线性代数B 25 矩阵的秩习题s课堂

1、1,任课教师,胡凤珠,2,秩,rank,是矩阵更深层的性质，是,矩阵理论的核心概念,秩,是,德国数学家,弗洛贝尼乌斯,在,1879,年首先提出的,矩阵的秩,是,讨论线性方程组解的存,在性、向量组的线性相关性,等问题,的重要工具,矩阵的秩,3,课本,2,6,矩阵的秩,一、矩阵的,秩的概念,二、矩阵的,秩的求法,4,n,m,r,O,O,O,E,F,m,n,A,r,行阶梯形矩阵,r,行最简形矩阵,c,标准形,形式不唯一,形式唯一,矩阵常用的三种特殊的等价形式,标准形由,数,r,完全确定,r,也就是,A,的,行阶梯形中,非零行,的行数,这个数便是,矩阵,A,的秩,一、矩阵的秩的概念,5,n,m,r,O

2、,O,O,E,F,m,n,A,r,行阶梯形矩阵,r,行最简形矩阵,c,标准形,形式不唯一,形式唯一,矩阵常用的三种特殊的等价形式,由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可,以,借助行列式来定义矩阵的秩,一、矩阵的秩的概念,6,1 1,2 1 4,3,1 2,1,1,2,1,4,2,1,1 1 2,2,3,1,1,2,3,6,9 7 9,A,1,k,阶子式,例如,1 1,3,1,是,A,的一个二阶子式,说明,m,n,矩阵的,k,阶子式,有,个,C,k,n,C,k,m,1,1,km,kn,定义,1,在,m,n,矩阵,A,中,任取,k,行,k,列,位于这些,行,列,交叉处,的,k,2,个元素,

3、不改变它们在,A,中所,处的位置次序而得的,k,阶行列式,称为矩阵,A,的,k,阶子式,7,故,r,A,=0,A=O,规定,等于,0,零矩阵的秩,矩阵,A,的秩,记作,r,A,或,R,A,或,rank,A,或,秩,A,定义,2,设在,m,n,矩阵,A,中,有一个,不等于零的,r,阶子式,D,且,所有,r,1,阶子式,如果存在的话,全等于,0,那么数,r,称为,矩阵,A,的秩,D,称为矩阵,A,的,最高阶非零子式,2,矩阵的秩,8,提示,例,1,和例,2,综合,求矩阵,A,和,B,的秩,其中,1,7,4,5,3,2,3,2,1,A,0,0,0,0,0,3,4,0,0,0,5,2,1,3,0,2,

4、3,0,1,2,B,在,A,中,容易看出一个,2,阶子式,0,1,3,2,2,1,A,的,3,阶子式只有一个,A,经计,算可知,A,0,因此,r,A,2,解,以,3,个非零行的首,非零元为对角元的,3,阶子式,4,0,0,2,3,0,3,1,2,是一个上三角行列式,它显然,24,不等于,0,因此,r,B,3,B,是一个有,3,个非零行的,行阶梯形矩阵,其所有,4,阶子,式全为零,对于,行阶梯形矩阵,它,的,秩,就等于,非零行的行数,9,3,矩阵的秩的性质,1,若矩阵,A,中,有某个,s,阶子式不为,0,则,r,A,s,若,A,中,所有,t,阶子式全为,0,则,r,A,t,2,若,A,为,m,n

5、,矩阵,则,0,r,A,min,m,n,r,A,m,n,min,m,n,4,对于,n,阶矩阵,A,当,A,0,时,r,A,n,当,A,0,时,r,A,n,可逆矩阵,非奇异矩阵,又称为,满秩矩阵,不可逆矩阵,奇异矩阵,又称为,降秩矩阵,可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵,3,r,A,r,A,T,11,12,1,21,22,2,1,2,n,n,m,m,mn,a,a,a,a,a,a,A,a,a,a,L,L,L,L,L,L,L,10,在秩是,r,的矩阵中,有没有等于,0,的,r,1,阶子式,有没有等于,0,的,r,阶子式,解答,可能有,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,A,0,0,0,0,

6、0,1,0,0,0,1,0,0,0,例如,r,A,3,是等于,0,的,2,阶子式,是等于,0,的,3,阶子式,补充例,3,11,定理,1,若,A,与,B,等价,则,r,A,r,B,根据这一定理,为求矩阵的秩,只要把矩阵用,初等,行,变换,变成,行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中,非零行的行数,即是,该矩阵的秩,二、矩阵的秩的求法,问题,经过初等变换后，矩阵的秩,变,吗,任何矩阵都可以经过,初等行变换,变成,行阶梯形矩阵,即初等变换不改变矩阵的秩,12,因为,解,4,1,4,6,1,3,5,1,0,2,1,6,3,2,3,0,5,0,2,3,A,例,4,求矩阵,A,的秩,并求,A,的一个最高阶非零子式

7、,其中,4,1,4,6,1,3,5,1,0,2,1,6,3,2,3,0,5,0,2,3,A,所以,r,A,3,为求,A,的最高阶非零子式,考虑由,A,的,1,2,4,列,构成的,矩阵,1,6,1,5,0,2,6,2,3,5,2,3,0,A,又因,A,0,的子式,0,5,0,2,6,2,3,5,2,3,所以,这个子式是,A,的最高阶非,零子式,0,0,0,0,0,8,4,0,0,0,1,1,3,4,0,4,1,4,6,1,行变换,1,6,1,0,4,1,0,0,4,0,0,0,可见,r,A,0,3,行阶梯形矩阵,13,例,5,即,AB,与,B,等价,14,例,6,15,小结,2,初等变换法,1,

8、矩阵的秩的概念,2,求矩阵的秩的方法,1,定义法,把矩阵用,初等行变换,化为,行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵,中,非零行的行数,就是矩阵的秩,寻找矩阵中非零子式的最高阶数,16,P67:31,练习题,P67:31,32,1,1,1,1,1,1,x,A,x,A,x,3,1,设,三,阶,矩,阵,试,求,矩,阵,的,秩,17,P67:31,练习题,P67:31,32,1,1,1,1,1,1,x,A,x,A,x,3,1,设,三,阶,矩,阵,试,求,矩,阵,的,秩,18,P67:31,练习题,P67:31,32,1,1,1,1,1,1,x,A,x,A,x,3,1,设,三,阶,矩,阵,试,求,矩,阵,的,秩,

9、继续讨论,x,的值的变化对矩阵,A,的秩的影响，结果同解法一,19,P67:32,练习题,P67:31,32,1,2,3,1,2,1,2,5,4,0,1,1,3,1,1,0,4,2,0,2,5,k,A,A,A,k,3,2,设,为,的,矩,阵,且,的,秩,为,3,求,20,P67:32,练习题,P67:31,32,1,2,3,1,2,1,2,5,4,0,1,1,3,1,1,0,4,2,0,2,5,k,A,A,A,k,3,2,设,为,的,矩,阵,且,的,秩,为,3,求,21,1,1,1,2,1,4,2,1,2,2,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,4,1,2,D,0,1,a,a,

10、a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,1,3,2,3,4,3,1,1,5,2,1,3,0,1,1,4,1,5,D,解,P21 ,2,22,P21 ,5(3,1,1,1,23,1,1,1,2,n-1,n-1,1,2,1,1,2,n+1,0,0,0,0,0,1,y,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,n,n,n,n,n,x,y,y,x,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,y,x,y,x,y,原式,P21 ,5(3,24,习题,1-5, P25 :5,25,26,4,P40:3(3,4,3,27,4,P40-4,28,6,P40-6,1,1,3,1,1,2,2,1,

11、2,3,2,1,3,3,1,2,3,3,2,3,1,2,3,1,2,3,2,3,2,3,2,2,4,5,3,x,y,y,y,z,z,x,y,y,y,y,z,z,x,y,y,y,y,z,z,z,z,z,x,x,x,已,知,两,个,线,性,变,换,求,到,的,线,性,变,换,2,2,1,1,2,2,22,1,21,2,1,2,12,1,11,1,n,mn,m,m,m,n,n,n,n,x,a,x,a,x,a,y,x,a,x,a,x,a,y,x,a,x,a,x,a,y,1,2,1,2,n,m,x,x,x,y,y,y,L,L,称为从变量,到变量,的,线性变换,1,2,1,2,n,m,n,x,x,x,m,

12、y,y,y,L,L,个变量,与,个变量,之间的关系式,ij,a,其中,i=1,2,.,m;j=1,2,.,n,为常数,2.3,29,作业,P46:1(1),7(1,P66:18,P46:1(1,30,7(1,0,3,3,1,1,0,2,1,2,3,A,A,B,A,B,B,设,求,容易出错,31,P66:18,1,1,5,A,A,A,可,逆,矩,阵,性,质,若,矩,阵,可,逆,则,1,1,3,2,2,A,A,A,AA,若,三,阶,矩,阵,的,伴,随,矩,阵,为,已,知,求,32,P66:22,8,4,3,4,4,3,2,0,2,2,o,A,A,A,o,设,求,及,2,1,1,2,4,4,1,2,2,3,4,3,4,3,4,4,3,4,3,4,3,3,3,4,4,3,4,4,3,4,3,3,4,4,4,3,3,5,0,0,5,A,A,A,A,则,可,知,的,值,同,理,可,计,算,的,值,33,P60:4(4,3,2,0,1,0,2,2,1,1,2,3,2,0,1,2,1,用,初,等,变,换,法,判,定,下,列,矩,阵,是,否,可,逆,如,果,可,逆,求,其,逆,矩,阵,4,1,A,E,E,A,M,M,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,r,变换,行,初等,若,A,可逆，则可以使用,初等变换法求,A,