微分中值定理与导数的应用总结

1、1 基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理1、lim f(x) A f (x) A ，这是极限值与函数值(貌似是邻域)之间的关系 x x02、: = +o( ) ，这是两个等价无穷小之间的关系3、零点定理：条件：闭区间a,b上连续、f(a)f(b) 0 (两个端点值异号)结论：在开区间(a,b)上存在，使得f( ) 04、介值定理：条件：闭区间a,b上连续、f(a) A B f(b)结论：对于任意min(代B) C max(A,B)，定在开区间(a,b上存在，使得f( ) C。5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值 M 和最小值 m 之间的一切值。第三章 微分中值定理和导

2、数的应用1、罗尔定理 条件：闭区间a,b连续，开区间(a,b可导，f(a)=f(b)结论：在开区间(a,b上存在，使得f ( )2、拉格朗日中值定理条件：闭区间a,b连续，开区间(a,b可导结论：在开区间(a,b)上存在，使得f(b) f (a) f( )(b a)3、柯西中值定理条件：闭区间a,b连续，开区间(a,b)可导，g(x) 0, x (a,b)f(b)f(a)f()结论：在开区间(a,b)上存在，使得g(b)g(a)匚厂：g(b)g(a)g ()拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔

3、定理的结论是导数存在 0值，一般命题人出题证明存在 0值，一般都用罗尔定理。当 然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0,则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在 0值。如果翻来 覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式：m2(x) f(xJ-f(X2)m1(x)； 一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义， 一般区间就是 x1, x25、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许

4、使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极 限中。不定式极限有如下 7 种：每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。6、泰勒公式求极限。如果极限是 xlimx0 f (x) 那么就在 x0 附近展开。如果极限是 lxim f (x) ，那么就 变形成 ltimt0 f (t ) ，再在 t0 附近展开。一般都是化成 ltim0 f (t) 用迈克劳林展开式 展开。那么展开多少步呢？一般分子分母展开的幂应该是一样的，便于上下几次方相抵消，分子 分母尾部都跟着一个皮亚诺型余项。如果展开了，发现分母是表面外观的 2 次方，而上面 如果展开后分子的结果为 0，则还要继续往更高阶

5、次展开。分母一定会跟着分子有同样阶 的。算吧，很大的计算量。 。7、用导数判断函数曲线的单调性和单调区间。条件：闭区间a,b连续，开区间(a,b可导，且导数f(x)0( 0)结论1： f(x)在闭区间a,b上单增(单减)结论 2： f (x) 0或不存在 则此点一定是 可靠而全面的 对单调的分界点8、函数曲线的凹凸性和拐点(左右凹凸变化的分界点)方法一：条件：区间连续。结论：若 f(Xl 2x2)f(Xl)2 f (X2)，则该曲线在(x1,x2)凹若f (Xl) 2 f (X2)，则该曲线在(x1,x2)凸方法二：条件：闭区间a,b连续，开区间(a,b)存在一阶和二阶导数结论 1： f (x

6、)0 在a,b凹；f (x)0 在a,b凸；结论2 : f (x)0或不存在 则此点一定是全面的但仅是可能的拐点。然后验证f (X)、f -(X)的符号。异号则一定为拐点。9 函数在区间上的极值点，最值点。定理1:极值点处的导数f(x0)0定理2：条件：f (x)在Xo点处连续，在Xo附近的去心邻域内可导结论：f(Xo) 0, f (Xo) 0则在Xo点取得极大值。f(Xo) 0, f (Xo) 0则在Xo点取得 极小值。若左右邻域内符号不变，则该点无极值。定理3：结论：f(Xo) 0，则在Xo点取得极小值。f(Xo) 0，则在Xo点取得极小值。f(Xo)=O, 则该点可能是极值，也可能不是极

7、值。总结：一阶导数就能得出极值点。二阶导数也能得出，但二阶导数有限制f(xo) o。最值：在极值中挑出个最大的，最小的点，再跟两端的值大小比较一下，得到的就是闭区 间最大值，最小值。10、曲率曲率定义是：K d，曲率半径用a表示，是曲率的导数，即a丄。所谓曲率半径，| ds|K是指如果在该点出以这么半径画一个圆，那么该圆的圆弧点上处处的曲率都是K。如何推导曲率？课本典型题:2扩展三个定理的条件都是闭区间连续，开区间可导。然后罗尔定律是f(a)=f(b)，结论是导数为0拉格朗日中值定理结论是存在导数。柯西定理形象来说是拉格朗日中值定理的变形(见物理意义)。f帀）罗尔定理常用于以下几种题:1 f(

8、x)在(a, b)上是否存在零点？显然，只要找到f(a) f(b)的a和b即可。找到了 还能知道至少有几个零点，以及每个零点的区域。如已知f (x) (x 1)(x 2)(x 3)，说明f(x)0有几个实根？范围是什么？等。2 证明 f (x)在(a， b)上是否存在零点？注意1是f(x)是否存在零点。故可以求出F(x) f (x)dx，这样就成了求F(x)在(a,b上是否存在零点。和1 样的方法了。3证明f(x)的根不超过多少个。如证明其根不超过3个。那么，记住用反证法+罗尔定理。设根有四个，分别为x1x2x3x4。则由罗尔定理，f(x)肯定有三个不等的根，f(x)有 两个不等的根，f(3)

9、(x)有一个不等的根。但是算到f(3)(x)时，结果却是无根。故假设错误， 根不超过3个。拉格朗日中值定理常用于证明不等式：1 证明 P(a,b) F(a,b)Q(a,b)，想办法把整个式子都变变形，最重要的是把F(a,b)变成两个同函数相减的方式，f (b) f(a)的形式，再用拉格朗日中值定理改为导数的形式与两端比较。柯西中值定理常用于证明不等式：1证明P(x) Q(x)方法：把原式转换成匚凶 1或1的形式。因为柯西中值定理实质是两G(x)个函数相除转换成导数相除，因此要想法给弄成除的形式。拉格朗日中值定理是弄成减的 形式。然后证明一下两个导数相除大于或者小于 1就行了证明函数恒等f(x)

10、 g(x) , x (a,b)证明原则：1 f(x)g(x)，x (a,b)【当然还有个条件就是f,g在(a,b)存在导数】2找到任意一点X。(a,b)，使得f(x) g(x)如果x a,b还需要验证f (x), g(x)在a,b连续2洛必达法则应用有两个条件诗衍0或者衍一lim匸凶 A，即必须存在结果，可以是无穷大，也可以是0等，但不能是诸如g(x)1A lim sin(;)之类的没具体的玩意。但是注意，如果用洛必达法则算出就是这类没具体的玩意，也不能证明该函数除法式无极限。只能证明洛必达法则此时适用性太小。3洛必达法则应用求1的七种类型的未定式极限 确定无穷小的阶是多少K阶无穷小的定义：若

11、limr C 0,k 0，则称B是a你 阶无穷小 无穷小阶的运算法则：设f(x)是x的n阶无穷小，g(x)是 x的m阶无穷小，则有:f(x)+g(x)是x的min( n , m )阶无穷小 f(x)*g(x)是x的n+m阶无穷小f(x)/g(x)是x的abs( n - m阶无穷小这一节内容关于应用洛必达法则讨论极限的问题我学的很差。泰勒中值定理的来源想象：任何一个函数f(x),在0点附近都可以曲线化直的表示成b f(0) b f(0) b f(0) b f(n)(0)用导数一算，恰好有b00P ,b11,b2厂bnn故在x0点处可得泰勒展开公式：(前提：f(x)在含X。的某个开区间(a , b

12、上具有(n+1 )阶的导数，这样才能得到拉格朗日 余项)f (x0)2 f (n)(x0)nrf (x)f(Xo) f(Xo)(x Xo)- (x x0).- (x Xo)Rn(x)当 n=02!n!时，f (X) f(x) f( )(x X0)其中f( )(x X0)是n=0时的拉格朗日余项拉格朗日余项为：换成表示为：X0(x x),(0,1)这样表示很常见(不要求精确时)可使用佩亚诺余项:Rn(x) o(x xo)n (注意：不是拉格朗日余项的n+1次方)最开始推导时，x在0处的仿f (x)多项式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的简单形式。f(n 1)( x) n使用迈克劳林公式时，对应拉格朗

13、日余项可以改为Rn(x) (x ,(o,i)但是注意这仅是迈克劳林时用。故可以不记这个特殊形式的式子。只记基本的式子佩亚诺余项x0=0即可常用的麦克劳林公式(泰勒公式涉及大量运算，而却常考这几个式子的变形)3 x sin x x 3!5x/ An 15 (l) (2n 1)!R2n(X)显然n从1开始2n 1xx2cosx 12!ln(1 x) x x24x4!(厅芒r (x)(2n)!R2n 1(x)显然n从0开始x33X4xn八/ a n 1 八|_(、丁 .( 1)Rn(x)显然n从1开始4n(1 x)1 x(1)x22!3(1)(2)x3!(1)( 2).( n!n 1) nx Rn(

14、x)显然n从0开始ex 1 x -2!xnn! Rn(x)麦克劳林展开式比较容易，可以现用现推导大体记一下，然后根据推出的前两个值就能想到全部的结论。一般第二个值如果是负的,就说明会有(-1)八(k+1)次方等注意扩展:本节课的“泰勒公式(及其扩展公式)”可以做什么?1对0型的函数式，可以用泰勒公式求极限，还可以用来确定无穷小的阶0 设lim f (x) lim g(x) o，并有泰勒公式:x ax af(x) A(x a)n o(x a)n)，其中 x a，A 为非零常数g(x) B(x a)m o(x a)m)，其中 x a，B 为非零常数A ,n m0 ,n m，显然这个得零是因为f比g

15、更快趋近于0而已x a g(x),n m求极限的情况一般都是 两个无关的函数相减。如cosx-ln(1+x)啊，cosx-eAx啊，很多式子还 伴随的是除法形式，因为这样能将多余的无穷小系数给约为 0.举例中的x是bx，xAt的变形 式。 若求得泰勒公式f (x) A(x a)n o(x a)n)，则x a时，f(x)是x-a的n阶无穷小 2由泰勒公式求f (n)(xo)其实就是将f(x)用泰勒公式展开后得到第n阶的通项公式，显然为 空f(X0)xn，因此n!n!f(n)(Xo)显然值为An导出即可。注意的是，有时候并不能得出f(n)(X)。而是其他形式，如展开式n阶通项为( ”代兰，显然结果

16、是f(2n)(0) (2n)!少。得出的结果奇形怪n!n!n!状的都有，有些n是从3,开始的，这时候就还得考虑f(), f()等。因此也要注意考虑n。3由f(x)含佩亚诺余项的泰勒公式可以得到f(bx), f(xm)的含佩亚诺余项的泰勒公式，其中b为常数，m为自然数，只需令t bx,t xm即可。显然在佩亚诺余项上f(bx)，f(xm)可以随意换项。4在求f(x)g(x)的三阶麦克劳林式时，显然分别展开3阶的结果为2323f (x)g (x) =( Ao + A x + A2x + Rx +0X3)*( Bo + Bix + B2x + B3x +OX3)将其乘开时为取三阶麦克劳林式，只需加阶

17、数3的式子即可本节在泰勒公式的变形灵活运用上掌握的不好。本节涉及大量运算，但大部分都是前面给出的五个基本公式的变形。因此一定要熟练背诵使用寻找拐点还是划分单调区间的点，都是找f (x)或者f (x)等于0，或者不存在的点。定义要求是在(开区间)可导，闭区间连续，但是得到的范围就按连续的区间来，即闭区间1根据定义，求极值总结的三种方法： 基本定义f (x)f(X0) f(X。)两端异号 f(x。)0, f(xo) 0若f(Xo)0则f (x)在x0处可能是最大最小值也可能没有极值。说不准。2可导函数求极值(或最值)的步骤： 求出导数f(x) 求出f(x)=0的驻点和不可导点。(如果是求最值还要求定义域端点) 得出点后求极值要判断驻点不可导点两端导数是否异号。异号的话则该点为极值点(求最值还可以不看导数两旁异号，直接带进去求出所有值就比较出最大最小值了)3若在(任意的