(完整版)函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结,推荐文档

1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于 f (x) 定义域内的每一个 x ，都存在非零常数t ，使得 f (x + t ) =恒成立，则称函数 f (x) 具有周期性， t 叫做 f (x) 的一个周期，

2、则kt （f (x)k z , k 0 ）也是 f (x) 的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x) 的最小正周期。分段函数的周期：设 y = f (x) 是周期函数，在任意一个周期内的图像为 c:y = f (x),x a,b,t = b - a 。把 y = f (x)沿x轴平移kt = k (b - a) 个单位即按向量a = (kt ,0)平移，即得y = f (x) 在其他周期的图像：y = f (x - kt ), x kt + a, kt + b。2、奇偶函数：设 y = f (x), x a, b或x - b,-au a, b若 f (-x) = - f (x),则称y =

3、f (x)为奇函数若 f (-x) = f (x)则称y = f (x)为偶函数。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：点 a(x, y)与b(2a - x,2b - y)关于点(a, b)对称点a(a - x, b - y)与b(a + x, b + y)关于(a, b)对称函数y = f (x)与2b - y = f (2a - x)关于点(a, b)成中心对称函数b - y = f (a - x)与b + y = f (a + x)关于点(a, b)成中心对称函数f（x, y) = 0与f (2a - x,2b - y) = 0关于点(a, b)成中心对称。（2）轴对

4、称：对称轴方程为： ax + by + c = 0 。点a(x, y)与b(x / , y / ) = b(x - 2 a( ax + by + c) , y - 2b( ax + by + c) 关于a2 + b 2a2 + b 2直线 ax + by + c = 0成轴对称；f (x)与y - 2b( ax + by + c) =2 a( ax + by + c)函数 y =a2 + b 2f (x -a2 + b 2) 关于直线ax + by + c = 0 成轴对称。) f (x, y) = 0与f (x - 2 a( ax + by + c) , y - 2b( ax + by +

5、c) = 0 关于直线a2 + b 2ax + by + c = 0 成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论a2 + b 2（一）函数 y = f (x) 图象本身的对称性（自身对称）1、 f (a + x) = f (b - x) y = f (x) 图象关于直线 x = (a + x) + (b - x) = a + b 对称22若 f (x + a) = f (x + b) ，则 f (x) 具有周期性；若 f (a + x) = f (b - x) ，则f (x) 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。2、 f (a + x) + f (b - x) = 2c y = f (

6、x) 的图象关于点( a + b , c) 对称2推论 1： f (a + x) = f (a - x) y = f (x) 的图象关于直线 x = a 对称推论 2、 f (x) = f (2a - x) y = f (x) 的图象关于直线 x = a 对称推论 3、 f (-x) = f (2a + x) y = f (x) 的图象关于直线 x = a 对称推论 1、 f (a + x) + f (a - x) = 2b y = f (x) 的图象关于点(a, b) 对称推论 2、 f (x) + f (2a - x) = 2b y = f (x) 的图象关于点(a, b) 对称推论 3、

7、 f (-x) + f (2a + x) = 2b y = f (x) 的图象关于点(a, b) 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数 y = f (x) 与y = f (-x) 图象关于 y 轴对称2、奇函数 y = f (x) 与 y = - f (-x) 图象关于原点对称函数3、函数 y = f (x) 与 y = - f (x) 图象关于 x 轴对称4、互为反函数 y = f (x) 与函数 y = f -1(x) 图象关于直线 y = x 对称5.函数 y = f (a + x) 与 y = f (b - x) 图象关于直线 x

8、 = b - a 对称2推论 1:函数 y = f (a + x) 与y = f (a - x) 图象关于直线 x = 0 对称推论 2:函数 y = f (x) 与y = f (2a - x) 图象关于直线 x = a 对称推论 3:函数 y = f (-x) 与y = f (2a + x) 图象关于直线 x = -a 对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 若函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax)（2）f(2ax)f(x)（3）f(2ax)f(x)性质 2 若函数 yf(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式

9、子成立且等价：（1）f(ax)f(ax)（2）f(2ax)f(x)（3）f(2ax)f(x)易知，yf(x)为偶（或奇）函数分别为性质 1（或 2）当 a0 时的特例。2、复合函数的奇偶性定义 1、若对于定义域内的任一变量 x，均有 fg(x)fg(x)，则复数函数 yfg(x)为偶函数。定义 2、若对于定义域内的任一变量 x，均有 fg(x)fg(x)，则复合函数 yfg(x)为奇函数。说明：（1） 复数函数 fg(x)为偶函数，则 fg(x)fg(x)而不是 fg(x)fg(x)，复合函数 yfg(x)为奇函数，则 fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)。（2） 两个特例：yf(x

10、a)为偶函数，则 f(xa)f(xa)； yf(xa)为奇函数，则 f(xa)f(ax)（3） yf(xa)为偶（或奇）函数，等价于单层函数 yf(x)关于直线xa 轴对称（或关于点（a，0）中心对称）3、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于直线 x（ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于点（ba）/2，0） 中心对称推论 1、复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于 y 轴轴对称推论 2、复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于原点中心对称4、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有

11、下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa)f(xa)f(x)f(xa)1/f(x)f(xa)1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 t2|ab|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 t2|ab|性质 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 t4|ab|6、函数对称性的应用（1） 若 y =（2） 例题f (x)

12、关于点（h, k )对称，则x + x / = 2h, y + y / = 2k ,即1、 f (x) =a x1a x +a关于点（2，1）对称：f (x) + f (1 - x) = 1; 22、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： f (x) + f (-x) = 0 。3、若 f (x) = f (2a - x)或f (a - x) = f (a + x),则y = f (x) 的图像关于直线 x = a 对称。设 f (x) = 0有n个不同的实数根，则x1 + x2 +l + xn = x1 + (2a - x1 ) + x2 + (2a - x2 ) +l + xn + (2a

13、- xn ) = na .22（四）常用函数的对称性1、 f (x t ) = f (x) ( t 0 ) y = f (x) 的周期为t ， kt ( k z )也是函数的周期三、函数周期性的几个重要结论2、 f (x + a) = f (x + b) y = f (x) 的周期为t = b - a3、 f (x + a) = - f (x) y = f (x) 的周期为t = 2a4 、 f (x + a) = 1 f (x)y = f (x) 的周期为t = 2a5 、 f (x + a) = - 1 f (x)y = f (x) 的周期为t = 2a6、 f (x + a) = 1 -

14、 f (x) 1 + f (x)y = f (x) 的周期为t = 3a+7、 f (x + a) = -1f (x)1y = f (x) 的周期为t = 2a8、 f (x + a) = 1 + f (x) 1 - f (x)y = f (x) 的周期为t = 4a9、 f (x + 2a) = f (x + a) - f (x) y = f (x) 的周期为t = 6a10、若 p 0, f ( px) = f ( px - p ) ,2则t = p .211、 y = f (x) 有两条对称轴 x = a 和 x = b (b a) y = f (x) 周期t = 2(b - a)推论：

15、偶函数 y = f (x) 满足 f (a + x) = f (a - x) y = f (x) 周期t = 2a12、 y = f (x) 有两个对称中心(a,0) 和(b,0) (b a) y = f (x) 周期t = 2(b - a)推论：奇函数 y = f (x) 满足 f (a + x) = f (a - x) y = f (x) 周期t = 4a13、 y = f (x) 有一条对称轴 x = a 和一个对称中心(b,0) (b a) f (x) 的t = 4(b - a)四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，

16、它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1. 求函数值例 1.（1996 年高考题）设 f (x) 是(-,+) 上的奇函数，f (2 + x) = - f (x), 当0 x 1 时， f (x) = x ，则 f (7.5) 等于（-0.5）（a）0.5;（b）-0.5;（c）1.5;（d）-1.5.例 2（1989 年北京市中学生数学竞赛题）已知 f (x) 是定义在实数集上的函数，且 f (x + 2)1 - f (x)= 1 + f (x) ， f (1) = 2 + 3, 求 f (1989) 的值.3f (1989) =- 2 。2、比较函数值

17、大小1例 3.若 f (x)(x r) 是以 2 为周期的偶函数，当 x 0,1时， f (x) = x1998 , 试比较 f (98) 、 f (101、)f (104) 的大小.1917151f (1解：q f (x)(x r) 是以 2 为周期的偶函数，又q f (x) = x1998 在0,1上是增函 1 ，数，且0 11614f ( ) 16f ( )14 ),即f (101 98f ( )104f ().1719151719151719153、求函数解析式例 4.（1989 年高考题）设 f (x) 是定义在区间(-,+) 上且以 2 为周期的函数，对k z ，用 i 表示区间(

18、2k - 1,2k + 1), 已知当 x i 时， f (x) = x 2 . 求k0f (x) 在 i k 上的解析式.解：设 x (2k - 1,2k + 1), 2k - 1 x 2k + 1 -1 x - 2k 1q x i0时，有 f (x) = x 2 ,由- 1 x - 2k 1得f (x - 2k ) = (x - 2k )2q f (x) 是以 2 为周期的函数， f (x - 2k ) = f (x), f (x) = (x - 2k ) 2 .例 5设 f (x) 是定义在(-,+) 上以 2 为周期的周期函数，且 f (x) 是偶函数，在区间2,3上， f (x) =

19、 -2(x - 3)2 + 4. 求 x 1,2时， f (x) 的解析式.解：当 x - 3,-2，即- x 2,3，又 f (x) 是以 2 为周期的周期函数，于是当 x 1,2，即- 3 x - 4 -2 时，4、判断函数奇偶性例 6.已知 f (x) 的周期为 4，且等式 f (2 + x) = f (2 - x) 对任意 x r 均成立， 判断函数 f (x) 的奇偶性.解：由 f (x) 的周期为 4，得 f (x) = f (4 + x) ，由 f (2 + x) = f (2 - x) 得f (-x) = f (4 + x) ， f (-x) = f (x), 故 f (x)

20、为偶函数.5、确定函数图象与 x 轴交点的个数例 7.设函数 f (x) 对任意实数 x 满足 f (2 + x) = f (2 - x) ， f (7 + x) =f (7 - x)且f (0) = 0, 判断函数 f (x) 图象在区间-30,30上与 x 轴至少有多少个交点.解：由题设知函数 f (x) 图象关于直线 x = 2 和 x = 7 对称，又由函数的性质得f (x) 是以 10 为周期的函数.在一个周期区间0,10)上，故 f (x) 图象与 x 轴至少有 2 个交点.而区间- 30,30)有 6 个周期，故在闭区间- 30,30上 f (x) 图象与 x 轴至少有13 个交

21、点.6、在数列中的应用例 8.在数列a 中， a =3, a= 1 + an-1 (n 2) ，求数列的通项公式，并n1计算a1 + a5 + a9 +l + a1997 .n1 - an-1分析：此题的思路与例 2 思路类似.解：令a= tga,则a= 1 + a1 aa= 1+ tg=tg(+a)-121a11 - tga4aa不难用归纳法证明数列的通项为： a =) ，且以 4 为周期.ntg( n - +a44于是有 1，5，91997 是以 4 为公差的等差数列， a1 = a5 = a9 = l = a1997 ，由1997 = 1 + (n - 1) 4 得总项数为 500 项，

22、7、在二项式中的应用例 9.今天是星期三，试求今天后的第9292 天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.92929292解 ：q 9292 = (91 + 1)92 = c 0 9192 + c1 9191 +l + c 90 912 + c 91 91 + 1因为展开式中前 92 项中均有 7 这个因子，最后一项为 1，即为余数，故9292 天为星期四.8、复数中的应用例 10.（上海市 1994 年高考题）设 z = - 1 +2式 z n = z, 且大于 1 的正整数n 中最小的是( )（a）3；（b）4；（c）6；（d）7.3 i(i是虚数

23、单位) ，则满足等2分析：运用 z = - 1 +23 i 方幂的周期性求值即可.2解：q z n = z, z(z n-1 - 1) = 0 z n-1 = 1，9、解“立几”题例 11.abcd a1b1c1d1 是单位长方体，黑白二蚁都从点 a 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是 aa1 a1 d1 l, 黑蚁 爬行的路线是 ab bb1 l. 它们都遵循如下规则：所爬行的第i + 2 段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i n ) .设黑白二蚁走完第 1990 段后， 各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是( )23（a）1；（b）；（

24、c）；（d）0.解：依条件列出白蚁的路线 aa1 a1 d1 d1c1 c1c cb ba aa1 l, 立即可以发现白蚁走完六段后又回到了 a 点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.1990=6 331 + 4 ，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在 d1 点，白蚁在 c 点，故所求距离是 2.例题与应用例 1：f(x)是 r 上的奇函数 f(x)=f(x+4)，x0，2时 f(x)=x，求f(2007)的值例 2：已知 f(x)是定义在 r 上的函数，且满足 f(x+2)1f(x)=1+f(x)， f(1)=2，求 f

25、(2009)的值。故 f(2009)=f(2518+1)=f(1)=2例 3：已知 f(x)是定义在 r 上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当 x -2,0时，f(x)=2x+1，则当 x 4,6时求 f(x)的解析式-例 4：已知 f(x)是定义在 r 上的函数，且满足 f(x+999)=f(999x)，试判断函数 f(x)的奇偶性.1f (x) ，f(999+x)例 5：已知 f(x)是定义在 r 上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当 x -2,0时，f(x)是减函数，求证当 x 4,6时 f(x)为增函数例 6：f(x)满足 f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若

26、f(a)=-f(2000)， a5，9且 f(x)在5，9上单调.求 a 的值.例 7：已知 f(x)是定义在 r 上的函数，f(x)=f(4x)，f(7+x)=f(7x), f(0)=0，求在区间1000，1000上 f(x)=0 至少有几个根？解：依题意 f(x)关于 x=2，x=7 对称，类比命题 2（2）可知 f(x)的一个周期是10故 f(x+10)=f(x)f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在区间(0，10上，方程 f(x)=0 至少两个根又 f(x)是周期为 10 的函数，每个周期上至少有两个根，2 2000因此方程 f(x)=0 在区间1000，1000上至

27、少有 1+10 =401 个根.例 1、函数 yf(x)是定义在实数集 r 上的函数，那么 yf(x4)与yf(6x)的图象之间（d）a关于直线 x5 对称 b关于直线 x1 对称c关于点（5，0）对称 d关于点（1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数 yf(x4)与 yf(6x)之间关于点（64）/2，0）即（1，0）中心对称，故选 d。（原卷错选为 c） 例2、设 f(x)是定义在 r 上的偶函数，其图象关于 x1 对称，证明 f(x)是周期函数。（2001 年理工类第 22 题）例 3、设 f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1 时 f(x)x，则 f(7.5)等于（

28、-0.5）（1996 年理工类第 15 题） 例 4、设 f(x)是定义在 r 上的函数，且满足 f(10x)f(10x)， f(20x)f(20x)，则 f(x)是（c）a偶函数，又是周期函数 b偶函数，但不是周期函数c奇函数，又是周期函数 d奇函数，但不是周期函数六、巩固练习1、函数 yf(x)是定义在实数集 r 上的函数，那么 yf(x4)与 y f(6x)的图象（?）。a关于直线 x5 对称? ?b关于直线 x1 对称c关于点（5，0）对称? ?d关于点（1，0）对称2、设 f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0x1时，f(x)x，则 f(7.5)=（?）。a0.5?b0.5?c1.5?d1.53