微分中值定理课件

1、第五章 微分中值定理及其应用,第一节 微分中值定理 第二节 LHospital法则 第三节 Taylor公式与插值多项式 第四节 函数的Taylor公式及其应用 第五节 应用举例 第六节 方程的近似求解,第一节 微分中值定理,二、罗尔定理,三、拉格朗日中值定理,四、柯西中值定理,五、应用及小结,罗尔,拉格朗日,柯西,一、函数极值与Fermart引理,引子,几何解释,即:如果记C点的横坐标为 ,那么就有,通常称导数等于零的点为函数 的驻点（或称为稳定点，临界点,一、函数极值与Fermart引理,例如,二、Rolle（罗尔）定理(定理5.1.2,证,注意（1）：罗尔定理的条件是充分的，并且任缺一，

2、则不能保证结论成立,注意（2）：罗尔定理的条件是非必要的，缺条件时，甚至三条都不满足时, 结论也可能成立。请自己举例,例,证,由介值定理,即为方程的小于1的一个正实根,矛盾,返回,三、拉格朗日(Lagrange)中值定理,拉格朗日中值定理(定理5.1.3,分析,弦AB方程为,曲线AB方程为,容易看出,证明:作辅助函数,拉格朗日中值公式,拉格朗日中值定理又称有限增量定理,拉格朗日中值公式又称有限增量公式,微分中值定理,注意:拉氏公式“精确”表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,四、小结,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、

3、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系,注意定理成立的条件,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤,思考题,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可,思考题解答,不满足在闭区间上连续的条件,且,不满足在开区间内可微的条件,以上两个都可说明问题,返回,拉格朗日Lagrange, Joseph Louis（1736-1813,法国数学家、力学家及天文学家。拉格朗日于1736年1月25日在意大利西北部的都灵出生。少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分之短文，因而对分析学产生兴趣。他亦常与欧拉有书信往来，于探讨数学难题等周问题之过程中，当时只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法， 奠定变分

4、法之理论基础。后入都灵大学。1755年，19岁的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创立都灵科学协会之工作，并于协会出版的科技会刊上发表大量有关变分法、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些着作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家,到了1764年，他凭万有引力解释月球天平动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题木星的四个卫星的运动问题 而再度获奖。同年，德国普鲁士王腓特烈邀请他到柏林科学院工作时说：欧洲最大的王之宫廷内应有欧洲最大的数学家，于是他应邀到柏林科学院工作

5、，并在那里居住达20年。其间他写了继牛顿后又一重要经典力学著作分析力学1788。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力 学体系建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称：力学已成分析的一个分支,1786年普鲁士王腓特烈逝世后，他应法王路易十六之邀，于1787年定居巴黎。其间出任法国米制委 员会主任，并先后于巴黎高等师范学院及巴黎综合工科学校任数学教授。最后于1813年4月10日在当 地逝世。拉格朗日不但于方程论方面贡献重大，且还推动了代数学之发展。他在生前提交给柏林科学院的两 篇著名论文：关于解数值方程1767及关于方程的代数解法的研究1771中，考察了二、三及四次方程的一种普遍性解法，即把

6、方程化作低一次之方程辅助方程或预解式以求解。但这并不适用于五次方程。在他有关方程求解条件的研究中早已蕴含了群论思想的萌芽，这使他成为伽罗瓦建立群论之先导,返回,柯西 Augustin Louis Cauchy(1789-1857,法国数学家。（1789、8、211857、5、23）他出身于高级官员家庭，从小受过良好的教育。1816年取得教授职位，同年，被任命为法国科学院院士。此外，他还占有巴黎大学理学院和法兰西学院的教授席位。 1830年，波旁王朝被推翻，柯西拒绝宣誓效忠新的国王，因此失去所有的职位。后被前国王召到布拉格，协助宫廷教育，1838年回到巴黎，继任巴黎综合工科学校教授，并恢复了在科

7、学院的活动。1848年任巴黎大学教授。 柯西主要的贡献在微积分、复变函数和微分方程三个领域,返回,罗尔 Rolle, Michel(1652-1791,罗尔在微积分初创阶段作出了贡献。1690年他在任意次方程的一个解法一文中，给出了著名的罗尔定理（但没有证明），这个定理在微积分理论中占有重要的地位。他还提出了寻求代数方程实根上界的法则，但是这个法则却被称为马克劳林法则。此外，他对笛卡儿的分析与莱布尼兹的无穷小研究进行了评论。尽管他的批评不见得有理有据，但却促使莱布尼兹对分析的理论基础的关注。另外罗尔对含有两个变量的不定方程的整数解问题，也进行了研究,返回,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第

8、二节 LHospital法则,微分中值定理,函数的性态,导数的性态,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,或 型,本节研究,洛必达法则,洛必达 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解,原式,思考: 如何求,n 为正整数) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解,原式,例4. 求,解: (1) n 为正整数的情形,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,2) n 不为正整数的情形,从而,由(1,用夹逼准则,存在正整数 k

9、, 使当 x 1 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,例4,说明,1) 例3 , 例4 表明,时,后者比前者趋于,更快,例如,而,用洛必达法则,2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 若,例如,极限不存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、其他未定式,解决方法,通分,取倒数,取对数,例5. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 原式,例6. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,取对数,例7. 求,解,利用 例5,例5 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,取对数,例8.

10、求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求,分析: 为用洛必达法则 , 必须改求,法1 用洛必达法则,但对本题用此法计算很繁,法2,原式,例3 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,洛必达法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设,是未定式极限 , 如果,不存在 , 是否,的极限也不存在 ,举例说明,极限,说明 目录 上页 下页 返回 结束,原式,分析,分析,3,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,4. 求,解: 令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达(1661 1704,法国数学家,他著有无穷小分析,1696,并在该书中提出了求未定式极,

11、限的方法,后人将其命名为“ 洛必达法,的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降,线 ” 问题,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆,锥曲线的书,则,他在15岁时就解决了帕斯卡提出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求下列极限,解,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,则,原式,解,用洛必达法则,继续用洛必达法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,原式,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5应用举例,三、函数作图,一、函数的极值及其求法,回顾,在其中当,时,1,则称 为 的极大点,称

12、 为函数的极大值,2,则称 为 的极小点,称 为函数的极小值,极大点与极小点统称为极值点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 5.5.1 (极值判定定理,且在空心邻域,内有导数,自证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,点击图中任意处动画播放暂停,1）极值第一判别法,例1. 求函数,的极值,解,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点,其极大值为,是极小点,其极小值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2）极值第二判别法,二阶导数 , 且,则 在点 取极大值,则 在点 取极小值,证: (1,存在,由第一判别法知,2) 类似可证,机动 目录 上页 下页

13、返回 结束,例2. 求函数,的极值,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值,又,故需用第一判别法判别,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3 .判别法的推广,则,数 , 且,1) 当 为偶数时,是极小点,是极大点,2) 当 为奇数时,为极值点 , 且,不是极值点,当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证,利用 在 点的泰勒公式,可得,例如 , 例2中,极值的判别法( 定理1 定理3 ) 都是充分的,说明,当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在,例如,为极大值,但不满足定理1,定理3 的条件,机

14、动 目录 上页 下页 返回 结束,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到,求函数最值的方法,1) 求 在 内的极值可疑点,2) 最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值,小,对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点,小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此也可通过,例3. 求函数,说明,求

15、最点.(good,与,最值点相同,由于,令,自己练习,在闭区间,上的最大值和最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设,则在点 a 处(,的导数存在,取得极大值,取得极小值,的导数不存在,B,提示: 利用极限的保号性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,A) 不可导,B) 可导, 且,C) 取得极大值,D) 取得极小值,D,提示: 利用极限的保号性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 设,是方程,的一个解,若,且,A) 取得极大值,B) 取得极小值,C) 在某邻域内单调增加,D) 在某邻域内单调减少,提示,A,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试问,为何

16、值时,还是极小,解,由题意应有,又,取得极大值为,备用题 1,求出该极值,并指出它是极大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,k 为某一常数,例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货,D 点应如何选取,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点,故 AD =15 km 时运费最省,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问,Km,公路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,清楚(视角 最大) ,观察者的眼睛1.8 m,例5. 一张 1.4

17、m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于,解: 设观察者与墙的距离为 x m,则,令,得驻点,根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚,问观察者在距墙多远处看图才最,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、函数作图,步骤,1. 确定函数,的定义域,期性,2. 求,并求出,及,3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点,4. 求渐近线,5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形,为 0 和不存在,的点,并考察其对称性及周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 描绘,的图形,解: 1) 定义域为,无对称性及周期性,2,3,拐点,4

18、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 描绘方程,的图形,解: 1,定义域为,2) 求关键点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 判别曲线形态,极大,极小,4) 求渐近线,为铅直渐近线,无定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又因,即,5) 求特殊点,为斜渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6）绘图,极大,极小,斜渐近线,铅直渐近线,特殊点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 描绘函数,的图形,解: 1) 定义域为,图形对称于 y 轴,2) 求关键点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 判别曲线形态,极大,拐点,极大,拐点,为水平渐近线,5) 作图,4) 求渐近线,机动 目录 上页 下页 返