GS6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式_第1页
GS6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式_第2页
GS6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式_第3页
GS6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式_第4页
GS6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式_第5页
已阅读5页，还剩13页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式,一、二元函数的微分中值定理,二、二元函数的泰勒公式,二元函数的泰勒公式,拉格朗日余项,匹亚诺余项,问题的提出,一元函数的泰勒公式,能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多 元函数，并能具体地估算出误差的大小,问题,一、 二元函数的微分中值定理,定理1 (二元函数的拉格朗日中值公式,或写成,记 则上式又可写成为,证 考虑点,由定理假定可知,在区域d内可微，记,由连锁法则,则,由一元函数的拉格朗日中值定理，有（0,1)，使得,即,证毕,推论,证 在区域d内任意取定一点p0,对 d内任意点p,若连线p0 p0 p都在d内，则 由拉格朗日中值定理，有,p0

2、,p1,p2,pn,p,0,于是,于是，由上面的讨论，我们有,由于p为d内任意点,命题证毕,记号,二、 二元函数的泰勒公式,一般地, 在一点 的 阶微分 为,定理2,其中,拉格朗日余项,称为 f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式,证,则,利用多元复合函数求导法则可得,令,证明的思路是归结到一元函数的泰勒展开式,一般地,由,的麦克劳林公式,再将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.证毕,其中,则,定理2在多元函数的计算上有重要价值.其中拉格朗日余项,可用偏导数来估计,令,所以,我们得到二元函数的带皮亚诺型余项的泰勒公式,由高阶微分的定义,不难看出,其系数为 f 在点(x0, y0)的偏导数,这个多项式称为泰勒多项式,例1 求函数 在点(1,1) 的二阶泰勒多项式,及带匹亚诺余项的泰勒公式,解 先求各阶导数,因此,若令,也即,例2. 求函数,解,的三阶泰,勒公式,因此,其中,多元函数的泰勒多项式的唯一性定理,因此,求一个函数的泰勒展开式,可以用其它途径,而不一定非,计算各阶导数,例3 在点(0,0)的邻域内,将函数 按匹亚诺,余项的泰勒公式展开至二次项,解 由常用的一元函数的泰勒

人人文库> 全部分类> 生活休闲 > 科普知识

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论