第一章 概率论的基本概论

1、第一章 概率论的基本概论 概率论的基本概论确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”-为一随机事件。例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？这就要引入”概率”的概念。概率的描述性定

2、义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。1.1 随机试验序号条件观察特性可能结果E1抛一枚硬币正、反面出现的情况正面H,反面TE2将一枚硬币抛掷三次正、反面出现的情况HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTE3同上出现正面的次数0,1,2,3E4抛一颗骰子出现的点数1, 2, 3，4，5，76E5记录电话交换机呼唤次数一分钟内接到的呼唤次数0,1,2,3,.E6一批灯泡中任抽取一次测量使用寿命非负实数E7记录某地昼夜温度最高和最低温度以上试验的共同特点是:1试验可以在相同的条件下重复进行；2试验的全部可

3、能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E。1.2样本空间与随机事件(一) 样本空间与基本事件E的一个可能结果称为E的一个基本事件，记为，e等。E的基本事件全体构成的集，称为E的样本空间，记为S或,即：S=|为E的基本事件，=e.注意：的完备性，互斥性特点。例：1.1中试验E- E7E：S=H,T E：S= HHH,HHT,HTH,THH,HTT,T

4、HT,TTH,TTT E：S=0，1，2，3 E：S=1,2,3,4,5,6 E: S=0,1,2,3, E：S=t E7：S= EMBED Equation.3 （二） 随机事件 我们把试验E 的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。记为 事件是由基本事件组成的，事件是样本空间的子集。集合论集合 点 子集概率论S A 在一次试验中，事件A 发生的含义是，当且仅当A 中的某一个基本事件发生。事件A 发生也称为事件A 出现。 必然事件：S 不可能事件： 例1.(P4) 在E2中事件A1:”第一次出现是的H”,即：(三) 事件的关系与运算 设E 的S ，A ，B， 123457。 记。(常用的

5、关系） 补充1 2 3 吸收律 若，则特别注意： 德莫根律（对偶公式）推广：，。例2：P6,在例1中.其它例子：例3：设甲中，乙中，问与各表示什么事件？是否是相等事件？留为练习例4：一射手向目标射击3发子弹，表示第i次射击打中目标。试用及其运算表示下列事件：（1）“三发子弹都打中目标”；（2）“三发子弹都未打中目标”；（3）“三发子弹至少有一发打中目标”；（4）“三发子弹恰好有一发打中目标”；（5）“三发子弹至多有一发打中目标”.留为练习1.3 概率与频率事件的频率及其稳定性 设某试验的样本空间为，为E的一个事件。把试验E重复进行了n次，在这n次试验中，A发生的次数称为A的频数。称为事件A在n

6、次试验中发生的频率，记作:。 频率的基本性质对任意事件A，有；，；若是互不相容的，则，推论：对任一事件A，有。实践证明：当试验次数n很大时，事件A的频率几乎稳定地接近一个常数p。频率的这种性质称为频率的稳定性，它是事件本身所固有的。书上p89页例1，2.概率的频率定义 定义1.1 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大时，如果频率稳定地在某数值p附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，则称数值p为事件A在这一组不变的条件下发生的概率，记作p。补充：概率的几种度量方法事件A的概率，记为P(A)，表示该事件发生的可能性大小

7、，是事件的一个非负实值函数，满足某种概率进行代数运算的公理。 对概率P(A)有几种不同的度量方法：前面给出了用频率度量概率的方法，也称为古典概率度量。还是二种度量方法。几何概率度量表示”在区域中随机取一点，而该点落在区域g中”这一事件。例：这时，可以是整个园：测度为面积；也可以是整个园周：测度为长度。主观概率度量对事件A的信念度称为这一事件的概率P(A).主观概率（信念度）是通过相对似然的概念来运算的。 例如：见朱手稿。现通过例子说明此方法：例1：事件A”明天下午3点深圳市区有雨”，求P(A): 即求A的主观概率；现有一大转盘，标有红色区域，事件B：”指针落在红色区域”。让你选择A发生还是B发

8、生的可能性大，为了迫使你选择，有这样的将励机制，。选择对的话，将10万元。 红色区域 如果开始时，红色区域充满整个园，你当然要选B发生的可能性大，逐步调节红色区域的大小，渐渐缩小，。等到选A或B都一样时停止，这时，可以由B的几何概率作为A的主观概率。当你对选A或B谁发生的可能性大没有偏好时，。例2. 假如你面临以下两种选择：1.如果事件A发生，你将得到少量的报酬R；否则没有报酬。2.参加抽奖，你赢得一份小报酬R的概率为P，但是你输或者说你得不到报酬的概率为1-P。如果你对1，2两种选择没有偏好，那么你判断事件A发生的概率为P.(主观)(二) 概率的公理化定义概率的公理化定义 定义1.2 设试验

9、E的样本空间为S，如果对每一个事件A都有一个实数与之对应，且满足下面三条公理：公理1（非负性）：对任一事件A，有；公理2（规范性）：对必然事件S，有；公理3（完全可加性）若可列无穷多个事件互不相容，则，那么称为事件A的概率。 概率的性质(1);(2)有限可加性: 若互不相容，则; (3)对事件A,都有;若,则 (; (； 特别的，对任何事件A，都有;对任何两个事件A,B，都有 ;对任何n个事件,都有例10-12为第一版上的例子。例10： A,B是E中二个事件，已知 ，求 解：例11：在某城市的居民中订购报纸的情况是：订购A报的占45%，订购B报的占35%；订购C报的占30%，同时订购A,B的占

10、10%，同时订购A,C的占8%，同时订购B,C的占5%，同时订购A,B,C的占3%。求下列事件的概率（百分率）（1）只订购A报纸的；（2）至少订一种报纸的。 例12：在所有的两位数（即从10至99）中，任取一个数，求这个数能被2或者3整除的概率。 1.4 等可能概型（古典概型）一、古典概率1古典概型与计算公式 E满足： S中基本事件个数是有限的n ； 每个基本事件发生是等可能的.称E为古典概型。 E中事件A包含k个基本事件，则A发生的概率为 EMBED Equation.3 P(A). 2古典概率的基本性质 设E是古典概型，其样本空间为，A，A，A，A是E中事件： 0P（A）1 P（S）=1，

11、P（）=0 若A，A，A是互不相容的事件，则有P； 推论： P（A）=1- P（）。 P13，将一枚硬币掷三次，。P14-17 例27.照书上讲。以下例4-9为第一版上的例子：例4：E中求任取一球的号码为偶数的概率。解：设A=所取的球的号码为偶数= (2，(4，(6 即A中基本事件数k=3，于是P（A）=.例5：（1.10）在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码。每次任取一个球，记录其号码后放回袋中，再任取下一个。这种取法叫做“有放回抽取”。今有放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。例6：(1.11) 在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码。每次任取一个球，记录其号码后不放回袋中

12、，再任取下一个。这种取法叫做“不放回抽取”。今不放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。 例7：盒中有a个红球，b个白球（a2 , b1），每次从中任取一球，不放回地连取三次，求下列事件的概率：(1) “ 取出的三个球依次为红，白，红色球 ”A ；(2)“ 取出的三个球有两个是红色球 ”B . 例：(1.13) 在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码。今任取两个球，求取得的第一个球号码为奇数，第二个球号码为偶数的概率。 例8：（1.14）设一批同类型的产品共有件，其中次品有件。今从中任取（假定）件，求次品恰有件的概率 例9：一箱内装有同类产品六件（其中4件是正品，二件是次品）。从中每

13、次取一件，连取两次。求下列事件的概率：（1）“ 取到的两件产品的质量是相同的 ”A ；（2）“取到的两件产品至少有一件是正品”B .1.5条件概率条件概率例1 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况，设事件A为”到少有一次为H”， 事件B为”两次掷出同一面”。现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。解：样本空间为S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH, B=HH,TT于是在A发生的条件下B发生的概率（记为P(B/A)）为：P(B/A)=1/3注意到：易知：定义：设A,B为E中的二个事件，且，则在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率定义为：.同样若，则。性质（定理

14、）如果,则是概率.计算方法法一：公式计算法;法二：直接计算法.不难验证，条件概率P(/A)符合概率定义中的三个条件：1.非负性2.完全性3.可加性P19例2 P19，。下面的例11-13为第一版。例11：甲乙二厂同生产一种零件，分放在二个箱内，它们产品的情况如下： 正品 次品 小计 甲厂 50 20 70 乙厂 25 5 30 小计 75 25 100从中任取一件产品，求下列事件的概率：（1）“取得的一件产品是甲厂产品”=A; (2)“取得的一件产品是次品”=B; (3)“取得的一件产品是甲厂生产的次品”; (4)已知取得的一件产品是甲厂生产的，求它是次品的概率。 例12：在标号依此为的15个

15、同类球中，任取一球。易算出下列事件的概率和条件概率。(1)取得“标号为偶数”（事件A）的概率；(2)取得“标号小于6”（事件B）的概率；(3)取得“标号既为偶数，又小于6”（事件AB）的概率；(4)若已知“所取球的标号小于6”（即在B已发生的条件下），则“球的标号为偶数”（即A再发生）的概率。例13：(书例120) 设有100件同类型的产品，其中80件一等品，15件二等品，5件次品。从中任取一件，已知“取得的是非次品”（事件B），求“它是一等品”（事件A）的概率。(二)概率的乘法公式定义： 设两个事件,且，由条件概率公式得,若,有称为概率的乘法公式（定理）.例3，4，P21-22;例1416为

16、第一版：例14： (书例121) 10件同类型产品，其中8件正品，2件次品。今不放回抽取两次，每次取一件，求“两件均为正品”（事件A）的概率。推广：对n个事件，且,则有。例15： (书例1. 22) 一城市位于甲，乙两河的汇合处，当两河流至少有一泛滥时，该市就会被淹，已知在指定的时间内，甲,乙两河泛滥的概率均为0.01，又当甲河泛滥时引起乙河泛滥的概率为0.5。求在指定的时间内该市被淹的概率。例： 已知，且，。求：(； (。例16：十个人抓一张电影票，问每个人抓到电影票的概率与抽签的次序是否有关？条件概率与有如下的一般关系 (三)全概率公式例17（第一版）：口袋中有16个球，其中白球10个，红

17、球6个。每次取一球，取后不放回，连取两次。求下列事件的概率：(1)“第一次,第二次取的都是白球”;(2)“第二次才取到白球”;(3)“第二次取到白球”.思考：(三个事件有什么不同？ (第(3)个事件有何特点？难点在哪？怎么解决问题？定理1.1（全概率公式）若事件组满足： (1) 互不相容且, (2);则对任何事件A,均有 。 （1.19）称满足(1)、(2)的事件组为完备事件组。(1.19)式称为全概率公式。重点在于:什么情况下用全概率公式，如何用全概率公式解决实际问题。关键是找出且找出发生的“种可能原因”或“可能的前提条件”或“情况”将其视为。例18(第一版)：（书例123） 市场出售的灯泡

18、，甲厂占80%（其中合格率为95%），乙厂占20%（其中合格率为90%）。任买一灯泡，求它是合格品的概率。例19(第一版)：甲、乙、丙三厂生产一批同类产品。甲厂产量是乙厂、丙厂产量之和，而乙厂产量是丙厂产量的二倍。又知甲、乙、丙三厂产品的正品率分别为0.90,0.96,0.84。求从该批产品中任取一件是正品的概率；已知取得的一件是正品，问它是哪个厂产品的可能性最大（概率）？(四) 贝叶斯公式定理1.2 若是一完备事件组，则对任意的事件，均有。此式称为贝叶斯公式。例6，7，P24页。例20(第一版)：（书例126） 某厂产品96%是（真）合格品。有一验收方法，把（真）合格品判为“合格品”的概率为

19、0.98，把非合格品判为“合格品”的概率为0.05。求此验收方法判为“合格品”的一产品为（真）合格品的概率。例21(第一版)：袋中有n个球，其中白球数未知，假设有i个白球的可能性对所有的i=0,1,n都相等。现从袋中任取一球，求在取得的球是白球的条件下，袋中原来有i个白球的概率？(i=0,1,n) 1.6 事件的独立性.伯努利概型 一.事件的独立性1.两个事件A,B的独立性定义1.3 对任意的事件A,B,若,则称事件A,B是相互独立的。性质1: 若A与B独立,则与B,A与,与相互独立。2.推广定义1.4 对任意三个事件A,B,C，若则称事件A,B,C相互独立，简称A,B,C独立。一般的，对任意

20、n个事件，若(，；(，； (。则称事件相互独立，简称独立。性质2：若相互独立，则。例22（第一版）：(书例127) 甲，乙，丙三人同时独立向同一目标射击，他们射中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7。求至少有一人射中目标的概率；恰有一人射中目标的概率。例23（第一版）： 袋中装有编号为 EMBED Equation.3 的n个球，有放回地抽r次，求：(1)1号球不被抽到的概率； (2)1号球和2号球均被抽到的概率。二伯努利概型若试验E只有两个可能结果A和,且,则称E为伯努利概型。 称A为“成功”,为“失败”。n重伯努利试验将伯努利试验E，在相同条件下，独立地重复进行n次，作为一个试验，则这个

21、试验为n重伯努利概型。记为En。注意两点：(相同条件下，即每次 相同。(各次试验结果是独立的。3. 定理1.3设E为伯努利试验，且，则在n重伯努利概型中，事件A恰好发生次的概率为：，。例2-3P2728.第一章作业：设计一随机试验E，给该试验的样本空间S，基本事件，并给出一至二个事件。习题1,2,17,18,20,26例24（第一版）：(书例1. 29) 某射手的命中率为0.9，他独立重复向目标射击5次，求恰好命中3次的概率。例25（第一版）.(书例1. 30) 设一批同类型的产品有N件，其中次品有M件。今从中有放回抽取n件，求次品恰有m件的概率。 15几个例题（第一版）例：（书例1.33）一

22、袋中装有N-1只黑球和1只白球，每次从袋中随机地摸出一只球并放入一只黑球，这样继续下去，求第k次摸球时摸到黑球的概率。例：（书例1.34）把7个编号的同类型的球扔进4个编号的盒子中，每个球被扔进任何一个盒子中都是等可能的。求第一个盒子恰有2个球的概率。例：（书例1.37）甲，乙，丙三人同时独立向一飞机射击，他们设中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7。设若只有一人射中,飞机坠毁的概率为0.2；若恰有两人射中,飞机坠毁的概率为0.6；若三人均射中，飞机必然坠毁。求飞机坠毁的概率。若已知飞机坠毁，求它是恰有二人射中的概率。例：（例1.38）设某型号的高射炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6，现用

23、此型号的炮若干门同时发射一发炮弹，问至少需配置几门高射炮才能以不小于0.99的概率击中来犯的一架敌机？例：（例1.41）甲，乙二人进行棋类比赛。每次比赛没有和棋，甲赢的概率为p，乙赢的概率为q，p+q=1 ,赢者得1分，输者得0分。比赛独立地进行到有一人超过对方2分才结束，多得二分者为胜。求甲，乙获胜的概率各是多少。例：（例1.42）甲，乙二人约定，将一枚匀称的硬币掷两次，若正面至少出现一次，则甲胜；否则乙胜。求甲胜的概率。第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量概念对于随机试验：E甲,乙两人同时向某目标射击一次中靶情况 E: ，X表示射击中靶的次数，对应的取值为；0，1，2。 定义：随机变量

24、是定义在样本空间S=上的一个单值实函数，记作X=X(),简记为X。分类离散型随机变量非离散型随机变量2.2 离散型随机变量一(离散型随机变量的分布设离散型随机变量可能取的值为:取这些值的概率为P(X=i)= pi ,i=1,2,. (2.1) 称(2.1)式为离散型随机变量X的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下: X P 上述表格称为离散型随机变量X的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式： 离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布。 根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质（1）pi0,i

25、=1,2,.（2）常见的几种分布单点分布例: 若随机变量X只取一个常数值C，即P(X=C)=1，则称X服从单点分布。（也叫退化分布。）2、0-1分布例: 若随机变量X只能取两个数值0或1，其分布为 X 0 1 P q p0<p< 1,q=1-p，或记为P()=pkq1-k ,k=0,1则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为p的0-1分布。几何分布例: 一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0<p<1),不中的概率为q=1-p.今向靶作独立重复射击，直到中靶为止，则消耗的子弹数X 是一个离散型随机变量，其分布为 X 1 2 3 k P p qp q2p qk-1p

26、 或记为 ()=, k=1,2, .则称X服从参数为p的几何分布。4、超几何分布例: 设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n(假定nN-M)件，则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分布为 ,m=0,1,k,k=min(M,n) 则称X服从超几何分布。 二项分布 在n重伯努利试验中，事件A发生的次数X是一个离散型随机变量，其分布为 P( X= k )=,k=0,1,2,(,n,称X服从参数为n，p的二项分布。记为 。例2:P39.例3:P40. 在电脑上，应用相应的数学或统计分析软件，这些概率是很容易计算出来的，所以，还有必要用逼近的方法吗？泊松分布定义 若离散型随

27、机变量X的分布为，k=0,1,2,( 其中常数(>0，则称X服从参数为(的泊松分布,记为。泊松Poisson定理P41, 设有一列二项分布XB(), n=1, 2, .,如果 , 为与n无关的正常数，则对任意固定的非负整数k，均有 证略。例5:P43.例6:P44,自学。 2.3 随机变量的分布函数一、概念定义2.1 设X是一随机变量（不论是离散型还是非离散型），对任意的实数,令 (2.11)则称F（）为X的分布函数。例1:（书上例2.8） 设X服从参数为p的（0-1）分布，即：,= 0,1,其中0<p<1,q=1-p.求X的分布函数F().例: 设R.V. X的分布函数为

28、求X的概率分布。二、性质性质1 若1<2,则F(1)(F(2).即F()是的单调不减函数。性质2 对任意的实数，均有 0( F()(1 (2.15)且 (2.16) (2.17)性质3 对任意的实数0,有 (2.18)即F()在轴上处处右连续。 证明见P-44. 性质4 若F()在X=0处连续，则P(X=0)=0性质5 P(a<X(b)=F(b)-F(a)例: 设R.V.X的分布为 确定A ,且求P(-1<(2) 2.4 连续型随机变量定义2.2 设随机变量X的分布函数为F(),如果存在一个非负可积函数f(),使对任意的实数，均有 F()= (2.20)则称X是连续型随机变量

29、，称f()是X的概率密度或密度函数，简称密度。二、图形例如：正态分布密度函数图形：data normal;do i=-3 to 3 by 0.01;z0=exp(-i*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;分布函数图形：data normal;do x=-3 to 5 by 0.01;y=PROBNORM(x);output;end;run;proc gplot data=normal;plot y*x=1

30、;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;三、性质性质1 f()0 (2.21)性质2 (2.22)性质3 P(a<Xb)=F(b)-F(a)= (2.23)性质4 在f()的连续点处，有 = (2.24)性质5 在f()的连续点处，当>0,且很小时，有 P(<X)= + 几点说明：由5可以看出f()值的大（小）反映R.V.X在邻域概率的大（小）。连续型随机变量X取任一点0的概率为零。即：P(X=0)=0。连续型随机变量X的密度函数为f(),则它取值于区间（a,b）、（a,b、a,b）、a,b上的概率都相等，即 同理，。4连续型R.V.X的

31、F()是连续函数。但f()不一定是连续的。例1：（P51）设计R.V.X具有概率密度确定常数K,并求PX>0.1指数分布：例：(第一版)设R.V. (1)确定常数A；(2)写出X的分布函数F(); (3)P。例：(第一版) 已知随机变量 确定A和B；（2）求；(3)求二、均匀分布例：设R.V.，称X在,b上服从均匀分布。（1）确定k。（2）求P(<X(+s)(a<(<(+s<b)。(3)写出X的分布函数F()。 定义：若随机变量X的概率密度为 则称X在上服从均匀分布，记为XUa,b,相应的分布函数为 一般地，设是轴上一些不相交的区间之和，若的概率密度为 则称X在D

32、上服从均匀分布。如果，则对于满足的任意的,有 = (2.32)三、指数分布若随机变量X的概率密度为 （2.33）其中常数，则称X服从参数为(的指数分布，相应的分布函数为 (2.34)例：（第一版书上例2.12） 经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了th的条件下，在以后的(th内损坏的概率为，其中(是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在内损坏的概率。略四、正态分布 1、定义： 若随机变量X的概率密度为 , (2.35)其中都为常数且，则称X服从参数为的正态分布，记为，有时也简称X为正态随机变量。X的分布函数为 （2.36）验证 作出的图形 ，得驻点，

33、得， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 作图SAS程序：data normal;do i=-3 to 3 by 0.01;z0=exp(-i*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;注意：一定要和由正态随机数区别开来。如下面产生的是正态随机数。data normal; retain _seed_ 0; do _

34、i_ = 1 to 1000; z = 0 + 1 * rannor(_seed_); output; end; drop _seed_ ;run;proc gplot data=normal;plot z*_i_=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;性质：f(x)的图形是关于直线x=(对称的曲线为最大值，当x远离(时，f(x)(0当(固定而(变化时对图形的影响，( EMBED Equation.3 小 大，分布曲线在形成陡峭的高峰。(大小，分布曲线在变成缓峰。(=2, (=0.5, 1, 2data normal;do i=-2 to 6 by

35、0.01;z0=exp(-(i-2)*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);z1=exp(-(i-2)*2/(2*0.25)/(0.5*sqrt(2*(3.1415926);z2=exp(-(i-2)*2/(2*4)/(2*sqrt(2*(3.1415926);output;end;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 /overlay ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;(=2, (=0.5, 1, 2, 5, 10图形：data normal;do i=-5 to 9 by 0.

36、01;z0=exp(-(i-2)*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);z1=exp(-(i-2)*2/(2*0.25)/(0.5*sqrt(2*(3.1415926);z2=exp(-(i-2)*2/(2*4)/(2*sqrt(2*(3.1415926);z3=exp(-(i-2)*2/(2*25)/(5*sqrt(2*(3.1415926);z4=exp(-(i-2)*2/(2*100)/(10*sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 z3*i=1 z4*

37、i=1 /overlay ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;当(固定而当(变化时对图形的影响是分布曲线形状不变，仅曲线左、右平移。如图：(=1, (=0, 2data normal;do i=-3 to 5 by 0.01;z0=exp(-i*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);z1=exp(-(i-2)*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 z1*i=1/overlay ;symbol1 v=none i=join r=1 c=

38、black;run;分布函数图：data normal;do x=-5 to 10 by 0.01;y=PROBNORM(x);output;end;run;proc gplot data=normal;plot y*x=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;3、标准正态分布与有关概率的计算 若,则称X服从标准正态分布，其概率密度、分布函数分别记为 (x)= (2.37) (x)= (2.38) 注意：(0)=0.5 (-x)=1-(x)一般，若，我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布。引理(P55):若，则证：作变换,.学会查附表2：标准

39、正态分布表。注意表中公式的正确形式为：注：如果用SAS算出附表2，需要时间不到1秒钟。data normal;do z=0 to 4 by 0.01;Prob=PROBNORM(z);output;end;proc print noobs;run;这样还可以算出其它任意条件的概率。如利用即 (2.43)对任意的实数1,2 (1<2)，利用(2.43)式可得 () (2.44) 1-() (2.45) ()-() (2.46)比如：, (=1.5 (=2时：全部概率值：data normal;do z=0 to 4 by 0.01;Prob=PROBNORM(z-1.5)/2);outpu

40、t;end;proc print noobs;run; P(X>0)=data ;Prob=1- PROBNORM(0-1.5)/2); Put prob=;Run;Prob=0.773372647P(-1<X<2)=data ;Prob= PROBNORM(2-1.5)/2)- PROBNORM(-1-1.5)/2); Put prob=;Run;Prob=0.493056552例1： X服从N(1,4),求P(x(1.6) , P(0<x(1.6) , P(|x|>4)解：请大家通过变换后查表得出结果。并与下面的结果进行对比。data ;prob=probno

41、rm(1.6-1)/2); put prob=;prob=probnorm(1.6-1)/2)- probnorm(0-1)/2); put prob=;prob=1-probnorm(4-1)/2)+probnorm(-4-1)/2); put prob=;run;P(x(1.6)=0.6179114222P(0<x(1.6)=0.3093738835P(|x|>4)=0.0730168666例3 P5doc，液体的温度为X(以co记)服从N(d,0.52)。（1）若d=90,求P(X<89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少解：

42、(1)data ;prob=probnorm(89-90)/0.5); put prob=;run;P(X<89)=0.0227501319(2)要求0.99(PX>80即 PX<80(0.01P(X-d)/0.5<(80-d)/0.5(0.01(80-d)/0.5(-2.326347874data;Z=probit(.010); put Z=;run;Z=-2.326347874定义：设XN(0, 1)，若满足条件,则称点为标准正态分布的上分位点。书上57页图例：下分位数：data;Z1=probit(.001); put Z1=;Z2=probit(.0025);

43、put Z2=;Z3=probit(.005); put Z3=;Z4=probit(.010); put Z4=;run;Z1=-3.090232306 ()Z2=-2.807033768 ()Z3=-2.575829304 ()Z4=-2.326347874 ()上分位数：data;Z1=probit(1-.001); put Z1=;Z2=probit(1-.0025); put Z2=;Z3=probit(1-.005); put Z3=;Z4=probit(1-.010); put Z4=;run;Z1=3.0902323062 Z2=2.8070337683 Z3=2.575829

44、3035 Z4=2.326347874 本人不同意分为上下分位数，分位数就是分位数，定义为：若满足条件,则称点为随机变量的分位数。单边的, 双边的，注意和以均值为中心，1,2,3倍标准差宽度区间的概率值的区别。SAS的两种计算公式：data;p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=;run;p1=0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039data;p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;run;p1=0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039也可以验证数据，即以为中心，需要几倍的标准差距离所构成的区间，其区间内的概率为