《双曲线的简单几何性质》学案(人教A版选修21

1、2.3.2双曲线的简单几何性质【学习目标】1. 通过方程，研究曲线的性质 理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；2掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题;3掌握双曲线的渐近线的求法【导入新课】 复习导入1复习椭圆的几何性质，重点复习它的范围、对称性、离心率、和有关量，类比得到双曲 线的有关性质;2. 双曲线的标准方程及其推导过程 新授课阶段范围：由双曲线的标准方程得,2yb2双曲线的简单几何性质2x210,进一步得：x a，或x a .这a说明双曲线在不等式所表示的区域;对称性：由以x代x，以y代y和 x代x，且以 y代y这三个方面来研究双2曲线的

2、标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以为对称轴，为对称中心;顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点,由于双曲线的对称轴有实虚之分,焦点所在的对称轴叫做，焦点不在的对称轴叫做;渐近线：直线叫做双曲线2 x2 a2y21的渐近线;b离心率:双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率（1).例1双曲线方程为22y1，则它的右焦点坐标为（）B.C.迁,02D. . 3,0【解析】【答案】例2求与双曲线2x161共渐近线，且经过A 2., 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解：【点评】这个要进行分类讨论， 但只有一种情形有解，事实上

3、，可直接设所求的双曲线的方2 2程为- y m m R,m 0 .1692 2例3已知双曲线C ：务 与 1 （a 0, b 0）， B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正 a buuu uuuLULT半轴上，且满足|0A、|0B|、丨0F|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线I，垂足为P .（1）求证：PA OP PA FP ；（2） 若I与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围 解:课堂小结 1双曲线的几何性质的灵活运用；2双曲线的渐近线的求法及其运用.作业见同步练习部分拓展提升2 y21 双曲线x1的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角是

4、（）3A. 600 E. 900 c. 1200 d. 15002 22.如果一y1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距C的取值范围是（）|k| 21 kA . (1, + s) B . (0, 2)C. (2,+ s) D. (1 , 2)3. 已知对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线为x 2y=0，则该双曲线的离心率为（）A . y 或 5 B .弓或 3 C. -2 或 y D . 4 或 5 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）3 + 15+ 1A.2B.,3C.二 D. 已知双曲线x2才=1的左顶点为A1,右

5、焦点为F2, P为双曲线右支上一点，则 PA1 PF2的最小值为（）81A . 2B.晶C. 1D . 0 & 双曲线x| 9 = 1上到定点（5,0）的距离是9的点的个数是（）A . 0B . 2C. 3D. 4 双曲线2x2 3y2= 1的渐近线方程是 4.过点（一乙一6 2 ）与（2,7， 3）的双曲线标准方程为2x5.已知F1, F2是双曲线pa22 1 （a 0,b 0）的左、右两个焦点，点P在双曲线右支上，bO为坐标原点，若 P0F2是面积为1的正三角形，贝U b的值是.10. 在平面直角坐标系中，双曲线 r的中心在原点，它的一个焦点坐标为 (5,0), ei= (2,1)、e2=

6、 (2, 1)分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线r上的点P,若OP = aei+ be2(a、b R),贝U a、b满足的一个等式是 .411. 双曲线的渐近线为y= x，则双曲线的离心率为 .12. 点M(x, y)到定点F(5,0)距离和它到定直线I: x =半的距离的比是夕，53(1)求点M的轨迹方程；设(1)中所求方程为 C,在C上求点P,使|OP|= ,34(0为坐标系原点).13.已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点 F( 2,0).(1)求双曲线方程;设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线I与y轴交于点M，若 |MQ|= 2|QF|,求直线l的方程.参考答案新授课阶段

7、双曲线的简单几何性质bcx a，或x a x轴和y轴，原点实轴，虚轴； y x e aa例1【解析】双曲线的a2 1,b2 Yc2 3,c 6，所以右焦点为(兰,0).2 2 2 2【答案】C2 2解：根据双曲线-y1的渐近线方程为y1692 2 焦点在x轴上时，设所求的双曲线为丄 厶 1 ,16k2 9k2 A 2込，3点在双曲线上， k2-，无解;4 焦点在y轴上时，设所求的双曲线为k214，225yx亠亠1,离心率e94342 2x y16k2 9k21 , A 2,3, 3点在双曲线上,因此，所求双曲线的标准方程为【点评】这个要进行分类讨论,但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双

8、曲线的方2 2程为-y mm R, m 0 169a例 3 解：(1)法一.l：y (x c),b(x c),2.ba ab解得 P( ,). bc cx,aPA = (0,辿)cuuu2 zaab、uuub2abOP(),FP(J/ JccccumuuuZ 2a buuuurnZ 2a b|OA |,|OB I，OF成等比数列,PA OP 厂，PA FP 2 ccurn uuu uur urnPA OP PA FP.法二：同上得2 a p(ab)ccPAx轴.uUD uuuuuuuuuuuuuuurPA OPPAFPPAOF 0.uuu uuu uuu uuu PA OP PA FP.a2b

9、2,b2x2即(b2Q xiX24a (xb4a、22)xba4c(Va2b2.b42e4oa2 2 cx b22；2以、- a b )2 a4ba4即卩 b2a2,c2 ;2.即 e 2.4 2a c 2 2(a2b2)0,b0,y a(x c), b2 2 2b x a拓展提升i. c【解析】求出倾斜角的正切值2.A【解析】解不等式组.3.A【解析】由a,b之间的关系转化成a,c之间的关系.4.5.2 2x y2575.2【解析】数形结合.1【解析】待定系数法X26. D【解析】设双曲线的方程为-2ayi= 1,设F(c,0), B(0, b)，直线FB的斜率为b，与bc其垂直的渐近线的斜

10、率为b，所以有一-=-1,即卩b2=ac,所以c2-a2=ac,两边同时除以aaca2可得e2- e- 1 = 0，解得 e= 节2 7. A解析由已知可得 Ai(- 1,0), F2(2,0)，设点P的坐标为(x, y),则PAi PF2= (- 1 - x, -y) (2- x,- y)= x2- x- 2 + y2,因为 x2-号=1(x 1)，所以 PAi PF2= 4x2- x- 5，当 x= 1 时，PAi PF2有最小值2.故选A.& C解析(5,0)是双曲线的右焦点，它到双曲线左顶点的距离为9,所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，所以共有3个这

11、样的点9. y =36x解析双曲线2x2-3y2=1的渐近线方程为px土.3y=0,即y=fx.3 3210. 4ab= 1解析易知双曲线 r的方程为 x-y2= 1,设 P(X0, y0),又 ei = (2,1), e2= (2,-1),由 OP= aei + be2,得(xo, yo)= a(2, 1) + b(2, - 1),即(xo, yo) = (2a+ 2b, a b),二 xo= 2a + 2b, yo= a b,代入X y2= 1整理得4ab= 1.11.5或5解析当焦点在y轴上时，b= 3，即9a2 = 16b2 = 16(c2 a2)，解得e=彳；当焦点在xb 45轴上时

12、，一，即卩 16a2 = 9b2 = 9(c2 a2),解得 e=.a 3312.解答(1)|MF|= . x 52+ y2,9点M到直线l的距离d= x 9 ,5x 去分母，得M的轨迹方程.去分母，得 3 x 5 2 + y2= |5x 9|, 平方整理得9 = 1,即为点M的设点P坐标为P(x, y),由 |OP|= ,34得 x2 + y2= 34,解方程组9 16x2+ y2= 34,y= 4y= 4y= 4y= 4,点 P 为(3 2, 4)或(3.2, 4)或(3.2, 4)或(3 2, 4).x2 y2c13. 解：(1)由题意可设所求的双曲线方程为器=1(a0, b0)，则有e=：= 2, c= 2,所以a= 1，则b=,3，所以所求的双曲线方程为x2 = 1 .3因为直线I与y轴相交于M且过焦点F( 2,0),所以I的斜率一定存在，设为k,则I: y= k(x+ 2),令 x = 0, 得 M(0,2k),因为|MQ|= 2|QF|且M、Q、F共线于I,所以 MQ = 2QF 或MQ = 2QF.-.42当 MQ = 2QF