2021年中考数学几何教学重难点专题：平面展开—最短路径问题（三）

1、2021年中考数学几何教学重难点专题：平面展开最短路径问题（三）1如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于24cm，底面周长为20cm，在盒内下底面的点a处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为2cm/s（1）如图1，它想沿盒壁爬行吃到盒内正对面中部点b处的食物，那么它至少需要多长时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，下同）（2）如果蚂蚁在盒壁上爬行了一圈半后才找到点b处的食物（如图2），那么它知道需要多长时间？（3）假如蚂蚁是在盒的外部下底面的a处（如图3），它想吃到盒内正对面中部点b处的食物，那么它至少需要多长时间？2（1）如图（a），一个正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm一只蚂蚁从棱柱

2、的底面a处沿着侧面爬到c处，蚂蚁怎样爬路程最短？（2）如图（b），一个圆锥底面圆周a处有一只蚂蚁，它要沿圆锥侧面爬一圈后回到a处，请你结合圆锥的侧面展开图设计一条最短路径3如图1所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为a，对角线为b，长方形对角线为c一只蚂蚁从a点爬形到c点（1）求蚂蚁爬形的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由；（2）如果把右边的正方形efbc沿ef翻转90得到如图2所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从a点到c点的最短路线长是多少？请在图2中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置（可测量猜想判断）4如图，地上有一圆柱，在

3、圆柱下底面的a点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行吃到上底面上与a点相对的b点处的食物（的近似值取3，以下同）（1）当圆柱的高h12厘米，底面半径r3厘米时，蚂蚁沿侧面爬行时最短路程是多少；（2）当圆柱的高h3厘米，底面半径r3厘米时，蚂蚁沿侧面爬行也可沿ac到上底面爬行时最短路程是多少；（3）探究：当圆柱的高为h，圆柱底面半径为r时，蚂蚁怎样爬行的路程最短，路程最短为多少？5请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的底面半径、高均为5cm，bc是底面直径，求一只蚂蚁从a点出发沿圆柱表面爬行到点c的最短路线小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段ac如下图（2）所示：设路线1的长度为l1，则

4、l12ac2ab2+252+（5）225+252路线2：高线ab+底面直径bc如上图（1）所示：设路线2的长度为l2，则l22（ab+bc）2（5+10）2225l12l2225+25222525220025（28）0l12l22，l1l2所以要选择路线2较短（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高ab为5cm”继续按前面的路线进行计算请你帮小明完成下面的计算：路线1：l12ac2 ；路线2：l22（ab+bc）2 l12 l22，l1 l2（填或）选择路线 （填1或2）较短（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上

5、面的两条路线才能使蚂蚁从点a出发沿圆柱表面爬行到c点的路线最短6李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点a沿着正方体表面爬到点c1处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点a沿着棱柱表面爬到c1处；（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且aoa1120，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点a出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点a7如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点c1处有一

6、只昆虫甲，在盒子的内部顶点a处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点c1处静止不动，如图，在盒子的内部我们先取棱bb1的中点e，再连接ae、ec1虫乙如果沿路径aec1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲仔细体会其中的道理，并在图中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点a沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）（2）如图，假设昆虫甲从顶点c1，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱c1c向下爬行，同时昆虫乙从顶点a以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）8阅读下面材料：实际问题：如图（1），一圆柱的底面半

7、径为5cm，bc是底面直径，高ab为5cm，求一只蚂蚁从点a出发沿圆柱表面爬行到点c的最短路线，小明设计了两条路线解决方案：路线1：侧面展开图中的线段ac，如图（2）所示：这路线一的长度为l1；则l12ac2ab2+bc252+（5）225+252；路线2：高ab+底面直径bc，如图（1）所示：设路线2的长度为l2：则l22ac2（ab+bc）2（5+10）2225；为比较l1和l2的大小，我们采用“作差法”：l12l2225（28）0，l12l22l1l2小明认为应选择路线2较短（1）问题类比：小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高ab为5cm”请你用上述方法

8、帮小亮比较出l1与l2的大小；（2）问题拓展：请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为rcm时，高为hcm，蚂蚁从a点出发沿圆柱表面爬行到点c，当满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由（3）问题解决：如图（3）为两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5cm，当蚂蚁从点a出发，沿圆柱表面爬行到c点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r（注：按上面小明所设计的两条路线方式）9李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点a沿着正方体表面爬到点

9、c1处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点a沿着棱柱表面爬到c1处10已知如图甲，圆柱的底面直径为2分米，高为4分米，（1）求该圆柱的侧面积；（2）若用如图乙所示的abba薄膜，能恰好按如图丙的方法，无重叠无遗漏地包裹住侧面，接缝ab刚好绕圆柱两圈，求aa和ab的长注：此题中的值按3计算参考答案1解：（1）如图1，ac20210cm，bc12cm，则蚂蚁走过的最短路径为：ab2cm，所用时间为：22（秒）（2）蚂蚁走过的最短路径为：ab6，所用时间为：623秒；（3）如图2，作b关于ef的对称点d，连接ad，蚂蚁走的最短路程是ap+pbad，

10、由图可知，ac10cm，cd24+1236（cm），ad（cm），2（s）从a到c所用时间为秒2解：（1）画图分两种情况：当横向剪开时：ac10（cm），当竖向剪开时：ac2（cm）；102，最短路程为10cm；（2）如图，将圆锥沿母线ac剪开，并展开得如图扇形cbab连接aa，则aa就是蚂蚁要从a点开始经圆锥体侧面爬一圈后，再回到a点经过的最短路径3解：（1）从abc路线长：a+a+a3a，从adc路线长：a+a+a3a，从aec路线长：a+b（3分）根据两点之间，线段最短可得ad+deae，即a+ab，（6分）所以a+a+aa+b，即3aa+b（7分）（说明：只要写出理由“两点之间，线段最

11、短”即给6分）故从a到c的最短路线长为a+b；（8分）（2）从a到c的最短路线长为c，（10分）图中的点m为线段ef的中点（11分）位置如图（13分）4解：将圆柱体展开，连接ab，底面半径r3厘米，cb2339厘米，圆柱的高h12厘米，即ac12厘米，ab15厘米答：蚂蚁沿侧面爬行时最短路程是15厘米（2）当蚂蚁沿侧面爬行同（1）的方法：ac3，39，ab3当蚂蚁沿ac到上底面，再沿直径cb爬行，有ac+bc3+69因为9，所以最短路程是经ac到上底面，再沿直径cb爬行的总路程为9（3）在侧面，沿ab爬行时，s1，沿ac再经过直径cb时，则s2h+2r当s1s2时，整理，得4h（24）r，由于

12、取3，所以4h5r当时，两种爬行路程一样当s1s2时，整理，得4h（24）r当取3时，有h，所以当h时，沿ac再经过直径cb到点b时所走路程最短同理，当h时，沿侧面ab走路程最短当hr时，沿ac到cb走路程最短为h+2r当hr时，沿侧面ab走或沿ac到cb走路程一样长为或h+2r当hr时，沿侧面ab走路程最短为当hr时，沿ac到cb走路程最短为h+2r5解：（1）路线1：l12ac225+2；路线2：l22（ab+bc）249l12l22，l1l2（填或），选择路线1（填1或2）较短（2）l12ac2ab2+2h2+（r）2，l22（ab+bc）2（h+2r）2，l12l22h2+（r）2（h

13、+2r）2r（2r4r4h）r（24）r4h；r恒大于0，只需看后面的式子即可当时，l12l22；当r时，l12l22；当r时，l12l226解：（1）（cm）；（2）画图分两种情况：当横向剪开时：（cm），当竖向剪开时：（cm）；，最短路程为cm（3）如图所示：连接aa1，过点o作odaa1于点d，在rtado和rta1do中，oaoa1，ada1d，aodaoa160，adoasin6042（cm），aa12ad4（cm），所求的最短的路程为aa1cm7解：（1）画出图中ae2c1，ae3c1，ae4c1中任意一条路径；（e1、e2、e3分别为各棱中点）（说明：无画法，扣2分）（2）由（1

14、）可知，当昆虫甲从顶点c1沿棱c1c向顶点c爬行的同时，昆虫乙可以沿下列四种路径中的任意一种爬行：可以看出，图1与图2中的路径相等，图3与图4中的路径相等设昆虫甲从顶点c1沿棱c1c向顶点c爬行的同时，昆虫乙从顶点a按路径aef爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图1，在rtacf中，（2x）2（10x）2+202，解得x10；设昆虫甲从顶点c1沿棱c1c向顶点c爬行的同时，昆虫乙从顶点a按路径ae2f爬行捕捉到昆虫甲需y秒钟，如图4，在rtabf中，（2y）2（20y）2+102，解得y8；所以昆虫乙从顶点a爬行捕捉到昆虫甲至少需8秒钟说明未考虑到aef和图中其它路径，而直接按路径aef（或aef）

15、计算，并求出正确答案的不扣分8解：（1）如图（2）圆柱的底面半径为1厘米，高ab为5厘米，路线1：l12ac2ab2+bc225+2；路线2：l2ab+bc5+27，l22（ab+bc）249l12l2225+2492240，l12l22，l1l2，选择路线1较短；（2）如图（2）圆柱的底面半径为r厘米，高为h厘米，路线1：l12ac2ab2+bc2h2+（r）2h2+2r2，路线2：l22（ab+bc）2（h+2r）2，l12l22h2+（r）2（h+2r）2r（2r4r4h）r（24）r4h；r恒大于0，当（24）r4h0，即时，l12l22，即此时选择的路线2最短；（3）如图（3），圆柱的高为5厘米l12ac2ab2+bc225+（2r）2，l22（ab+bc）2（5+4r