14-3梅涅劳斯定理和塞瓦定理.题库教师版

1、梅涅劳斯定理和塞瓦定理中考要求知识点A要求B要求C要求比例及 定理熟知定理内容掌握平行线分线段成比例定理的内容以及其推论，同时会运 用定理解决问题会运用定理及其推论的内容来解 决相似的问题gum 知识点睛、比例的基本性质a c1）ad二be,这一性质称为比例的基本性质，由它可推出许多比例形式b d2）- =- b =.-（反比定理）;b d a e3)旦=2= -=b(或d仝)(更比定理); b d e d b aaea b4)bdbaea -b5)bdbaea b6)bda be亠d二（合比定理）;de -dd（分比定理）;de亠d=-d （合分比定理）;e -d二 m (b d 梟n =0

2、) u n（等比定理）.二、平行线分线段成比例定理1平行线分线段成比例定理AR如下图，如果li / I2 / I3，贝yDEBCACDFACEFDFAB ACDE DFliI 21 32.平行线分线段成比例定理的推论:如图，在三角形中,如果 DE / BC ,AEDEAB AC BC,反之如果有AD AE DEAB AC BC,那么 DE / BCAEB三、梅涅劳斯定理梅内劳斯(Menelaus，公元98年左右)，是希腊数学家兼天文学家.梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理.梅涅劳斯定理： X、Y、Z分别是 ABC三边所在直线 BC、CA、AB上的点.贝U X、Y、Z共线 的充分必要条件是：

3、BZ AY=1 .XB ZA YC根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X、Y、Z三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或 X、Y、Z三点分别都在三角形三边的延长线上.证明：(1)必要性，即若X、Y、Z三点共线，则空医1 .XB ZA YC设A、B、C到直线XYZ的距离分别为a、b、c 则CXc BZ b, 、AY_ a，三式相乘即得CXBZ AY c b a .1XBb ZA aYCcXBZA YC b a c(2)充分性，即若CXBZAY竺=1，则X、Y、Z三点共线.XBZAYC设直线XZ交AC于Y，由已证必要性得：AY 1XB ZA Y C又因为冬=1，所以

4、XB ZA YCAYYC AYYC因为Y 和 Y或同在AC线段上，或同在 AC边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y和Y比重合为一点，也就是 X、Y、Z三点共线.空、旦乙、空 三个比中，已知其中两个可以求XB ZA YC梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在得第三个二是证明三点共线.四、塞瓦定理连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线塞瓦(G Gevo1647-1734 )是意大利数学家兼水利工程师他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理.塞瓦定理：从 ABC的每个顶点出发作一条塞瓦线AX , BY , CZ .则AX , BY ,C

5、Z共点的充分必要条件是BX CY AZXC YA ZB充分性命题：设 ABC的三条塞瓦线 AX , BY , CZ共点，则必有 胚 CY =1 .XC YA ZB必要性命题：设 ABC中，AX , BY , CZ是三条塞瓦线，如果CY1，则AX , BY ,CZ 三XC YA ZB线共点.我们先证明充分性命题.如图，设AX , BY , CZ相交于P点，过A作BC边的平行线，分别交 BY , CZ的延长线于B , C .由平行截割定理，得BX AB CYXC AC YABCAZZB ACBC上面三式两边分别相乘得:BX CY AZXC YA ZB我们再证明必要性命题.X假设AX与BY这两条塞瓦

6、线相交于 P点，连CP交AB于Z.则CZ 也是一条过P点的 ABC的塞瓦线根据已证充分性命题，可得BX CY AZ =仁由因为BX CY AZ ，进而可得AZ二AZ . 所XC YA Z BXC YA ZBZB ZB以A 巴，因此AZ JAZ 所以Z 与 Z重合，从而CZ 和 CZ重合，于是得出 AX , BY , CZ共点.AB AB塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三线共点问题第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以得出六条线段比例乘积等于1的关系式利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式.例题精讲、梅涅劳

7、斯定理【例1】 已知 ABC中，D是BC的重点，经过 D的直线交 AB与E，交CA的延长线于 F .求证:FA _ EAFC EB .【考点】梅涅劳斯定理【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】直线解 ABC三边于D、E、F三点，应用梅氏定理，由必要性知CD BEDB EAAF竺=1，又因为FCBD =BC，所以BE AFEA FC=1 ,FAEAFC EB【例2】 如图所示， ABC中，/ ABC =90 , AC = BC . AM为BC边上的中线，CD _ AM于D , CD的延长线交AB于E .求旦EBC【考点】梅涅劳斯定理【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由题设，

8、在 Rt AMC中，CD _ AM , AC =2CM ,【例3】ABM和截线EDC，由梅涅劳斯定理，生-BCEB CM在厶ABC的三边 BC、由射影定理竺二DM=1，即笆2EB 1MDDA2AD AM AC2 = 4 .对CMAE所以竺=2 .EBDM AMKi4CA、AB上分别取点 D、E、F使昱CEDCAFFB若BE与CF ,CF与AD , AD与BE的交点分别为A、Bi、CiSa ABC 1求证：Sa ABC【考点】梅涅劳斯定理 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略AFBCDB!=1 ,1 3 即DB =1所以塑3FBCDB,A2 2B,ABQ4因此AB13所以SA AB

9、C3AD7Sa ADC7又因为SaDC/，所以 SA ABCABCSa ADC32_ 62Sa ABCBC3SA ABCSA ADCSA ABC73217【答案】 BC1A 同理 SBCiA =?,SABC7SACA(BSa ABCSa a bc, 进而可得一Sa ABC27A【例4】 如图所示， ABC的三条外角平分线 BE、AD、CF ,与对边所在直线交于 E、D、F三点,求证：D、E、F三点共线.【考点】梅涅劳斯定理 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】【解析】略【答案】由外角平分线性质定理可得:BDBCAB CE BCAC，EA 一 ABAF ACFB - BC.所以BD CE AF

10、 ABBC EA FB - ACBCABACBC由梅涅劳斯定理的逆定理可得E、F三点共线.【例5】如图所示，设D、E分别在 ABC的边AC、AB上，BD 与 CE 交于 F , AE = EB ,ADDCSa ABC =40Saefd .【考点】梅涅劳斯定理【难度】5星 【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】对厶ECA和截线BFD，由梅氏定理得:SabfeBECSA ABC，EFCDABEF32EF1=1,即1，所以FCDABEFC21FC321Y11S ABDBEF=1S ABC40 =11.58J40进而Saefd所以【例6】 如图所示， ABC内三个三角形面积分别为 5, 8, 10.

11、四边形AEFD的面积为x，求x的值.【考点】梅涅劳斯定理【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】对厶ECA和截线BFD，由梅氏定理得：CD AB =1，即卫.口3 - =1，解得x=22 .DA BEFC5+x 152O的三条直线分为6个小三角形，其中三个【例7】 如图所示， ABC被通过它的三个顶点与一个内点 小三角形的面积如图所示，求ABC的面积.【考点】梅涅劳斯定理【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】对厶ABD和截线COF，由梅氏定理得： 圧BC D0 =1，即-匹丄=1，所以匹，所以BCBDFB CD OA3 CD 2CD 2=3 所以Sa ABC = 3S

12、a ABD =3 105 =315 【例8】 ABC中，D , E分别是BC , CA上的点，且BD : DC =m:1 , CE : EA二n:1 AD与BE交于F , 问厶ABF的面积与 ABC面积的比值是多少？【考点】梅涅劳斯定理定理【难度】4星【题型】解答【关键词】DFmn进而DFAm 1aS FSa Abb fS AS Sab +AD【答案】mmnm 1【解析】对 ADC和截线 EFB应用梅涅劳斯定理可得:【例9】P是平行四边形 ABCD内任意一点，过P作AD的平行线, 作AB的平行线，分别交 AD于G，交BC于H，又CE，AEECCB DF1 ,BD FA1 m 1 n mDF1

13、.FA所以+FF 1A+ m所?以mFA-1mFADAmdmmDa1B BC C1 mnm分别交AB于E，交CD于F ；又过PAH相交于Q .求证：D ,P ,Q三点共线.【考点】梅涅劳斯定理【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】对厶GAH和截线DPQ，由梅涅劳斯定理的逆定理得:AQ HP GD AE EB CH QH PG DA - KH AE CBEB CHKH CBCBCHCHCB=1故D ,P ,Q三点共线.、塞瓦定理【例10】设AX , BY , CZ是 ABC的三条中线，求证： AX , BY , CZ共点.【考点】塞瓦定理【难度】4星【题型】解答 【关键词】【解析】

14、略BX cy AZ【答案】证明：由条件知，BX =XC , YC =YA, ZA =ZB .二=1，根据塞瓦定理必要性可得XC YA ZB三条中线AX，BY，CZ共点这个点称为这个三角形的重心.【例11】若AX , BY , CZ分别为 ABC的三条内角平分线.求证： AX , BY , CZ共点.YC【考点】塞瓦定理【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】证明：由三角形内角平分线定理得:BXABCYBCAZACXC_ AC，YA_ BA，ZBBC三式分别相乘，得：CY - AB BC AC =1.XC YA ZB AC AB BC根据塞瓦定理必要性可得三角形三内角平分线AX ,

15、BY , CZ共点，这个点称为这个三角形的内根据塞瓦定理的必要性可得三条高线AX , BY , CZ 共点.心.【例12】若AX , BY , CZ分别为锐角 ABC的三角高线，求证： AX , BY , CZ共点.【考点】塞瓦定理 【难度】4星【题型】解答【关键词】【答案】证明：由 ABXCZB 得：BXAB；由 BYA SCZA 得BZBCYCBCBXA7YCAB AC BC可得:.所以-* 1 .CXACBZAYCXBC AB AC【解析】略AZAYACAB由 AXC sABY3对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点.我们把一个三角形三条高线的交点,叫做这个三角形的垂心.【

16、例13】如图，设M ABC内一点, 点 D，求证：EF / BC .BM与AC交于点E ,CM与AM交于F，若 AM通过BC的中【考点】塞瓦定理【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】证明：对 ABC和点M应用塞瓦定理可得：圧 BD=1 又因为BD = DC，所以FB DC EAAFFBEA=1 .进而AF AEFBEC所以EF / BC【例14】锐角三角形 ABC中,AD是BC边上的高线,H是线段AD内任一点,BH和CH的延长线分别交 AC、AB 于 E、F，求证：.EDH 二/FDH .【考点】塞瓦定理【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】证明：过点 A作PQ /

17、 BC ,与DF , DE的延长线分别交于点 P , Q .贝U DA _PQ .由塞瓦定理的 充分性，得圧匹匡=1 .又因为PQ / BC ,所以圧=竺,-CD ,所以FB DC EAFB BD EA AQa p b d C D1.进而AP二AQ .所以PD二QD ,即 PQD是等腰三角形，所以.EDA = “FDA .B D C D A Q【例15】如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分.BAD，在CD上取一点E , BE与AC相交于F ,延长DF交BC于G . 求证：.GAC EAC .【考点】塞瓦定理【难度】4星【题型】解答【关键词】1999年，全国联赛加试题【解析】略【答案】证明：延长 AG ,过C作AB的平行线，交AG的延长线于点|，延长AE，过C作AD的平行线, 交AE的延长线于点J .连接BD，交AC于点H .在厶BCD中，由塞瓦定理的充分性可得：匹=1.GCEDHB又因为.BACCAC，由角平分线性质定理得-DHAD.HBAB又因为AB / CI，所以BG - AB，同理由AD/ C；J可得CECJGC CIEDAD将代入中可得:AB CJ AD仃:1 .所以CI=CJ .CI AD AB在 ACI 和 ACJ 中，.ACI =180 BAC , . ACJ =180. D