江苏省高三数学招生考试模拟测试试题(十四

1、 1 高三模拟测试卷(十四) 数 学 (满分160分，考试时间120分钟) 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1. 已知集合Ax|x3，xR，Bx|x1，xR，则AB_ 2. 已知i为虚数单位，复数z满足zi43i，则复数z的模为_ 3. 一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n的值为_ 4. 在平面直角坐标系xOy中，已知方程x24 my22 m1表示双曲线，则实数m的取值范围为_ 5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是_ 6. 执行如图所示的程序框图，输出的

2、x值为_ (第6题) (第7题) 7. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是棱BB1的中点，则四棱锥PAA1C1C的体积为_ 8. 设数列an是首项为1，公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则数列an的公差为_ 2 9. 在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f(x)x24 x(x0)的图象上任意一点，过M点向直线yx和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则MAMB_ 10. 若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是_ 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2y26x50相交于不同的

3、两点A，B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为_ 12. 已知函数f(x)?x24x，0x4，log2（x2）2，4x6，若存在x1，x2R，当0x14x26时，f(x1)f(x2)，则x1f(x2)的取值范围是_ 13. 已知函数f(x)2x1a，g(x)bf(1x)，其中a，bR.若关于x的不等式f(x)g(x)的解的最小值为2，则a的取值范围是_ 14. 若实数x，y满足x24xy4y24x2y24，则当x2y取得最大值时，xy的值为_ 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15. (本小题满分14分) 已知函数f(x)

4、sin?2x 3 3sin?2x 6. (1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2) 当x? 6， 3时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x的值 16.(本小题满分14分) 如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，M是AD的中点，N是PC的中点 (1) 求证：MN平面PAB； 3 (2) 若平面PMC平面PAD，求证：CMAD. 17. (本小题满分14分) 如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120，OC1，ABOBOC，且OAOB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比

5、，比例系数为k(k为正常数)；在AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与AOC的面积成正比，比例系数为 43k.设OAx，OBy. (1) 求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (2) 求NM的最大值及相应的x的值 18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a 2y2b 21(ab0)过点P?1，32，离心率为12. (1) 求椭圆C的方程； (2) 设直线l与椭圆C交于A，B两点 若直线l过椭圆C的右焦点，记ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值； 若直线l 的斜率为32，试探究OA2OB2是否为定值？若是定值，则求出

6、此定值；若不是定值，请说明理由 19. (本小题满分16分) 4 设函数f(x)x2exk(x2lnx)(k为实常数，e2.718 28是自然对数的底数) (1) 当k1时，求函数f(x)的最小值； (2) 若函数f(x)在区间(0，4)内存在三个极值点，求k的取值范围 20. (本小题满分16分) 已知首项为1的正项数列an满足a2n1a2n52an1an，nN*. (1) 若a232，a3x，a44，求x的取值范围； (2) 设数列an是公比为q的等比数列，Sn为数列an前n项的和若12SnSn12Sn，nN*，求q的取值范围； (3) 若a1，a2，ak(k3)成等差数列，且a1a2ak

7、120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，ak的公差 (十四) 1. (1，3) 解析：ABx|1x3，xR本题考查了集合的交集的概念本题属于容易题 2. 5 解析：z34i，则复数z的模为5. 本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识本题属于容易题 3. 320 解析：由题意知40 n18，则n320.本题考查了频数和频率的概念及计算公式本题属于容易题 4. (2，4) 解析：本题考查双曲线的标准方程的基础知识与一元二次不等式的解法本题属于容易题 5. 2 5 解析：在周一至周五的五天中随机选择2天共有10种情况，选择的2天恰好为 5 连续2天的情况共有4种，则所求的

8、概率为25.本题考查用列举法求古典概型的概率本题属于容易题 6. 6 解析：由题设可知，循环体执行3次，第一次x值为4，第二次x值为5，第三次x值为6，符合题意本题考查了算法语句的基本概念本题属于容易题 7. 13 解析：四棱锥PAA1C1C的体积为1 3 2 2 213.本题考查四棱锥的体积求法，棱长与体积的关系本题属于容易题 8. 2 解析：S11，S22d，S446d成等比数列，得(2d)246d，d不为零，得d2.本题考查了等比数列前n项和公式，考查了方程的思想本题属于容易题 9. 2 解析：设M(x0，y0)，可求得A?x0 y02，x0 y02，B(0，y0)，MA?x0 y02，

9、x0 y02，MB(x0，0)，MAMBx20x 0y02，而M(x0，y0)在f(x)x 24x上，则x0y0x204，x20x0y04，则MAMB2. 本题考查了向量数量积的坐标运算、直线垂直和交点求法本题属于中等题 10. (2，) 解析：设钝角三角形三内角C，B，A成等差数列，则2BAC.因为ABC180，所以3B180，从而B60.设钝角三角形的三内角为60，60，60，则9060120，即3060，设60对应a边，60对应b边，由正弦定理，得absin（60） sin（60）sin60coscos60sinsin60cos cos60sinm(分子分母同时除以cos0)， tan

10、3（m1）m1. 3060， 33tan3， m2，故m的取值范围为 (2，)本题考查了等差中项的概念，正弦定理以及和差角公式，弦切互化本题属于中等题 11. 364 解析： 圆C1：x2y26x50，整理，得其标准方程为(x3)2y24， 圆C1的圆心坐标为(3，0)；设直线l的方程为ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立(x3)2y24，ykx，消去y可得(1k2)x26x50，由题知x1 12x2, y112y2，由韦达定理化简可得k2 35，即k15 5，直线l的方程为y 155x，由点到直线的距离公式知，所求的距离为364.本题考查了圆的标准方程，直线与圆，点到直线的距离公

11、式本题属于中等题 12. ?3，25627 解析：函数f(x)的图象如图所示，因为存在x1，x2R，当0x14x26，f(x1)f(x2)，所以1x13， 故x1f(x2)x1f(x1)x314x21. 令g(x1)x314x21，x11，3，则g(x1)3x218x1. 由g(x1)0得x1?1，83，由g(x1)0得x1?83，3，所以g(x1)ming(1)3，g(x1)maxg? ?8325627.所以x1f(x2) 的取值范围是?3，25627.本题考查函数图象，以及导数在求最值中的运用本题属于难题 6 13. (，2?14， 解析：因为f(x)2x1a，所以g(x)bf(1x)b(

12、2xa)，由f(x)g(x)得，2x1ab(2xa)，所以22x2a(1b)2x2b0.令2xt，则t22a(1b)t2b0.令h(t)t22a(1b)t2b，因为f(x)g(x)的解的最小值为2，所以h(t)0的解的最小值为4，故?h（0）0，h（4）0，即?2b0，168a（1b）2b0，即?b0，4a（1b）b8， 当b1时，显然不成立； 当b1时，4ab81 b171 b，因为b0且b1，所以4a8或4a1，即a(，2?1 4，.本题主要考查指数函数、二次函数的最值与不等式等内容综合运用本题属于难题 14. 2 解析：(解法1)因为实数x，y满足x24xy4y24x2y24，所以(x2

13、y)24x2y28xy4，即(x2y)24(xy1)28，所以(x2y)284(xy1)2，所以当(xy1)20时，即xy1时，x2y取得最大值，此时x 2，y 22，所以xy2.(解法2)因为实数x，y满足x24xy4y24x2y24，所以(x2y)24x2y24，令x2y2cos，xysin，则(x2y)2(x2y)28xy4cos28sin，所以(x2y)24sin28sin4，所以当sin1时，(x2y)2取得最大值，此时xy1，x2y 0，所以xy2.本题考查了代数式的变形，方程的综合运用本题属于难题 15. 解：(1) 由题意知f(x)3sin? 2x3 cos(2x3)2sin?

14、2x 23，(4分) 所以f(x)的最小正周期为T 22.(6分 ) 当22k2x 2 322k(kZ)时，f(x)单调递增， 解得x? 712k ，12k(kZ)， 所以f(x)的单调递增区间为? 712k ，12k(kZ)(8分) (2) 因为x? ? 6， 3，所以32x 23 43.(10分) 当2x 2 32，即 x12时，f(x)取得最大值2；(12分) 当2x 23 43，即 x3 时，f(x)取得最小值3.(14分) 16. 证明：(1) 取PB中点E，连结EA，EN，在PBC中，ENBC且EN12BC， 又AM12AD，ADBC，ADBC，(3分) ENAM且ENAM，四边形

15、ENMA是平行四边形，(5分) MNAE. 7 MN? 平面PAB，AE?平面PAB， MN平面PAB.(7分) (2) 过点A作PM的垂线，垂足为H， 平面PMC平面PAD，平面PMC平面PADPM，AHPM，AH?平面PAD， AH平面PMC. CM?平面PMC， AHCM.(10分) PA平面ABCD，CM?平面ABCD， PACM.(12分) PAAHA，PA，AH?平面PAD， CM平面PAD. AD?平面PAD， CMAD.(14分) 17. 解：(1) 因为OAx，OBy，ABy1， 由余弦定理，x2y22xycos120(y1)2，解得yx212 x，(3分) 由x0，y0得1

16、x2. 又xy，得xx212 x，解得1x 132，(6分) 所以OA的取值范围是 ?1，132.(7分) (2) MkOBky，N43kSAOC 3kx， 则NMk(3xy)k?3x x212x，(8分) 设2xt?332，1 ， 则NMk?3（2t）（2t）21t k? ?10 ?4t3t k? ?1024t3t(10 43)k.(11分) 当且仅当4t3 t即t32? ?332， 1取等号，此时x232， (13分) 所以当x 232时，NM 的最大值是(1043)k.(14分) 18. 解：(1) 由题意知1a294b21 ，a2 b2a12， 解得a24，b23.(2分) 所以椭圆C

17、：x24y231.(3分) (2) 设直线l的方程为xmy1，直线 l与椭圆C的交点为A(x 1，y1)，B(x2，y2)， 由?xmy1，x24y231， 化简得(3m24)y26my90 ， 易知0，(5分) 所以y1y26m3m24，y1y293m24， 8 所以kAPkBPy132x1 1y232x2 1y132my 1y232my 2 1m 2y1y232（y1y2）94y1y 2 1m34，(7分) 所以tkABkAPkBP1m 23 4m?1m3829 64，(9分) 所以当m83时，t有最大值9 64.(10分) 设直线l的方程为y 32xn，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y

18、1)，B(x2，y2)， ?y 3xn ，x24 y231，得3x 223nx2n260， (2 3n)243(2n26)0，即 6n6. x1x223n3，x1x22n263，(12分) OA2OB2x21y21x22y22(x21x2 2)(y21y22) x21x 22?32x1n2? ?32x2n 2 74(x21x 22)3n(x 1x2)2n2 74(x1x2)272x1x2 3n(x1x2)2n2(14分 ) 7 4?23 3n2722n2633n? ?233n2n2 7.(16分) 19. 解：(1) 由函数 f(x)exx2(x2lnx)(x0)， 可得f(x)（x2）（ex

19、x2）x3.(2分) 因为当x0时，exx2.理由如下： 要使x0时，ex x2，只要x2lnx，设(x)x2lnx， (x)12xx2x， 于是当0x2时，(x)0；当x2时，(x)0. 即(x)x2lnx在x2处取得最小值(2)22ln20，即x0时，x2lnx， 所以exx20.(5分) 于是当0x2时，f(x)0；当x2 时，f(x)0. 所以函数f(x)在(0，2)上为减函数，在(2，)上为增函数(6分) 所以f(x)在x2处取得最小值f(2)e2422ln2.(7分) 9 (2) 因为f(x)（x2）（exkx2）x 3（x2）?exx 2k x， 当k0时，exx 2k0，所以f

20、(x)在(0，2)上单调递减，在(2，4)上单调递增，不存在三个极值点，所以k0.(8分) 又f(x)（x2）（exkx2）x 3（x2）?exx 2k x， 令g(x)exx 2，得g(x)ex（x2）x 3， 易知g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，则g(x)在x2处取得极小值， 得g(2)e2 4，且g(4)e4 16.(10分) 于是可得yk与g(x)exx 2在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k?e2 4，e4 16.(12分) 设yk与g(x)exx 2在(0，4)内有两个不同交点的横坐标分别为x1，x2，则有0x12x24，下面列表分析导函数f(x)及原函数f(x)： x (0，x1) x1 (x1，2) 2 (2，x2) x2 (x2，4) 4 x 2 0 2 exx2k 0 e24k 0 e416k f(x) 0 0 0 f