同济版大一高数第十章第二节二重积分的计算ppt课件

1、1,高等数学,第十五讲,2,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,3,曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,截柱体对应薄片的体积,4,同样, 曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,5,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,6,计算二重积分的步骤,一、 画积分域 D,二、选择积分次序,三、定积分限,四、计算,若D为 X 型区域,若D为Y 型区域,左右夹，从下向上穿,上下夹，从左向右穿,计算二重积分的基本思想,

2、将其化成两次定积分来计算,定内限域中一线穿,定外限域边两线夹（是常数,7,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序,则有,2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,8,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,9,例2. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域,解,10,例3. 计算,解,11,例4. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域,解: 求交点,及直线,则,为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,12,注：本

3、题计算中若先对,后对,积分,由于,的原函数不能用初等函数来表示，则本题,只能采用先对,后对,积分,例5 计算,其中 D 是由直线,所围成,13,例6 计算,其中 D 是由直线,所围成,解：画域,14,例7 计算,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域,先对 x 积分不行,15,交换二次积分的积分次序的步骤,1、根据已给的二次积分的积分限用不等式表示,区域D，并画出D的图形,2、根据D的图形将D用另一种表达式来表示,以确定改变积分次序后的积分限。把所给的二次,积分化成另一种二次积分,16,例8. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成,视为Y型区域 , 则,17,例9 计算,解: 先画D

4、域,由,将D域分为D1和D2,18,例10 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,19,二、利用极坐标计算二重积分,换元积分法是计算定积分的一种常用的方法,在计算重积分中有类似的换元法,一种换元法就是,本节所介绍的,极坐标,将二重积分的,从直角坐标换为,积分变量,20,解：先求曲线的交点,引例：计算,21,极坐标,若将直角坐标系中的原点取为极点,轴的正半轴取为极轴,设直角坐标系中点,的坐标,极坐标系中点,的坐标,称为极坐标的极径,称为极坐标的极角,二重积分中被积函数,把,由极轴出发逆时针方向为正,两

5、坐标系中变量间关系,22,求极坐标下的积分元素,在极坐标系下, 用射线 =常数,则除包含边界点的小区域外,及同心圆 r =常数,的表示方法,小区域的面积由图可知,分划区域D 为,23,极坐标中二重积分化为二次积分的方法类似于直角,则,特别, 对,坐标系中的方法,设,24,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,问 的变化范围是什么,1,2,25,例1：将,化成极坐标下的二次积分,26,例1：将,化成极坐标下的二次积分,27,3,例1：将,化成极坐标下的二次积分,28,4,例1：将,化成极坐标下的二次积分,29,由极坐标计算引例,引例：计算,解：求曲线的交点,30,例2.

6、 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算,31,注,利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程,上非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例2的结果, 得,故式成立,32,例3. 计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解,平面闭区域,33,例4. 计算二重积分,其中D为,解: 利用极坐标,34,解,例5,35,例6：计算,解： 先画D域（分析D域在第一象限,36,例7. 计算二重积分,其中,D为圆域,解: 利用对称性,37,解：积分域是圆域，关于x,y轴 对称,例8,38,其中D 是由曲线,所围成的平面域,例9. 计算,与,解,和被积函数的奇偶性,利用积分区域的对称性,2004 考研,D,39,例10,求由曲面,柱面,以及平面,解：该立体向xoy面作投影，投影区域D,所围的立体的体积,40,例11. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积,解: 设,由对称性可知,41,内容小结,1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形,若积分区域为,则,若积分区域为,则,42,则,极坐标系情形: 若积分区域为,43,2) 计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要