含参数不等式的解法(一道高考题的反思)１

1、一道高考题的反思 含参数不等式【摘 要】 本文 由一道高考题想到解含参数不等式的问题，并试图将问题归类，针对题目条件的不同给出相应的解题方法，还小结了这些方法适用的题型，给出了详细的解题步骤，相信对培养学生的数学能力和数学素质会有所帮助。【关键词】 分离参数 最值 主参变换 构建函数（1990年高考题）设，其中a是实数，n是任意给定的自然数且n2，若当 时有意义, 求a的取值范围。该题题型新颖，许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。因为这类问题涉及到高中数学的各个分支，在代数，三角，几何，解析几何等的知识，而且这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。但若我们能认真

2、观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法：1 分离参数法例如上面的这道高考题，我们根据其特征可以用分离参数法来解决。所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。我们来分析一下这道题的特征：因为分母n是正数，要使得当有意义，分子就必须也是正数。并容易看出，可以将a分离出来。分析： 当时，有意义，故有令，只要对在上的最大值，此不等式成立即可。故我们可以利用函数的最值分离出参数a。解： 由时，有意义得：，由指数函数单调性知上式右边的函

3、数的最大值是故 a一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 , （ 为实参数）中参数取值范围的基本步骤:（1） 将参数与变量分离，即化为的形式；（2） 求在D时的最大（或最小）值；（3） 解不等式 得的取值范围。思想方法： 把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式。例 1： 已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在上是增函数，对于任意实数m，使 恒成立。解： f(x)在R上为奇函数，且在上是增函数， f(x)在上为增函数 又 即 2， 2 m 令2 m4

4、即4m在上恒成立即求在上的最小值 2等号成立条件t=,即成立 4m4 m的取值范围为（4，）例 2： 设0bc，不等式恒成立，求实数n的取值范围。解： ac0 恒成立的不等式即为欲求n的范围，只需求的最小值即可。 ， 又 ，即： 注： 此题利用基本不等式分离参数。小结： 运用参数分离法使原不等式化为一端只含参数的解析式，另一端化为与参数无关的主变元函数，这样函数的关系就由“隐”化为“显”，我们只要求出主变元数函数的值域（或最值），则参数的取值范围就可以确定了。 2 主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换

5、思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。例7：若对于任意a，函数的值恒大于0，求x的取值范围。分析：此题若把它看成x的二次函数，由于a, x都要变，则函数的最小值很难求出，思路受阻。若视a为主元，则给解题带来转机。解： 设 ，把它看成关于a的直线，由题意知，直线恒在横轴下方。 所以 解得： 或或例 8： 对于（0，3）上的一切实数x,不等式恒成立，求实数m的取值范围。分析： 一般的思路是求x的表达式，利用条件求m的取值范围。但求x的表达式时，两边必须除以有关m的式子，涉及对m讨论，显得麻烦。解： 若设，把它看成是关于x的直线，由题意知直线恒在x的轴的下方。所

6、以 解得： 3 构建函数法当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时，可以通过构建函数来解决。我们知道，函数概念是高中数学的一个很重要的概念，其思想和方法已渗透到数学的各个分支。在某些数学问题中，通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质结论解题，往往收到意想不到的效果。这里，我们主要介绍如何通过构造一次函数，二次函数模型，并利用它们的性质来确定参数的取值范围。（1） 构造一次函数先给出一次函数的有关结论： 一次函数在时，恒成立的充要条件是： 注： 一次函数字给出区间上恒成立问题只需要考虑端点的正负。例9： 若对一切，不等式恒成立，求实数x的取值范围。解： 原不等式变

7、形为，现在考虑p的一次函数： 在上恒成立 解得： 或 x的取值范围为注： 本题对于一切不等式恒成立，因此应视p为主元，视x为参数，把不等式左边变成关于p的一次函数型。（2） 造二次函数二次函数，一元二次不等式和一元二次方程之间有着密切的联系，解决其中一方面的问题时经常要向其它两方面的问题转化。有关一元二次函数不等式，一元二次方程中的参数问题一般要等价转化为二次函数方面的问题加以解决，凭借二次函数的有关性质及一些结论，一些似乎难以入手的问题往往会轻松获解。有关结论： 二次函数 （a0）1) 对于在上恒成立的充要条件为 2） 对于在恒成立的充要条件为： 时， 或或 时， 注：二次函数在给定区间上恒

8、成立问题必须从开口方向，对称轴，判别式及端点的函数值符号4个角度进行考虑。例10： 对于，恒成立，求实数m的范围。解： 原不等式变形为： 即 令 ， 令 题意为0在上恒成立。 或41()0解得 ： 或或 ，即 m的取值范围为：4 数形结合法 某些含参不等式恒成立问题，既不能分离参数求解，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，则可采用数形结合法。因为辨正唯物主义认为：万物皆有形。所以从宏观上讲，抽象的数学问题必存在着形象的直观模型，这是因为数学问题本身就是客观世界事物的抽象。我们在解题时，可以有意识地去认识，挖掘和创造抽象的直观形象，变抽象为直观，充分运用直感，由数思形，以形辅数。数形结合往往

9、能迅速而简捷地找到解题途径。对于解含参不等式恒成立问题，我们可以先把不等式（或经过变形后的不等式）两端的式子分别看成两个函数，且画出两函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，从而列出关于含参数的不等式。例11：若不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。解： 由题意知 ： 在内恒成立。在同一坐标系内分别作出 和 的图象因为时，的图象位于函数的图象方，如下图：当 a 1时，显见不成立。故 0a又取0，时均得： 由此猜想： 由于当 时，对一切 ， 恒成立故 为所求。数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强。这就要求我们要以变应变，在解题过程中，要根据具体的题设条件，认真观察题目中不等式的结构特征，从不同的角度，不同的方向，加以分析探讨，从而选择适当方法快速而准确地解出。当然除了以上的方法外，还有许多其它的方法，值得一提的是，各种方法之间并不是彼此孤立的。因此，系统地掌握参数问题的解题方法，无疑会对学