北师大版初一（上）数学讲义第四章基本平面图形

1、精品文档第四章：基本平面图形 4.1线段、射线、直线1线段、射线、直线的概念(1) 线段概念： 铅笔、人行横道线和路旁的电线杆都可以近似地看做线段，下图就是一条线段线段的特征：线段是直的；线段有2 个 端点；线段的长度是有限的，可度量线段可以向两方无限延长；线段是没有粗细之分的(2) 射线概念：射线可以看做由线段向一个方向无限延长形成的图形如图，把线段 AB 向一个方向无限延伸，就是一条射线射线的特征： 射线是直的； 射线有一个端点；因射线向一个方向无限延长，所以射线没有长短，不可测量射线可以反向延长；射线没有粗细之分(3) 直线概念：直线可以看做由线段向两个方向无限延长形成的直线的特征： 直

2、线是直的；直线没有端点；向两个方向无限延长，没有长短，不可测量因为直线是线段向两个方向无限延长形成的，所以我们不能说延长某条直线，即直线不能延长【例 1】 下列说法正确的有()画一条射线等于 5 cm；线段 AB 为直线 AB 的一部分；在直线、射线、线段中，线段最短；射线与其反向延长线形成一条直线A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个2.线段、射线、直线的表示方法(1) 线段的表示方法用两个表示端点的大写字母来表示如图，以A， B 为端点的线段，可记作“线段 AB”或 “线段 BA”用一个小写字母来表示如线段AB 也可记作 “线段 a”(2) 射线的表示方法用两个大写字母表示一条射线可用它

3、的端点和射线上的另一点来表示，如图中的射线，可记作 “射线 AB ”(端点必须在前面 )射线的识别：判断两条射线是否是同一条射线， 首先看端点是否相同， 再看延伸方向是否相同， 如果这两点都符合，那么这两条射线是同一条射线端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如图射线MB， MC ，MN 都表示同一条射线端点相同，但延伸方向不相同的射线不是同一条射线，如图中射线AB， AC 就不是同一条射线端点不同的射线不是同一条射线，如图中的射线BN，CN 的延伸方向一致，但端点不同，所以不是同一条射线【例 2 1】 射线 OA， OB 表示同一条射线，下面的图形正确的是()精品文档精品文档(3) 直

4、 的表示方法直 有两种表示方法：可以用表示 条直 上任意两个点的大写字母来表示，注意表示直 上任意两个点的字母没有 序性如 甲中的直 可 作“直 AB”或 “直 BA”；可用一个小写字母来表示，如 乙中的直 可 作“直 l ” 甲 乙辨 区 段、射 、直 的 系表示 段、射 、直 ，都要在字母前面注明“ 段、射 或直 ”；用两个大写字母表示 段和直 ，两个字母没有 序性，可以交 位置，如“ 段 BA”和“ 段 AB”表示同一条 段，“直 AB”和“直 BA”表示同一条直 ；表示射 的两个大写字母有一定的 序，表示端点的字母必 写在前面【例 2 2】 如 所示，下列 法()A 都 B 都正确C只

5、有一个正确D 有两个正确3直 的性 (1) 两点有且只有一条直 它包含两 含 ：一是“肯定有 ”，二是 “只有一条 ”，不会有两条、三条 ；它可 地 成“两点确定一条直 ”(2)直 的其他性 ： 一点的直 有无数条；不同的两条直 最多有一个交点【例 3】 工人 傅要将一 条 板固定在机器上， 至少要用_ 个螺 4射 、 段的 数方法射 和 段可以看做直 的一部分，因此在一条直 上，取一些点 ，会出 射 和 段(1) 点数与射 的条数射 向一方无限延伸，因此射 的条数是由端点的个数决定的在直 上，以一个点 端点的射 有2 条，若直 上有n 个点， 共有2n 条射 (2) 点数与 段的条数 段有两

6、个端点，直 上每两个点之 的部分就是一条 段因此，数 段 ，只要判断 些点共有多少种 合即可析 律数 段条数的方法确定 段的条数 ，可以先固定第一个点 一个端点，再以其余的点 另一个端点 成 段，然后固定第二个点 一个端点，与其余的点 (第一个点除外 ) 成 段 ，依此 推， 直到找出最后的 段 止【例 4】 画出 段 AB：(1)如 (1)，在 段AB 上画出 1 个点， 中共有几条 段？(2)如 (2)，在 段AB 上画出 2 个点， 中共有几条 段？(3)如 (3)，在 段AB 上画出 3 个点， 中共有几条 段？(4)如 (4)，在 段AB 上画出 n 个点 ，猜一猜： 中共有几条 段

7、？精品文档精品文档5直 性 的 用生活中的很多 要用到直 的性 ，如木工 傅在 木料之前，先在木板上画出两个点，然后 两个点 条墨 ，就是利用了直 的 “两点确定一条直 ”的性 ，沿着 条 能 成直的，而不会歪斜【例 5】 建房屋 ，建筑工人都要在 的两端固定 子， 利用所学的知 ， 明其中道理6.与直 有关的 律探究(1) 两点确定一条直 ， 在同一平面内， 不同的点可以确定不同的直 当任意三点均不在同一直 上 ，点数与直 条数的关系 下表：点的个数最多直 条数213346n( n1)n( n 1)21(2)平面上若有 n(n1)条直 两两相交， 交点个数最多有2n(n 1)个【例 6】平面

8、上有五个点， 其中任意两点画一条直 ，最多能得到多少条直 ？ 画出另外三种不同情况的 形 4.2 比较线段的长短1 段的性 （ 1）两点之 的距离：两点之 段的 度，叫做 两点之 的距离。（ 2） 段的性 两点之 的所有 中， 段最短。 述 ：两点之 ， 段最短。延伸拓展距离是指两点之 段的 度，是一个非 数 ，而不是 段本身。比如M , N两点之 的距离不能 成是 段MN，而 成 段MN的 度。 接两点的 有无数条， 段的 度最短。 是指以两个点 端点的任意 ，包括 段，折 和曲 。 接AB 是指画 段 AB 。【例 1-1】已知 段 AB 5cm，在 段 AB 上截取 BC2cm， AC【

9、例 1-2】如 是 A, B 两地之 的公路，在公路工程改造 ， 使A, B 两地行程最短， 在 中画出改造后的公路，并 明你的理由。AB2. 段的画法精品文档精品文档（ 1）尺 作 法用直尺和 作一条 段等于已知 段a 。aABM如 ，其作法是：画射 AM ；在射 AM 上用 截取 段ABa ， 段 AB 就是所求作的 段。上面作法中的“截取”是指以点A 心，以 a 的 度 半径画弧，角射 AM 于点 B ；尺 作 要保留作 痕迹，最后要指出所求作的 形；注意画 段 ，不要向任何一方延伸。（ 2）度量法用刻度尺画一条 段等于已知 段a 。画法是：先用刻度尺量出已知 段a 的 度，再画一条 段

10、，使其 度等于 段 a 的 度。延伸拓展 段和差的画法已知两条 段 a,b(a b) 。 两条 段和的画法是：先画 段ABa ；在 段 AB 的延 上截取 BC b ， 段 AC 就是 段 a, b 的和，即 ACab ，如 1.两条 段差的画法：先画 段ABa ；再在 段AB 上截取 ACb ， 段 BC 就是 段 a,b 的差，即 BCa b ，如 2.aaabbbABCAC B图 1图 2【例 2】已知 段 a, b(2 a b) ，用直尺和 作一条 段，使 条 段等于2a b 。ab3. 段的中点 段的中点：把 段分成相等的两条 段的点叫做 段的中点。AMB如 ， M 段 AB 的中点

11、， AM BM1 AB 或 AB 2 AM 2BM 。2延伸拓展 似的， 有 段的三等分点、四等分点等。三等分点，把 段分成相等的三条 段叫做 段的三等分点；四等分点，把 段分成相等的四条 段叫做 段的四等分点；n 四等分点，把 段分成相等的 n 四条 段叫做 段的 n 四等分点；【例 3】若 P 是 段 CD 的中点， （）A. CPCDB. CPDPC. CDPDD. CPPD4. 段 短的比 借助不同的方法比 两条 段的 短。【例 4-1】如 ，若 ABCD ， AC 与 BD 的大小关系是（）ABCD【例 4-2】已知三角形ABC ， 比 ACBC 与 AB 的大小关系。精品文档精品文

12、档CAB5. 段的有关 算 段的有关 算是以后学 几何知 的前提。【例5-1】如 所示，已知AB : BC : CD3: 2: 4 ， E, F 分 是 AB, CD 的中点，且EF22cm ，求AB, BC, CD 的 。AEBCFD【例 5-2】如 ，已知点 C 在 段 AB 上， 段 AC6cm, BC 4cm ，点 M , N 分 是 AC , BC 的中点。（ 1）求 段 MN 的 度；AB a ，其他条件不 ，你能猜出MN 的 度 ？ 表述你（ 2）根据第（ 1） 的 算 程和 果， 的 律。AMCNB6. 段性 的 用 段的性 在生活和生 中 用非常广泛，可以根据“两点之 ， 段

13、最短”确定位置。【例6-1】某地区有A, B, C , D 四个村庄如 所示， 了解决当地的缺水 ，政府准 投 修建一个蓄水池，不考 其他因素， 你帮忙画出蓄水池O 的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。ADBC【例6-2】如 所示，有一个正方体 盒ABCDA B C D ，在点 C 有一只小虫，它要爬到A 点 吃食物， 沿着怎 的路 ，才能使行程最短？你能 出 条路 ？BACDBACD7. 易 辨析【例 7-1】若 AC1AB ， 点 C 是 段 AB 的中点， 种 法正确 ？ 什么？2【例 7-2】已知 段的 度。AB8cm，点 C 在直 AB 上，且 BC3cm ，点M 段AC 的中点，

14、求 段MC 4.3 角1角的定 精品文档精品文档(1) 静态定义： 由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角如图甲角的有关概念：顶点： 两条射线的公共端点边： 组成角的两条射线(2) 动态定义： 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形如图乙谈重点角的理解(1)角有两个特征：角是由两条射线组成的；这两条射线有公共的端点(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关【例 1】下列说法错误的有()有公共点的两条射线形成的图形是角从一点引出的两条射线形成的图形是角角的大小与两边所画的长

15、度有关线段绕着一个端点旋转也可以形成角A 1 个B 2 个C3 个D 4 个2角的表示方法及画法角的表示方法有四种(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图 (1) 中的角， 可记为 AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A， B 写在两旁(2)顶点字母表示法： 当角的顶点处只有一个角时， 也可以只用顶点的字母表 示角，如图 (1) 中的 AOB 也可记为 O.(3) 阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2) 中的 AOB 可记为 1.(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母 (， ，等

16、 )，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图 (2)中的 BOC 可记为 .这种方法与数字表示法实际上是一样的释疑点表示角时的注意事项以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“ ”表示角所用的符号“ ”，不能写成小于号“”当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图 (2)中以 O 为顶点的角有 1， ， AOC，就不能用 O 来表示了否则，就会产生混乱3平角、周角(1)平角：一条射线绕它的端点旋转， 当终边和始边成一条直线时， 所成的角叫做平角， 平角是 180 ， 、如图 1.(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角周角等于 3

17、60 .(3)平角与周角的关系：一周角等于两平角平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角角必须有顶点和两边【例 3】 下列说法是否正确，为什么？精品文档精品文档平角是一条直 ； 表上的分 1 小 形成一个周角4度、分、秒的 算(1) 角的 位及意 角的 位是 度、分、秒 意 ：把一个平角180 等分，每一份就是一度的角， 作1；把一度的角60 等分，每一份就是一分的角， 作1；把一分的角60 等 分，每一份就是一秒的角， 作1.(2) 度、分、秒的 率及 算方法度、分、秒的 率是60.即 1 60， 1 60，1 60 3 600 .6

18、060秒度 垐 垎分 垐 垎噲 垐噲 垐6060(3) 度 、分、秒有关的 算60 才向高位 1，而借 1 表示低位的度、分、秒的 率是六十 制，不同于十 制在运算中 60.在 行度、分、秒的加减法或乘除法的运算 ，要按 行，即分 按度、分、秒 算，不 减、不 除的要借位从高位借的， 位要化 低位的 位后才能 行运算在相乘或相加 ，当低位大于或等于60 ，要向高位 位【例 4 1】 (1) 用度、分、秒表示 48.13 _ ；(2) 用度表示 23 9 36【例 4 2】 算：(1)13 2978 37；(2)61 3922 5；32(3)23 533；(4)107 43 5.5.角的 数方法

19、数角的个数与数 段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数常用的有两种方法：始 数法： 先以某条 始 (固定一 )，按 方向或逆 方向找到与之构成的所有的角，然后再以另一条射 ，重复上面的 程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的 个数分 数法：先数清基本的角，再数由两个基本角 成的角，由三个基本角 成的角 【例 5】 如 ， 中共有多少个角？用字母分 表示出来6角的 用角在生活和生 中随 可 本 的有关角的 用主要是 表中的角 面上共有 12 个大格，把周角平均分，即 36012 30. 表面上有 60 个小格， 36060 6.因此， 每小 30，分 每分 6. 与分 的 角的求法

20、：先确定 与分 之 有几个大格，即有多少个30.用 30乘大格 数特 注意：从 开始数，所形成的角有 需要按 数，如 3： 40；有 需要按逆 数，如 2：50. 从 开始，按 形成的角，两个度数相减；按逆 形成的角度数相加 每分 30600.5 .精品文档精品文档【例 6】 如 是部分 目的播出 ，分 确定出 表上 与分 所成的最小的角的度数 4.4 角的比较1角的大小比 (1) 度量法： 先用量角器 量出各角的度数，再按照角的度数比 大小，从而确定两个角的大小关系(2) 叠合法： 两个角比 大小 ，把两个角的 点和一条 分 重合，另一条 放在重合 的同 ，根据另一条 的位置确定角的大小如比

21、 ABC 和 DEF 的大小，可把DEF 移到 ABC 上，使它的 点E 和 ABC 的 点 B 重合，一 ED 和 BA 重合，另一 EF 和 BC 落在 BA 的同一 如果 EF 和 BC 重合 (如 1) ，那么 DEF 等于 ABC， 作 DEF ABC；如果 EF 落在 ABC 的外部 (如 2)，那么 DEF 大于 ABC， 作 DEF ABC ；如果 EF 落在 ABC 的内部 (如 3)，那么 DEF 小于 ABC， 作 DEF ABC .【例 1】 如 ，求解下列 ：(1)比 COD 和 COE 的大小；(2)借助三角尺，比 EOD 和 COD 的大小；(3)用量角器度量，比

22、 BOC 和 COD 的大小2角的平分 (1) 定 ： 从一个角的 点引出的一条射 ，把 个角分成两个相等的角， 条射 叫做 个角的平分 角平分 是以角的 点 端点的特殊射 ，它在角的内部；角平分 把角分成两个相等的角(2) 角平分 的表示： OC 是 AOB 的平分 ； AOC COB 1 AOB， AOB 2 AOC 2 COB . 2(3) 作角平分 的方法：利用量角器量出角的度数，取角的度数的一半并画出射 ；折叠：把已知角的两 重合后再折叠，可得已知角的平分 【例 2】 如 ，已知 AOC 80， BOC50， OD 平分 BOC ，求 AOD.精品文档精品文档3角平分线及角的和、差计

23、算(1) 角的和、差的意义如图，和：AOB 1 2；差： 1 AOB 2， 2 AOB 1.(2) 角平分线及角的和、差计算与角有关的计算，是本节的重点，也是易错点解决这类问题，关键是根据角平分线得到相等的角，或把未知量转化为已知量求出一个较大的角，借助于某一个中间的角，(3) 三角板中角的和与差一副三角板有两块，一块含30角， 60角， 90角；一块含45角， 45角， 90角借助于三角板，即可以画出上面的角利用三角板和角的和、差，还可以得到以下度数的角：15，75， 105， 120，135， 150， 165.【例 3 1】 已知 AOB 30， BOC 20，则 AOC 的角度是 _【

24、例 3 2】 如图， AOC 为一直线， OD 是 AOB 的平分线，BOE 1 EOC， DOE 72，求 EOC 2的度数4角的分类(1) 角的分类：根据角的度数，常常把大于0而小于 180的角分为锐角、直角、钝角三类(2) 各种角的规定：锐角：大于0且小于 90的角 直角：等于90的角钝角：大于90且小于 180的角平角：等于180的角周角：等于3 60的角(3)角之间的关系：锐角直角钝角平角周角1 平角 2 直角 180 ；1 周角 2 平角 4 直角 360 .若没有特别说明，我们平常所说的角是指小于平角的角【例 4】 如图，解答下列问题：精品文档精品文档(1)比 中 AOB， AO

25、C， AOD 的大小；(2)找出 中的直角、 角和 角 4.5 多边形和圆的初步认识1 多 形和多 形的 角 多 形的定 ：由若干条 不在同一直 上的 段首位 次相 成的封 平面 形叫做多 形。多 形的重要特征：多 形是封 形；多 形是平面 形。如 ，三角形、四 形、五 形、六 形等都 足多 形的定 ，是多 形。三角形四边形五边形六边形多 形的 角 ： 接多 形不相 两个 点的 段叫做多 形的 角 。如 AD, BD , CE 都是多 形ABCDE 的 角 。EAB ,ABC ,BCD ,CDE ,DEA 是多 形的内角。DECABn 形的基本性 ：任意一个 n 形都具有如下特征：有 n 个

26、点；有n 条 ；有 n 个内角； 从任意一个 点引 角 有(n3) 条 角 ，把n 形分成 (n2) 个三角形 。精品文档精品文档 n 边形的对角线的总条数为n(n3) 。 思考为什么？2【例 1-1】一个多边形从一个顶点能引12 条对角线，则这个多边形为边形；【例 1-2】九边形的对角线的条数是。2. 正多边形正多边形的定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形。正多边形的特征：各边相等； 各个角相等 。如图分别是：正三角形，正四边形（正方形），正五边形，正六边形，正八边形。【例 2】下列说法正确的有个由四条线段首位顺次相接组成的图形是四边形；各边都相等的多边形是正多边形；各角都相等的多边形是