 质点的速度v因惯性系选取的不同而不同，所以质点的动量和动能都与惯 性系的选取有关；由位移dr

6、vdt，即位移与惯性系有关， 所以对于功dW F dr 也与惯性系有关；动量定理与惯性系选取无关；动能定理与惯性系有关。例如，在一辆以速率 u匀速前进的火车上，一乘客用一恒定力F拉动物体A，使物体相对于火车由静止开始运动，则物体相对于当运动t秒后，取地面为参考系，物体的动量为P m u at，动能为1 2 1 2Ek m u at ，力F作功W at F，这段时间内其动量定理表达式为一 1 2 1 2 1 2Ft m v mat，动能定理表达式为 F ut at m u at mu2 2 21 2取火车为参考系，物体的动量为 P mat，动能为Ekm at ，动量定理2表达式Ft m v ma

7、t，动能定理表达式为匚 1 +21+ 2F at m at2 23-9关于质点系的动能定理，有人认为可以这样得到，即：“在质点系内，由于各质点间相互作用的力（内力）总是成对出现的，他们大小相等方向相反，因而所 有内力做功相互抵消。这样质点系的总动能增量等于外力对质点系做的功”。显然这与式（3-20）所表述的质点系动能定理不符。错误出在哪里呢？解 这种观点不正确，各质点间的内力虽是成对出现的，且大小相等方向相反，Fdr-j但它们分别作用在不同的质点上，质点的位移并不一 定相同，所以这对内力作功之和也不一定为零。如右图所示，两质点m、m2，相互作用力为F、F ,在时间dt内，两质点位移分别为 dr

8、1、dr2，则这一对内力作功为dW F dr1 F dr2 = F dr1 dr2F dr12dm是质点 m对m2的相对位移。当dr12为零时，这对内力作功才可抵消。3-10有两个同样的物体，处于同一位置，其中一个水平抛出，另一个沿斜面无 摩擦地自由滑下，问哪一个物体先到达地面？到达地面是两者的速率是相等？解 如图所示，这两个物体在竖直方向都作初 速度为零、加速度为 g的匀加速运动，由于起始高 度相同，由运动学公式，它们到达地面所要的时间对于沿斜面下滑的物体、斜面、地球组成的系统而言，只有重力作功，由机械能守恒可得物体到达地面时的速率为v1 . 2gh对于平抛落地的物体，它到达地面时的速率为v

9、1 ; v2 2gh所以它们落地时速率并不相等。3-11如果一质点 P处于如图所示的方形势阱底部。若有力作用在质点上，在 什么情形下，此质点的运动可以不受方形势阱的束缚；在什么情形下，质点仍要受束缚。解质点P受力作用，当它所获得的能量大于在势阱底部的势能mgh时，质点不受方形势阱的束缚。3-12举例说明用能量方法和牛顿定律各自求解哪些力学问题较方便，哪些力学问题不方便。解能量方法和牛顿定律是解决力学问题时经常要用到的方法，利用牛顿定律 可以求得瞬时关系，但解题时必须考虑物体运动状态改变的细节， 能量的方法一般适用于研究物体或系统运动状态的变化。例如对于碰撞问题，两质点碰撞过程中的相互作用力为变

10、力，不便利用牛顿定律来 求解，而利用能量方法则不用考虑碰撞中的内力。习题解答3-1 一架以3.0 102m s1的速率水平飞行的飞机，与一只身长为 0.20m、质量为0.50kg的飞鸟相碰。设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率甚小，可以忽略不计。试估计飞鸟对飞机的冲击力（碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算）。根据本题计算结果，你对于高速运动的物体（如 飞机、汽车）与通常情况下不足以引起危害的物体（如飞鸟、小石子）相碰后会产 生什么后果的问题有些什么体会？解 由力的作用的相互性可知，鸟与飞机相撞，鸟对飞机的冲击力 F与飞机对鸟的冲击力F大小相等，方向相反。我们以

11、鸟为研究对象， 取飞机的飞行的方向为Ox轴正方向。由动量定理得F tmv0其中t为碰撞时间，由题意可知tLv，代入上式可得F2 mv2.255l10 N所以飞鸟对飞机的冲击力为FF2.25510 N负号表示飞机所受冲力方向与其飞行方向相反。由以上结果可知，尽管飞鸟质量、飞行速度都不大，但与其相撞后，飞机受到 的冲击力很大，所以飞机在飞行时需要采取一些措施来避免与看似不会引起危害的 物体相碰。3-2质量为m的物体，由水平面上点O以初速为v0抛出，v0与水平面成仰角若不计空气阻力，求：（1）物体从发射点 O到最高点的过程中，重力的冲量；（2）tiv0 sing物体从发射点到落回至同一水平面的过程中

12、，重力的冲 量。解从所给的条件分析，本题有两种解法。一是直接 利用冲量的定义式，二是根据物体运动的始、末状态，利 用动量定理来求解。方法一 如图所示建立 Oxy坐标系，物体从发射点到最高点A所用的时间为由冲量定义，从发射点到最高点的过程中重力的冲量为11 Fdt mg tij = mvo sin j ti同理，物体从发射点 o落到B所用的时间为丄2v0 sint2g此过程重力的冲量为12 F dt mg t2j = 2mv0 sin jt2方法二 物体在整个运动过程中只受到重力作用，由动量定理可知，物体始末 动量的增量即为重力的冲量。右图分别为两过程中动量矢量图。Pa所以物体由发射点 O运动到

13、A、B过程中重力的冲量分别为11PA PoFO si n j= mv0s in j12 PB FO2FO sin j = 2mv0si n j3-3高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为51.0kg的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使它被悬挂起来。已知此时人 离原处的距离为 2.0m，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s.求安全带对人平均冲力。解人从跌落到最终被悬挂，受到重力P和安全带对他的冲力 F的作用，但二 者作用时间不同，重力作用于整个过程中，而安全带只作用于缓冲阶段。体到h 2.0m处的时间与缓冲作用时间之和，即t2 、2h t1取竖直向下为正方向，人初始

14、下落和最终被悬挂时的速度均为零，所以对于整个过 程，人的动量增量为零，由动量定理有F t1 P t20由上式可知，安全带对人的平均冲力的大小为F 皿 J2h/g mgtl3-4 一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面 为19.6m.爆炸后1.00s，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水 平距离为1.00 102m 问第二块落在距抛出点多远的地面上？（设空气的阻力不计）解物体在最高点发生爆炸，其中爆 炸力是内力，它远大于物体的重力，所以 爆炸前后动量守恒。如图所示建立坐标系Oxy .爆炸前，由抛体运动规律，物体在最高处的速度（起抛速度的水平分量）为V。I x

15、t0(1)爆炸后，由题意可知第一块碎片获得竖直向下的速度V1，向下作自由落体运动,在t1 1s后落到爆炸点正下方的地面上h皿2由上式可得，爆炸后第一块碎片的速度为(2)h *22mv0 mv1 mv2由（1）（ 2）（ 3）式可得v2 2v0 v1 2x-|知2ti由上式可得，爆炸后第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为X2为V2xt2y2V2yt2将y20代入上式，并且由（4）式可得第二块碎片落地时的水平位置为x2500m3-5 A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦间相遇时，两船各自向对方平稳地传递 50kg的重物，结果是A船停了下来，而B船以3.4m s 1的速度继续向前驶去。A、B

16、两船原有质量分别为 0.5 103kg和1.0 物前两船的速度。（忽略水对船的阻力）解由题意可知，A船与从B船传过来的重物在航行 方向无外力，二者在作用过程中沿航行方向动量守恒；同样，在B船与A船传过来的重物相互作用过程中也满足动量守 恒。如图，以A船初始航行方向为 OX轴正方向，设传递重 物前A、B两船的速度分别为 vA、VB，传递后的速度分别为vA、vB，重物质量为 m 由动量守恒定律，对于 A船与从B船传过来的重物有103kg，求在传递重VbmA m vA mvB mAvA对于B船与从A船传过来的重物有mB m Vb mvA(2)2 15.00 10 ms ，其中 m0315.00 10

17、 m s .求发射1将Va 0, Vb ( 3.4m s )i代入(1) (2)式可得传递重物前两船的速度分别为1va0.40m s i1vb( 3.6m s )i3-6质量为m的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成角的速率Vo向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为U的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加多少？（假设人可视为质点）解如右图所示建立坐标系，人在最高处向左抛 物体的过程中，人与物体组成的系统在水平方向不受 外力，满足动量守恒定律，设人抛出物体后相对地面 的速率为V，则物体相对地面的速率为V U，由动量守恒得m m v0 cosm v m v u

18、由上式可得，人抛出物体后的速率为mv v0 cosum m由上式可见，人因向左抛出物体而获得的速率增量为mv v v0 cosum m又人从最高处下落到地面所需要的时间为t Vo sing所以，人跳跃后增加的距离为,mv0u si nx v tm m g3-7 一火箭垂直向上发射，它的气体质量排出率恒为 是火箭最初的质量。火箭排出的气体相对于火箭的速率为10.0s后火箭的速度和高度。（重力略去不计）解 不计重力时，火箭在推力u 的作用下飞行，其动力学方程为dtdvdmmudtdtu Inmm0kt(1)对上式两边积分得.m0 v uln - m设气体质量排出率为k，则t时刻火箭的质量为mm0k

19、t ，代入上式得当t 10.0s时，代入（1）式得，此时火箭的速率为v 3.47 103m s 1将v dy代入（1）式整理得dtdy u In modtmo kt将上式两边积分，可得 10.0s后火箭飞行的高度为y 1uln mdt 1.53 104m0mb kt3-8如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮，系在质量为1.00kg的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平平面上。若用5N的恒力作用在绳索的另一端，使物体向右作加速运动，当系在物体上的绳索从与水平面成30变为37角时，力对物体所作的功为多少？已知滑轮与水平面间的距离为1m.F1mo30”37解 如图建立坐标系，由题意知，绳对物体的拉 力F大

20、小恒定，方向随着绳与水平面的倾角变化而变 化。由功的定义可知，力对物体所作的功的大小为W B F dx = B F cos dx（ 1）XaXa又由几何关系可知,dx d 1 cot2sin代入（1）式，积分元从30o到37o积分得W 1.69J3-9 一人从10.0m深的井中提水，起始桶中装有10.0kg的水，由于水桶漏水,每升高1.00m要漏去0.20kg的水。水桶被匀速地从井中提到井口，求人作的功。P解由题意可知，水桶被匀速提升，即水桶所受的拉力 F与 重力P始终平衡，且拉力大小随重力变化不断变化， 方向竖直向 上。如图，以水桶起始位置为坐标原点，竖直向上为y轴正方向建立坐标系，则水桶重

21、力 P的大小随其位置变化的关系式为P mg 0.20ym为水桶初始质量，由前面分析可知，水桶所受的拉力 F大小为F P mg 0.20y方向沿y轴正方向，所以人对水桶的拉力做功为10 10W o F dy mg 0.20y dy 882J3-10 一质量为0.20kg的球，系在长为2.00m的细绳上，细绳的另一端系在天花板上。把小球移至使细绳与竖直方向成30o角的位置，然后由静止放开。求：（1）在绳索从30到0o角的过程中，重力和张力所作的功；（2）物体在最低位置时的动能 和速率；（3 ）在最低位置时的张力。解 （1）重力是保守力，其作功只与物体始、末位置有 关。如图所示，小球从 A点到B点在

22、竖直方向下落的高度为h l（1 cos30）所以，此过程中重力作功为WP mgh 0.53J又在A到B点的运动过程，绳对小球的张力始终与小球的运 动方向垂直，所以张力所作的功为WF0J（2）小球从A到B，只有重力作功，由动能定理,EkB EkA Wp又在A点，小球动能为零，所以，在最低位置 B处小球的动能为Fb mglEkB Wp 0.53J速率为Vb （旦2.3m s 1（3）在最低位置B处，由牛顿定律可知2mvB2所以Fb mg2.49Nl3-11设两个粒子之间的相互作用力是排斥力，并随它们之间的距离r按F k r3的规律而变化，其中 k为常量。试求两粒子相距为 r时的势能。（设力为 零的

23、地方势能为零）解由F kfr3可知，在r 时，F 0 ,设两粒子相距无穷远处为系统 势能的零点。当两粒子距离发生变化时，由于排斥力的作用， 系统势能会发生变化，并且排斥力所做的功等于势能增量的负值。将其中一个粒子从无穷远处移至与另一 粒子相距为r时，系统的势能为kEP（E EP） W F drdrrr rk所以EP 上y2r23-12如果一物体从高为 h处静止下落。试以（1）时间t为自变量，（2）高度h 为自变量，画出它的动能和势能图线，并证明两曲线中动能和势能之和相等。解 （1）以时间为变量从物体下落开始计时,V gtt时刻物体的速度为动能为Ek t - mv2 2以地面上一点为原点,时刻物

24、体的势能为1 2.2尹gt竖直向上为坐标轴正方向,(1)同时取原点处为势能原点，所以t12Ep tmg(hogt ) mgho12mg2t2(2)由（1）（ 2）两式作Ek t、EP t图在任意t时刻动能与势能之和为E tEk t Ep t mgho由上式可见，动能与势能之和为一个恒定值。（2 ）以高度为自变量仍取第（1 ）问所建立的坐标系，物体下落到h处，由运动学公式，物体的速率为v、.、2g(ho h)动能为Ek h - mv2 mgho mgh此时物体的势能为(3)EP h mgh由（3）（ 4）两式作Ekh、EP h图在任意高度h处，动能与势能之和为E hEk h Ep h mgho由

25、上式可见，动能与势能之和仍为一个恒定值。3-13 一质量为m的质点，系在细绳的一端，绳的另一端固定在平面上。此质点在粗糙的水平面上作半径为r的圆周运动。设质点的最初速度是v0.当它运动一周时，其速率为Vo：2.求：（1）摩擦力作的功；（2）动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？解质点在水平面上作圆周运动受到指向圆心的拉力Ft和与运动方向相反的摩擦力 Ff，但拉力方向始终垂直于质点运动方 向，它对质点不作功，所以质点动能的减少是由于摩擦力对其作负功。（1 ）质点运动一周后，速度由 v减少到Vo2，由动能定理可得摩擦力作功为2（2 ）设动摩擦因数为，质点受到的摩擦力的值为 Ffmg由于摩擦

26、力方向与运动方向相反，所以WFfFfs 2 r mg根据上问结果可得，质点与水平面的动摩擦因素为3v016 rg（3）质点的损失的动能都用于克服摩擦力作功，由第一问可知，质点运动一圈32损失动能为Ek - mV），那么在静止前质点可运行的圈数为8nEk04n Ek33-14如图所示，A和b两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m和m2 .冋在A板上需加多大的压力，方可使力停止作用后，恰能使A在跳起来时B稍被提起。（设弹簧的劲度系数为 k ）B(a)(b)+ F1F2a为弹簧处于自然状态，并取此时弹簧最高处为原点解如图所示，连上A板并向其施加力F的情况，C为施力停止后，A板跳起到最大高度时的

27、情况。取原点0为重力势能和弹性势能的零点。对于状态b中A板受到压力F下移到M处，设它偏离原点位移大小为y1 ,由受力平衡得F2 R F即 R F ky1（ 1）停止施力后，A板跳起到最高点 N，系统处于状态c ,设它偏离原点位移大小为y，A板受竖直向下的弹力 F2 ky2，若要A在跳起来时B稍被提起，即此时B 板所受地面对它的支持力 FN F2 F20，所以有F2 F2B ky2（ 2）从b到c，由机械能守恒得1.2 1.2 kyi migyi 尹丫2 mgy?将上式两边同时乘以 k，考虑到R m1g，F2 m2g，并将（1 ）、（2）代入上式整 理得所需压力的大小为F R F2（g mh）g

28、3-15如图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为m，从与水平成倾角30.0斜面上的点 A由静止下滑。设斜面对车的阻力为车重的0.25倍，矿车下滑距离I时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动。当矿车使弹簧产生最大压缩形变时， 矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置A再装货。试问要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大? 解 矿车沿斜面下滑、上滑的整个过程中，受到 重力、阻力、弹力和垂直于斜面的支持力的作用，其 中支持力不作功，重力和弹力为保守力，阻力为非保 守力，我们可以由功能原理来解题。如图，取沿斜面向上为 x轴正方向，弹簧原长时 的位置为原点 O，并规定原点位置为势

29、能零点。设弹 簧被压缩到最大时偏离原点的位移大小为x。设矿车返回时质量为 m，则在整个过程中摩擦力做功为Wf0.25m g 0.25mg （l x） （ 1）在初始时系统机械能为E1EP m gl sin当矿车返回原位置时，系统的机械能为E2 mglsinm m gxsin其中 m m gxsin 为被卸下的货物的重力势能。根据功能原理，在整个过程中WfE E2E1将（1）（ 2）（ 3）代入上式有0.25m g 0.25mg (lx) m m g l x sin整理得3-16 一质量为m的地球卫星，沿半径为 3Re圆轨道运动，Re为地球的半径。已知地球的质量为 mE.求：（1）卫星的动能；（

30、2）卫星的引力势能；（3）卫星的机 械能。解（1 ）卫星绕地球作圆周运动，其向心力由它与地球之间的万有引力提供，即GmmE mv22rr其中卫星与地球间距离（即圆轨道的半径）为r 3Re，代入上式得卫星的动能为Ek1 2mv2GmmE6Re（2 ）取卫星与地球相距无限远时势能为零，根据引力作功等于引力势能增量的 负值可得，在r 3Re时，卫星的势能为EpE EpGmmEdr =GmmE3Re（3）卫星的机械能为匚 匚 匚 GmmE GmmEGmmEE E k Ep6Re3Re6R e3-17如图所示，天文观测台有一半径为R的半球形屋面，有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下，若摩擦力略去不

31、计，求此冰块离开屋面的位置以及 在该位置的速度。解 由受力分析可知，冰块在滑行时，屋面对它的支持力Fn总是与其运动方向垂直，即支持力对其作功为零，整个过程只有重力作功， 冰块，屋面和地球组成 的系统满足机械能守恒。设冰块从顶点 A滑到B处，由机械能守恒得mgR mgRcos 扌 mvB（1）在B处，冰块在径向方向的动力学方程为mg cosFn2mvBR(2)若此时冰块刚好离开屋面，即Fn 0 ,代入上式并联合（1）式可得2 arccos 48.23代入（2）式得此时冰块的速率为Vb 、gRcos其方向与水平方向所成夹角为48.2运动。小球与轨道间的摩擦不计。已知?CD是半径3-18如图所示，把

32、质量m 0.20kg的小球放在位置时，使弹簧被压缩丨7.5 10 2m .然后在弹簧弹性力的作用下，小球从位置 A由静止被释放，小球沿轨道 ABCDr 0.15m半圆弧，AB相距为2r 求弹簧劲度系数的最 小值.解 要使小球能沿轨道 ABCD运动，即要求小球运动到最高点C时，轨道对小球的支持力为 Fn 0 ,即2mg(1)mvcr又小球在被释放后的运动中，只有重力与弹力对其作功，小球与弹簧组成的系统满足机械能守恒定律。取位置A为重力势能零点，由机械能守恒可知小球从A运动到(2)vC有.212Qk I mvc mg 3r2 2由(1 )、( 2)可得7mgr代入已知数据可得，所需弹簧劲度系数的最

33、小值为1kmin366N m3-19如图所示，质量为m、速度为v的钢球，射向质量为 m的靶，靶中心有 一小孔，内有劲度系数为 k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无 摩擦滑动。求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。解由题意分析可知，子弹与靶相碰后，靶受弹力向前加速运动，子弹仍向前减速运动，当两者达到相同的速度 Vr时，弹簧压缩达到最大长度 x0.取子弹与靶为一个系统，它在水平方向不受外力作用，由动量守恒mv m m v1又由机械能守恒有12121i2mv m m v1kxo2 2 2由（1）（ 2）可知弹簧最大压缩距离为mmxo rmmrv3-20质量为m的弹丸A，穿过摆锤B后

34、，速率由V减少到v 2，已知摆锤的质量为m，摆线长度为I，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹 丸的速度的最小值应为多少？解 取弹丸和摆锤为系统，二者在相互作用中冲 击力的冲量远大于重力与绳中张力的冲量，在水平方 向上满足动量守恒定律，即vmv m mv（ 1）2其中v为摆锤所获得的速率。要使摆锤能完成一个完全的圆周运动，则摆锤运动到最高点时，它所受到的张力满足 Ft 0，在最高点O处有2m vo（2）Imy摆锤获得速率v后,从最低点运动到最高点，由机械能守恒有1 21 2（3）m vmg2Im vo22由（1）（ 2）（ 3）式可得弹丸速度的最小值为3-21质量为 7.2 10 23kg，速率为6.0 107m s 1的粒子 A，与另一个质量为其一半而静止的粒子B发生二维完全弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为715.0 10 ms 求（1）粒子B的速率及相对粒子 A原来速度方向的偏角；（2）粒 子A的偏角。解由题意可知，两粒子在碰撞过程中不受外力 作用，并且发生完全弹性碰撞，所以这两个粒子组成 的系统满足动量守恒定律和机械能守恒定律。如图所示，在