高中数学选修坐标系与参数方程知识点总结

1、坐标系与参数方程知识点1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 :XX （: 0）的作用下，点p（x,y）对应到点P （x； y）,称为平面y i y （ 0）直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2. 极坐标系的概念（1）极坐标系如图所示o* ,在平面内取一个定点O,叫做极点，自极点o引一条射线Ox ,叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单 位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个 极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景 ，而平面直角坐标系 以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能 建

2、立一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐 标系都是平面坐标系.（2）极坐标设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记 为?；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角 xOM叫做点M的极角， 记为，.有序数对C）叫做点M的极坐标，记作M（：）.般地,不作特殊说明时，我们认为-0可取任意实数.特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0,，）（， R）.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定t0,0r : 2：,那么除极点外，平面内的点可用唯一的 极坐标（, v）表示；同时，极坐标（几二）表示的点也是唯一确定的.3. 极坐标和直角坐标的互化（1）互

3、化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为 极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：VtzAyoN左（2）互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x,y）,极坐标是（,（_0）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标（x, y）极坐标（P月）互化公式X = P cos日P2 = x2 + y2：y = Ps in&tan日=（x式0）X在一般情况下，由tan，确定角时，可根据点M所在的象限最小正角.4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆P = r(0 兰日 2i)圆心为（r,0）,半径为r的圆P = 2r cos日(-上兰

4、日)2 2圆心为（rf）,2半径为r的圆QxP2r sin日(0 兰 0 0)过点（a,0）,与极轴垂直的直线1O（仙上Pcos日=a(-壬v日 壬)2 2过点（a,）,与2极轴平行的直线+ ()丄XPsin。=a(0B b0）,其参数方程为!x = acos：（cp为参数），其中参数称为a by =bsi n2 2离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是每+笃=l（a b 0）,其参数a b方程为/ cos：（申为参数），其中参数申仍为离心角，通常规定参数的=asi n 屮范围为: 0 , 2二）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离 心角，要把它和这一点的旋转角=区分开来，

5、除了在四个顶点处，离 心角和旋转角数值可相等外（即在0到2二的范围内），在其他任何一 点，两个角的数值都不相等。但当0空二时，相应地也有0J ,2 2在其他象限内类似。5. 双曲线的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在 x轴上的双曲线的标准议程为X： y2 =1(a 0,b 0),其参数方程为asec (为参数)，其中 a by=bta n;0,2 二)且二，J 厂2 22 2焦点在y轴上的双曲线的标准方程是y2 x2 =i(a . 0,b 0),其参数a b方程为 - t (为参数，其中一(0,2：)e且、二.=a csCP以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6. 抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y2=2px(p0)的参数方程 为x=2pt亿为参数).y = 2pt7. 直线的参数方程经过点Mo(x, y),倾斜角为的直线I的普通方程是2y-y二tan： (x-x),而过Mogy。)，倾斜角为:的直线I的参数方程为上丸tcos。y 二 y tsin :-(t为参数)注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 Mo(x,y)，倾斜角为的直线I的参数方程为 x上COS (t为参数)，其中t表示直线I上y = y +tsi n以定点M为起点，任一点M(x,y)为终点的有向线段MM的数量，当 点M在M上方时，t 0；当点