16-4-2圆与圆的位置关系(2).题库教师版

1、圆与圆的位置关系（2）目M归 中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求圆与圆的位 w 方.置.丿 系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题例题精讲一、圆与圆位置关系的性质【例1】 如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心.EC为半径的半圆与以 A为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则 sinNEAB的值为.E【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】2星【题型】填空R2+(Rr $ =(R+r 2, R=4r , / sinEAB=35【关键词】2009年，崇左【解析】根据两圆外切结合勾股定理方程思想,【答案】35【例2】 如图，ABC是正三角形,的外接圆直径是点C在矩形

2、ABDE的边DE 上, ABC的内切圆半径是1 则矩形ABDE【考点】圆与圆位置关系的性质 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2008，青少年数学国际城市邀请赛个人赛【解析】略【答案】设点O为 ABC内切圆的圆心，P为边AB与内切圆的切点.联结OB、OP .则OB=2 , BP ：3 ,AB =2 . 3 .从而，PC =3.因为四边形ABDE是矩形，CP_AB，所以，AE=3 .根据勾股定理得BE2 二 EA2 AB2 =322 3 彳=21 .因此，较大圆的直径是 .21.【例3】=7 , CD _ AB , CD 交半4如图，已知半圆 O的直径为AB，半径长为 空，点D在AB上，OD4

3、圆O于D .那么与半圆相切，且与 BC , CD相切的OO的半径长为【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】3星【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】3星【题型】填空【关键词】略【解析】设OO与AB切于E，连接OE，过O作OO半径OG ,则G为OO , OO的切点，257设 OO半径为 x，则 OOx , OE=x, OE x .44在 Rt . QOE 中，OE2 OE2 =OO2 ,即（x 7）2 - x2 =（25 -x）2，解得 x =2（负值已舍）.44 OO半径为2【答案】2【例4】如图，PQ =3，以PQ为直径的圆与一个以 5为半径的圆相切于点B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于

4、点Q .则AB=_P，正方形ABCD的顶点【题型】填空【关键词】2007年，芜湖【解析】过P作两圆的直径，则两圆直径应在同一条直线上，设直线 PQ交AB于M，贝U PM _AB ,设 BM =x，贝U BC = AB =2x ,/ OQ =5 _3 =2 , OM =2x _2 .在 Rt COBM 中，2 2 2 2 2 2OM BM =OB，即（2x _2） x =5 ,解得 x =3 , - AB =2x = 6 .【答案】6【例5】B在大圆上，小圆在正方形的外部且与 CD切于Q ,若 的值.【考点【难度圆与圆位置关系的性质4星解答【题型【关键词第12届，美国数学邀请赛【解析设O为大圆圆

5、心，贝U P、Q、O共线，设过P、Q、O的直线交 AB于R , AB =x , 那么，RO 二RQ -OQ =x-10 ,【答案】【例6ADCB变式1Q O R CD和小圆切于Q，这表明AR=x , ARO=90 ,2=202，解得：x =8-. 304 ,由勾股定理，有（x-10）2 （仝）22/ x 0 , x =8 ,304 , m n =8 304 =312312已知多边形ABDEC是由边长为 点，求该圆半径的长.2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成,一圆过A、D、E三AA如图，PQ =10 ,以PQ为直径的圆与一个以 20为半径的圆相切于点 P ,正方形ABCD的顶点A、 AJ

6、m,其中，【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】4星【题型】解答【关键词】2007年，芜湖【解析】方法一.如图1,将正方形BDEC上的等边 ABC向下平移得等边.：ODE，其底边与DE重合. A、B、C的对应点是O、D、E . OD =AB , OE 二 AC , AO =BD .等边ABC和正方形BDEC的边长都是2, AB =BD =AC =2 . OD =OA =OE =2 . A、D、E三点不在同一直线上， A、D、E三点确定一圆，TO到A、D、E三点的距离相等，二。点为圆心，OA为半径.该圆的半径长为2.方法二.如图2,作AF _ BC，垂足为F，并延长交DE于H点./ . ABC为等

7、边三角形， AF垂直平分BC ,四边形BDEC为正方形， AH垂直平分正方形的边 DE .又DE是圆的弦， AH必过圆心，记圆心为 O点，并设OO的半径为r .在 Rt . ABF 中， t . BAF =30 , AF 二 AB cos30= 23 = 3 .2 OH =AF FH OA =身32 r .在 RtQDH 中， OH2 DH2=OD2. (2 -r)2 1r2 .解得 r =2 .该圆的半径长为2 .【答案】2【例7】 如图，P为半圆弧上任意一点，圆O Q、O O2都与 ABP的一边和半圆相切的最大圆，OO3是ABP的内切圆，其中OO1、OO2、OO3和半圆的半径分别A、r2、

8、R ,r2 ,r2 1 ,则B为D【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】5星【题型】填空【关键词】学而思杯，初三试题【解析】提示：用两次勾股定理.【答案】4【例8】 在直线的同侧画三个圆：切于直线的一圆半径为4，另两圆相等，且各切于直线及其它两圆，则两等圆的半径为 【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】3星【题型】填空 【关键词】【解析】分别连接三个圆的半径及三条过切点的半径，可得到一个矩形内包含一个等腰三角形和两个直角2 2梯形，设两等圆半径为 r，则可得(r +4) =r2 +(r 4)，化简得r216r =0，解得r =16 【答案】16【例9】如图，已知圆心为A、B、C的三个圆彼此相切，且

9、均与直线 I相切.若O A、O B、O C的半径分别为a、b c 0 ：c : a : b，则a、b c 一定满足的关系式为(.b = a c111c a bA . 2b =a cC. 1 =丄 1 cabB.D.I【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】【题型】选择【关键词】2009年，浙江余姚【解析】略 【答案】D【例10】设OO1和OO2是同一平面上两个相切的半径为1的圆，在这个平面上同时与 OO1和OO2相切的半径为3的圆的个数是.【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】与两圆均外切的有 2个；与两圆均内切的有 2个；与一个圆内切，与另一个圆外切的有2个，共6

10、个.【答案】6【例11】某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为 5cm的钢球，测得上面一个钢球顶部高DC=16cm (钢管的轴截面如图所示)，则钢管的内直径 AD的长为cm .C【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】3星【题型】填空【关键词】2009年，重庆【解析】略【答案】18【例12】如图，矩形内放置8个半径为1的圆，其中相邻两个圆都相切，并且左上角和右下角的两个圆和 矩形的一边相切，则该矩形的面积为 .【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】矩形的宽为 23，长为9，则面积为18 9 3 .【答案】18 9.3【例13】小

11、强师傅要在长为25cm，宽为18cm的薄铁板上裁出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆.他先画出草图(如图)，但他在求小圆半径时遇到了困难，请你帮助小强师傅计算出这两个小圆的半径.【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】连结 001、OO2、002，则 OO1O2是等腰三角形作 OA O1O2于A，贝U O1A =。2人，可知大圆半径为9cm .设小圆的半径为 xcm，在RU OAO1中，可得(9 - x)2 =(9 -x)2 * (25 -9 -x)2，解得为=4 , x64，而x64 9，不合题意舍去，故小圆半径为4 .【答案】4Ci、C2、C3的直径，圆C4内切

12、于半圆Ci【例14】如图，PQ、POi、OiQ分别是以 6 O2、O3为圆心的半圆 及外切于半圆C2、C3 .若PQ=24，求圆C4的面积.【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】连结O1O3、O3O4，设004的半径为r , PQ =24 , QP =12, QO3 =6 ,O1O4 =12 -r, O3O4 =6 r ,根据圆的对称性， O1O4 _ PQ , (12r $ +62=(6 + r 丫，解得 r =4 ,2 SQO4= =16n【答案】16二【例15】如图，大圆OO的直径AB =acm ,分别以OA、OB为直径作OO1和O。2 ,并在OO与

13、OO1和O。2的空隙间作两个等圆 OO3和OO4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O4O2O3的面积为2cm3O。2。1。4B【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】易得OO3的半径r =a ,6a2 O3O4 = a x 2 a63S-1O4O2O3OO221a21 2*-a :a2236O3O4【答案】-a26【例16】把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于O。1O 21 A O 3【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】4星【题型】填空【关键词】【解析】能盖

14、住这三个圆的最小圆形纸片的圆心0必在对称轴OlA上，且与这三个已知圆内切,设这个圆形纸片的半径为 r，则OA=J(8+5$52=12，2 2 2在 Rt . OO2A 中，r -5512 8 -r ，解得r二40 .3【答案】403【例17】已知A为O0上一点，B为O A与0A的交点，O A与OO的半径分别为r、R，且r : R .= 2Rr ;C作O A的切线与O 0(1) 如图1,过点B作O A的切线与O0交于M、N两点.求证： AM AN(2) 如图2，若O A与O0的交点为E、F , C是EBF上任意一点，过点 交于P、Q两点，试问AP AQ =2Rr是否成立？并证明你的结论.【考点】

15、【难度】【题型】图2切线的性质及判定，圆与圆位置关系的性质4星解答【关键词】2009年，天津【解析】略 【答案】(1)在图1中，延长AO交O O于D，连结DM ,则 AD =2R,/ MN 是 O A 的切线， OA _ MN , AM =AN , /AMD =90 , AM 2 =AB AD , AM AN =2Rr .(2)在图2中，延长 AO交OO于D，连结DQ、AC ,贝U AD =2R ,/ PQ 是 O A 的切线， AC_PQ，即.ACP =90 ,/ AD 是直径， . AQD =90 , . APC =. ADQ , . ACP s ：AQD ,AC AP, AP AQ =A

16、C AD 二r 2R=2Rr . AQ AD 【例18】如图，.CAB =. ABD =90 , AB =AC BD , AD交BC于P，作O P使其与 AB相切.试判断以AB为直径的OO与O P的位置关系，并加以证明.【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】【题型】解答【关键词】【解析】略 【答案】连结 OP，设O P与AB相切于E，连结PE ,贝U PE _ AB . AC / PE / BD令 AC =a , BD =b a _b，贝U AB =a b .设OO的半径为R , OP的半径为r ,1二 AC BD 得，a b2V f/ PE / BD 可得 1 =1 1，贝y r = r a

17、b ABABa b,AEPEr =BDBDb1 .1 .= OA-AEa b Aab-a ,22ABACAEPEaba ba bbaba b ，在 Rt OPE 中，乙OEP =90 ,2221 *2OP =OE+PEr(b-a) _ab_ “a b2 2+ b2)2a2 b2a b -2ab 1.OPa b2(a+b)2(a+b)27由此可以判断OO与O P相切.业=R-r .a b【例19】如图，已知OO1和OO2外切于点O ,以直线。1。2为x轴，点O为坐标原点建立直角坐标系，直 线AB切OO1于点B，切OO2于点A ,交y轴于点C ( 0,2 )，交x轴于M , BO的延长线交OO?于

18、 点 D，且 OB： OD =1： 3 .(1 )求002的半径长；(2)求直线AB的解析式;【考点】圆与圆位置关系的确定，相似三角形的性质及判定【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】(1)连结BOi、DO2，则ZD ZOiBD . B01 / D02, OQQO =BO：OD =1：3 CB =CO =CA，.:ABO 为直角三角形，C(0,2), AB =4 作 QN _AO2于点 N，设 BOi =r ,则 AO2 =3r，对.O1NO2 有 16r2 =4r2 16 , /. 12r2 =16 , r 二2、3，则 3r =2 3 , /. OO2 的3半径为2 3 .(2)在 R

19、t . ：O1NO2 中，2NO2 =O1O2 , LNO1O2 =30 .T O1N / AB , . CMO =30 .在 RtiCOM 中，tan30J, OM =2反,点 M 坐标为(一2朽,0 )OMtan30 3设直线AB的解析式为，b_2ik 叨3y =kx +b，则-解得彳30 = -2j3k+bb=2直线AB的解析式为73 yx 2 .3(3)T . BO1M =60 , O1B=OQ，/BOM =30 . MOB是等腰三角形，且顶角 MBO =120，若存在满足条件的点 P，则.MO2P=30或 MO2P =120 .当.MO2P =30 , O2C是.AO2O的平分线，点

20、P与点C重合，点P的坐标为(0,2).当.MO2P =120，作PH垂直x轴于点H，则.PO?H =60 , .点P在直f a+2 , O2H =a2启，在33线y = 3 x 2上，设点P坐标为(a, 3 a 2)，贝U PH二33【答案】a 2_3= 3 解得a =4.3，点P的坐标为(4.3,6 ).a -2、3Rt PO2H 中,tan PO2HPHO2H(1) 2 3 ; (2) y2 ；( 3) 点P的坐标为(4 3 , 6 )【例20】如图(1),两半径为r的等圆OO1和OO2相交于M , N两点，且OO?过点。1 .过M点作直线AB 垂直于MN，分别交 OO1和OO2于A ,

21、B两点，连结 NA , NB .(1) 猜想点。2与L Oi有什么位置关系，并给出证明；(2) 猜想 NAB的形状，并给出证明；MN，且点A , B在点M的两侧，那么(3) 如图(2),若过M的点所在的直线 AB不垂直于 中的结论是否成立，若成立请给出证明.【考点】【难度】等边三角形的性质及判定圆与圆位置关系的性质,4星解答【题型】【关键词】2008年，内蒙赤峰【解析】略【答案】(1) 02在LI Oi上证明： L 02 过点 Oi , O1O2 =r 又LI Oi的半径也是r ,.点。2 在 LI Oi 上.(2 )：NAB是等边三角形证明：/ MN _ AB ,. NMB =/NMA =9

22、0 . BN是L O2的直径，AN是LI Oi的直径，即 BN =AN =2r , O2 在 BN 上，Oi 在 AN 上. 连结OiO2，则OiO2是 NAB的中位线. AB =2OiO2 =2r . AB二BN =AN U NNAB是等边三角形.(3)仍然成立.证明：由得在LIOi中MN所对的圆周角为 60 在L 02中MN所对的圆周角为60 当点A , B在点M的两侧时，在LI 0i中MN所对的圆周角 ZMAN =60 ,在L 02中MN所对的圆周角 MBN =60 ,/. NAB是等边三角形.，是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分.【例2U如图i , OOi和OO2都是半径为4的等

23、圆，OQ2=i4 , A , B为OQ上两点，且 AOiB=90 , 过。2分别作平行于OiA , OiB的半径O2D , O2C，连接AD , BC ,当A , B在OOi上运动时，C , D 也随之运动，问：四边形 ABCD的周长是否是定值，如果是定值，请求出这个定值，如果不是定 值则是否存在最大值或最小值，如果有求出这个最值.【考点】【难度】图2圆与圆位置关系的性质5星解答【题型】【关键词】【解析】四边形 ABCD的周长不是定值，存在最大值和最小值.又题意易证得四边形 ABCD为平行四边形，连接 BD交0Q2于0,由.OiBO 也.O2DO 得 0Q =020 , DO 二 BO ,1取

24、AB中点M，连接0M , OiM，则OM AD ,2四边形ABCD四边中，AB =CD =：4、2 ,当四边形ABCD周长取最值时，只需 AD或BC取最值即可.即当 0M取最值即可.在OOi中，AB=4、.2 , 0M为弦AB的弦心距，由勾股定理或三角形函数可求得OiM =2.2 , M点到Oi的距离为定值2 2 , M点在以Oi为圆心，2 2为半径的圆上. 0为此圆外一点.连接OiO交小圆于Mi（如图3）, 0M最短为OMi ,即当AB中点与M与Mi重合时，四边形ABCD周长最小.此时易求得 OMi =0i0 -OiM =i4 -2 2此时周长最短为： 2AB，4OMi=8.2 *4 7-2

25、.2 =28连接OiO交小圆于M2（如图4）, 0M最长为OM?，即当AB中点与M与Mi重合时，四边形ABCD周长最小.此时周长为：2AB 4OM2 =8 2 4 72 2 =i6 228四边形 ABCD的周长不是定值，存在最大值和最小值.最小值为28,最大值为i6.2 28 .【例22】两个圆相交于点 A和B，由点A作两个圆的切线，分别与两个圆相交于点M和N .直线BM和BN分别与两个圆交于另外两点P和Q （ P在BM上，Q在BN 上）.求证：MP = NQ .ABQ【考点】圆周角定理，弦切角定理，全等三角形的性质及判定【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】连结 AP和AQ，为

26、证MP =NQ，只要证, ：APM ：ANQ .v/APB /ANB， /AQB AMB：APM s . ：ANQ ,且PM与NQ为对应边.连结PN ,并设A、P、N所在圆的圆心为 O ,可证直线AO垂直平分PN ,这表明AP二AN 综上可知，.：APM也.ANQ .于是有PM =NQ 【例23】如图，LI Oi, L O2交于A, B两点，直线MN垂直于AB于点A,分别与L Oi，口 O2交于点N , M , P为MN中点，【考点】【难度】【题型】【关键词】解答圆与圆位置关系的性质，圆内接四边形，等腰三角形的性质及判定4星【解析】略【答案】连接 QiB , BQ2, Q2M , NQi .1

27、1 1 1 ./ABQiAQ1AO1Q1AO2Q2AQ22 2 2 21 -ZABQ2AMQ2 ,2 . ABQ1 ABQ2 =180，即 Q1 , B , Q2三点共线./ AB _ MN , ZMQ2B =180 MMAB =90，乙NQ1B =180 MNAB =90 ,直角梯形NQtQ2M 过P作PC _QQ2于C , P为MN中点，- C为Q1Q2的中点，- PQt = PQ2 .1【例24】如图， ABC的三边满足关系 BC =丄（AB AC） , O、I分别为 ABC的外心、内心， BAC的 2外角平分线交O O于E , AI的延长线交O O于D , DE交BC于H ；求证：（1

28、） ED是。O的直EAEAFIOIOCHCBHBDD圆与圆位置关系的性质【难度】解答【题型】ACBC分别切两圆于BBBCCOQOASSMBQNRNRNRNR5星【解析】略DE为。O的直径.BID - . BAD . ABI - . CBD . CBI - . DBI【关键词】学而思杯初三试题M SQ，过Q引. CBD 二/CAD 二/BAD，又ABI 二/CBIDI 二DB =AI，又/ DO 二E0A PC , BC与OP的交点为1过 I 作 IF _AB 交 AB 于 F，由 BC 二(AB AC) , AB 201AE21BC外切O I ,.AF BC，而ED垂直平分BC ,.AF二BH

29、 2又TBD =DC，上CBD ZCAD ZBAD，又t/BHD ZAFI =90 ，.AI 二 BDP Q1【答案】.BAE . BAD 180 =902【例25】设圆O、圆P外切于A，外公切线MN _BC 交 BA、AC 于 S、R， 求证：QS =QR .径；（2）ABD ；（ 3）OAE .)APCAOah p丿7qJS【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】证法一：如图，连接 OB、PC，贝U OB _ BC , PC _ BC .又TMN _BC ,OB / PC / MN .于是.APC s . AQR ,：AOB s . AQS ,QR

30、PC 1 QS OB 1QA 二PA ，QA =OA ，.QR =QA =QS .故 QR =QS .证法二：如图，连接 CS、PC .不难证明.BAC =90 .又.CQS =90 , .C、A、S、Q 四点共圆，. CSQ=. CAQ，即.CSR= CAP .CP _ BC , MN _ BC ,CP / MN ,. ESRA ZPCA .又PCA ZCAP ,/CSR ZSRA ZCRS.CQ _ SR .QR = QS .证法三：如图，过 A作内公切线 AE交BC于E ,贝U . RCQ 二/ECA 二/EAC . RCQ ARQ =90 , . RAQ . EAC =90 ,一 AR

31、Q = RAQ .QR =QA .同理 QS 二QA ,.QR 二QA .证法四：如图，连接 BR .BAR =/BQR =90 ,A、B、R、Q四点共圆， RBQ = RAQ .作内公切线 AE交BC于E，显然 QBS =/EAB .又EAB EAC =90 ,RAQEAC =90 . RAQ 二-EAB 二 QBS , /QBS ZRBQ .BQ _RS ,.QR 二QS .除B外的另一个交点,【考点】【难度】圆与圆位置关系的性质3星【题型】【关键词】解答【例26】半径为R的两圆之一过平行四边形 ABCD的顶点A和B，而另一圆过顶点 D和C，点M是两圆求证：MMD的外接圆半径长也为【解析】

32、略【答案】设两圆分别为 u Oi、【考点】【难度】圆与圆位置关系的性质5星【题型】【关键词】解答AE QP z O/厶kAL。2，又设P为BM的中点，K是C关于点P的对称点，显然它在 U Oi上KM =BC =AD ,且 KM / BC / AD ,四边形AKMD为平行四边形, AMD也 MAK , AMD的外接圆半径等于.MAK的外接圆半径，即U Oi的半径R .【例27】如图，已知 ABC的高AD、BE交于H，厶ABC、CABH的外接圆分别为 OO和OO.求证：OO 与OO的半径相等.【解析】略【答案】过 A点分别作OO和OO的直径AP、AQ，连结BP、BQ ,v ZABP WABQ =9

33、0 ,Q、B P三点共线，TAD、BE分别是高， AHE 二 C ,vZC ZAPQ，乙AHE ZAQP ,/APQ ZAQP, AP =AQ ,OO与OO半径相等.【例28】在. ABC中，AB =AC，圆Q与 ABC的外接圆内切于 D，与AB、AC分别相切于P、Q .求 证：PQ的中点O是.ABC的内切圆圆心.【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】证法一：如图，连接 A0!.TAB、AC 切圆 01 ,.AP =AQ .A。!是PQ的中垂线，AOi平分.BAC .同理，AO1垂直平分BC .又圆O内切外接圆于 D，延长AOi则必过D点.连接PD、Q

34、D、BO、BD , 贝ABD =90 .TDP =DQ，二 BPD =. OPD .PD为公共边，又PBD =/POD =90 ,PBD 也 POD ,PB 二 PO , PBO 二 POB .又 PQ / BC ,上OBC ZPOB ZPBO .则BO平分 ABC ,.O是 ABC的内心.证法二：如图，连接AD ,由首证可知 A、O、Oi、D四点共线，AD平分.BAC .过O作OF _ AC ,垂足为F 连接OiQ、DCRt QFA s Rt . QiQA ,.OF _QQ，又设 AD 交 BC 于 E，则 OiQ _ AC , DC _ AC .OA OA又 O1Q =O1DQQ / CD

35、 ,OFOAODOiDOiAQCOi A QA .QC OE QA 一 OA，O是ABC的内心.PQ / BC ,OEOFOE=OF, OA OAOi于B , C为切点求证:【例29】已知圆Oi、O2外切于P，过圆Oi上一点A作圆。2的切线AC ,交圆PA ACPB - BC【考点】圆与圆位置关系的性质CjoO1B DCOiO、一BCOOB D C【难度】【题型】【关键词】解答【解析】略 【答案】证法一：如图，过 P作两圆的公切线 PD，交AC于D，延长AP交圆 DPC = C，乙BPD 乙A 上BPC /A EC 又.CPE = A . C , BPC =/CPE PC是厶ABP的外角平分线

36、，故空=也PB BC证法二：如图，延长 AP到E，使PE = PB，连接CE 由首证可知 BPC =/EPC，又PC公共， BPC 也.：EPC 上BCP ZECP , BC=EC ,即PC是 ACE的内角平分线 PA AC E 一 EC， 证法三：如图， 由首证可知： PA ACPB 一 BC 过 B 作 BE / PC 交 AP 于 E，则 EBP = BPC , ABE = C ,ZBPC 乙A EC ,又.BEP = A ABE = A C BEP = EBP ,PB 二 PE /BE / PC , PA ACPE BC故 PA = AC由首证可知：.BPC =. PAC . C ,证

37、法四：如图，延长 CP交圆O1于E，连接AE .而.APE = PAC . C ,上APE ZBPC .又/CBP ZE , :CBP s . AEP . .BC _ AEPC PA .显然.：CBP s.AC _ AEPC - PB式*式得:PA ACPB延长BC证法五：如图，贝APB ZEPF , Fm!pce , . Cm =PC ,2 一m 1ZCPE CE .2上F 乙A 2/C .又 ZABP ZBPC C ZA 2./C , PA. ABP=/F . ABPs . EFP , AP，于曰 PA于是PA+PE即AE BF BP分别交圆02于E、F，连接.CPE =/A . C，1

38、“2EF，PEPBPFPBPB PF，皿 AE PA故BF PBAC2 =PA AE2 2PA AC2根据切割线定理有：2.PA AE AC 册PB BF BC PB BC=PB BF ,ACPB BC .BC2PABP【例30】两圆交于A , B，过A任作直线PAQ，求证：匚为定值.BQOQBPAOOB【考点】圆与圆位置关系的性质BB【难度】4星【题型】解答 【关键词】【解析】略【答案】如图所示，连接 AB，过A作MN _ AB交两圆于M , N，连接BM , BN . PBQ s MBN ,BP BMBQ =BN又 MN _ AB , . BAM =. BAN =90 , BM , BN分

39、别为两圆直径,BpBQ为定值.【例31】A是L O上一点，L O的半径为R，以A为圆心，r为半径（r ：: R）作圆，设L O的弦PQ与L A切于点M，求证：不论 PQ的位置如何,PA QA为定值.QNOAMBQ【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】探讨：当 Q与B重合时，可知 AP AAN AQ =2Rr .于是可以猜测这个定值为 2Rr .证明：过 A作L O的直径AN，连接NQ , AM .贝AMP ZAQN =90 ,又APM ZANQ , . APM s ANQ , AM _ PAAQ AN，/ AN =2R, AM 二r , PA QA =AM AN =2Rr .【例32】过定圆的圆心O作L A，设L A与L O的一个交点为B，过B作L A的直径BC , BC与L O交于 点D，求证BD BC为定值.O3【考点】圆与圆位置关系的性质【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】设L O半径为R，连接BO并延长交L O于E，连接DE，C