高一秋季第15讲.期末复习.初稿.目标班

1、D7学 H WnraTrffi第15讲期末复习教师备案 本讲分成三大块：三角函数、平面向量与函数，针对学校的期末考试进行的复习，题量 稍大，老师可以根据学生的需求重点讲解一些模块与例题.【例1】 已知A=-是第一象限角，8= - 是锐角，C = -是小于90的角，那么A、B、C的关系是（）A. B =AP1C B. BUC 二C C. A uC15.1三角函数角槪念推广弧度制弧度制与角度制换算三角函数的建义 单位I员I与三幷函数线 同角=角團数基木关系 诱导公式正弦型函数图象与性质 已知三如函数值求角 图绘变换勺性质应用和差角公式 二倍角公式A = B =C已

2、知cos !n -si n知识点睛三角函数经典精讲任意角的概念与弧度制二角函数图象与性质任意角的三角函数三角恒等变换）.3n：cos -丿12 .丿4，且0 ，则sin 3n-：= sarsTw srs& 而思www.speiyouxom几函数、二A in，x:A ,0 啲部分图象如右图所示，则，二,f 1 f 2 f 3 山 f 9.* (北京四中2010-2011学年度高一第二学期期中试卷)函数f (x )=3sin(2x _n的图象为C11 图象C关于直线X = n对称；12 函数f x在区间一，5n内是增函数； * I 12 12 )C .由y =3sin2x的图象向右平移n个单位长度

3、可以得到图象3以上三个论断中，正确的论断是代(目标班专用)已知函数f nf(X)=s X，g(X)=sin 2X 2 ，有下列命题:当-=2 时,当-=1 时,f (x)g(x)的最小正周期是n2f (x) g(x)的最大值为9 ;8当-=2 时,将函数f(X)的图象向左平移其中正确命题的序号是【解析】BA _；、一 k 360 ： - : k显然有B u A , B u C，且B U AP1C , A , 一75 n V ?cossin丄可以得到函数g(x)的图象.2(把你认为正确的命题的序号都填上)36090 , k Z，B -二 0 ：: : 90 ? , CC之间没有包含关系，选项:-

4、 : 90 J ,B正确.1 sin : -cos篇5;sin 3 n-:-2i 3 ncos.2= -cos: -sin、f;492两式分别平方相加得 2，即(5 丿25从而 -cosa-sinaut7 又 0 va 0在区间 卜才，n上的最小值是D 第四象限-2，则，的最小值等法二：f (sin15 ) = f cos75 =cos150 =-于.畀（目标班专用）（人大附中联合 2010-2011学年度必修四模块试卷） 已知存在实数:（其中- 0 , e Z ）使得函数f x 2coslxJ 是奇函数，且在0, n上是增函数.4 当，=1 , | | n时，的值为. 所有符合题意的 与的值

5、为.【解析A法一：T f （cosx） = cos2x = 2cos . x T f x =2x2 -1-1 x0 , e Z ,=-1 或-2 ,f丄f x =2cos ! x 2k=1 或 2 0 n0，4上是增函数,-八二-1由可得2kn_j ,k Z , / f x 在 102 n 血W 2 訂。 ，其图象过点ni 121I n【例 3】已知函数 f x rsin2xsincosxcos、2sin将函数y = f x的图象上各点的横坐标缩短到原来的丄,纵坐标不变，得到函数y=g x2的图象，求函数g x在0, n上的最大值和最小值.【解析】因为 f x =si n2xsi n 八cos

6、? xcos -in!0：: n ,v f 2 22/ f所以 f x = sin2xsin_ cos -cos :2 2 21 1 1 1 sin 2xsin :cos2xcossin 2xsin : cos2xcoscos 2x； 11稠雯IT学ST盟【例4】【解析】又函数图象过点n, 1 ,162丿所以 _ = _cos 2 n _，即卩 cos n -2 2 I 6 丿13又 o ： n,所以 =n.3由知 f x =1cosl2x_丿2 J 3丿，将函数y = f x的图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数y = g x的图象，可知g x

7、 2x 冷cos 4x_n,7t0,，所以 4x0, n,因此 4x n IL 4-3故-1 w cos 4x - n2.3因为 x三所以心0，F上的最大值和最小值分别为(目标班专用)已知函数 f x =2sin2 n x丄和一 124I - ：3 sin2 x - cos2 x , x丄n_4，2 求f 5n的值；12求f x的单调区间.若不等式f x；m|陷2恒成立，求实数 m的取值范围.2 2由已知得 f x =2 sinx 亠cosx i 亠.3：；：cos2x=1 亠sin2x - 3cos2x =2sin ?2x -扌 亠1 .上5 n5 nnf2sin1=3 .1263由xn,

8、n , 2x-n n，勺，根据函数图象可知，当2x-n|l_423 |L633单调递增；当2x-n n,2n时，323n，n 时，y=f xy = f X单调递减.，函数y=f(x)单调递增；当x豈，:当x Xf (x )叫 c2，解得：m 2 c f (x) m +2 ,，函数y = f(x)单调递减.x nn，转化为不等式组:2乂一扌, f(x) 2,31, 9,3dm-2, m 2 , m22, 解得: :m2 m 31 ： m ： 4r .平面向量基本定理广平面向量基本定理:e和e,是一平面内的两个不共线的向量，那么对该平面内的任 一向量a，存在唯一的一对实数如果ai， a2，使 a

9、= ae +a2e2 基底：我们把不共线向量记作益,e， e?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,二.耳爵利：叫做向量a关于基底箱，的分解式.向量的数量积与坐标表示向量数量积的定义：已知两个非零向量向量的数量积:经典精讲a与b，它们的夹角记为 a , b，规定0 a , b cos魯，b）;4 4I4a b =abf r（或内积）为:n,44a b （b =0） u a :定义它们的数量积a b = x1x2两个向量平行：xi y2 -冷 = o ；两个向量垂直：a _ b =% y2 = 0 ；向量的长度:XlX2，b 二向量的夹角:yy2. X22 - y22a = （x，yi）, b

10、=（X2，y2）=0=x1x2nt 4 i=1，贝U a b 人大附中联合 2010-2011学年度必修四模块试卷）已知向量 a = cos75 ，sin75， b = cos15 ，sin15 ，则C 晅2【例5】i平面向量a与b的夹角为60 ,*a =2，a + b的值为（宀（2011年江苏卷）已知& ,氏是夹角为25的两个单位向量,3若a b =0，则k的值为已知向量a=（m，- 2）,b=（七，5），且a与b的夹角为钝角, 【解析】3 ;由已知可得:4 44-4 4a=ei-2Q，b = ke+e2，则m的取值范围是呻 72ab =a -2cos60 jb=4 -2 2 1 丄 1 =

11、3,2D由已知Wil iPTST倉而鶴三+2a b + b =1 +1 +2(cos75 jcos15&+sin75 sin 15 *)=2 +2cos 60 * = 3 ,- a +b =药.由已知el e2 = ei e2n cos3a b = e -2e2 ket e, =ke2,6 J 6,.35 J 54 呻+od1_2，2+(1 _2k e e2 -2 e2f =k+k丄2 =0 k=24+ H彳呻一a b . 0，且a , b不平行.106彳 彳解得m .当m 时，a / b，需舍去.35L10 6止I 3 5 丿,教师备案 例如此类的角度问题，是

12、一个易错点，特别需要注意对角度的范围的判断，根据定义，0 , n,如果cosr .0 ,那么是锐角或者r -0 ;如果cos 0时，那么二是钝角或者二n在做题目时一定要注意区分清楚 .a与b的夹角为钝角，a b = -3m 10 ： 0 ,从而m的取值范围为当且仅当【例6】扃设a , b是两个非零向量，下列说法正确的有 若a +b| =|a| 也，贝U a丄b ;若a丄b，则；+b： =：a 若? +b = a - b，则存在实数 h，使得b =&a若a b-b ;若a b若存在实数，使得b =，a，则*朗；若也鳥若a丄b，贝U a +翼（目标班专用）设a , b, c为同一平面内具有相同起点

13、的任意三个非零向量, 呻I片Fc，贝y b c的值一定等于（=A .以a,b为邻边的平行四边形的面积C .以a,b为两边的三角形的面积【解析】；* *利用向量加法的三角形法则知，a , b不共线时,正确；错误，因为当0时，4|4|且满足a与）B.以b , c为两边的三角形的面积D .以b, c为邻边的平行四边形的面积,a , b , a +b可构成三角形，均错误；ab5 ;利用向量加法的平行四边形法则知a b , a rb可看成是起点相同的向量a , b构成的平行四边形的两条对角线，故 4 呻=这个平行四边形为矩形 =a丄b ,均正确.4 44气a +b=a -bAH H斗*假设a与b的夹角为

14、则b与c的夹角可能为90独;-口 -90 , 270 - vb c = b csinr积，故选A .本题也可使用排除法，首先 情况排除C答案.a si nr，即为以a，b为邻边的平行四边形的面 B，D肯定不正确，只可能为A，C,再由特殊【例7】CB=b，贝y cS =()1 22*1呻A.a bB . -a -b333314呻441彳C.a bD. - ab3333在 ABC中，已知D是AB边上一点,代一个质点受到平面上的三个力F1 , F2 ,（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知F1 , F2成120角，且F1 , F2的大小分别为1和2,则有（）A . F1 , F3 成 90 角C.

15、 F2, Fa成 90 角界如图，在 边上一点，A.-83 ABC 中，DC =2BDB . 8儿已知在 ABC中，已知 訖=4 ,B . F! , F3 成 150 角 D . F2 , F3 成 60 角 .BAC =120 , AB =2, ，则aS bC等于(C. 2JBC =3 ,【解析】BC 二 3BD , aS =1 ,AC =1 , D 是 BC)2 D.=5，则 A儿（目标班专用）（2010年天津高考）如图，在 ABC中，AD_AB , 则 AC AS 二A法1:11 T T 呻AB = CB - CA = b - a2 n 2-1CA AS ab=aab .3 f 33过点

16、D分别作CA, CB的平行线，交 CB , CA于点F , E2 2 t1 T 1 -j由平面几何知识可得 CF =2CB, CE =CA= 13 33t T T 1片 2片二 CD =CE CF a b .33A法一：如图所示， 法二：不妨设Fi ,* 呻 #4贝 U a + b + c =0 , C2 鳥+b - c =p3 二3a，F3与Fi和F2的合力方向相反，选A .F2, F3所表示的向量为 a , b , c,22a b b2由已知 BC-ACAB, AD二1 2 4二3即F与F3垂直.2= 2AB AC (方法同), 33 AD bc =；2 Ab 1 AC ACABimJAC

17、i f132.331214 ：-；:3aD1 2【点评】关于向量的数量积，与几何相关的利用公式首先考虑利用公式；babcos； ,ib,有坐标的，直接考虑利用公式 a b =x,X2 yy 如果无法直接求出，要设法把向量进行拆分，转化 为其它已知向量的和或差，利用已知条件得到结论.【备选】已知向量 a =(cosx, sin x).ab.85，且-:： - 试求出呼一訂和叫一訂的值；求si n2x(1 ta nx)1 -ta nx的值.【解析】,故 sina b = . 2cosx 、2sinx = 2 2sin I x I 4丿fcos x -I 4丿= sinn= sincos2x-2co

18、s2心卜5sin35= sin2x,1 亠 ta nx1 -ta nxn=tan4n .tan tan x4sinx =5n , n 3xn,故 tan24443sin 2x(1 tan x) _ 7_4 _ _281 ta nx25375【备选】已知点A 2, 0 , B 0, 2若OA忌/，：C cos、； , sinx ,且 0 ： - ： n 尖子班 OC二7，求OB与OC的夹角；若AC _BC，求tan的值.www.spejyouxom. 【解析】 OA OC1 = 7 ,即 2 cos ? 2亠sin2 : -7 ,1 cos:2【备选】【解析】n=/ AOC =3OB与OC的夹角

19、为又/AOB 二n, AC = (cos -2 , si no 卜I I T1结合三点位置知，BC = cos : , sin .： 2 ，T AC BC , AC BC =0 , cosx 亠sin、22 2 2sin 川 2sin : cos爲川cos : tan 二卜2tan 二川 12 1 cos:：sin .篇4解得 tan : =73由 cos：亠sin:=24 一733x2sin :-2cos :-，隈三i：0 , n知，故 tan : : -1,3x已知向量a = cos一,I 2sin3Xxcos,2求a b及a +b ;，求的值.443xx . 3x.xab :二 cosc

20、os sin-si n22 2I 2丿若f (x )=a b 2九a +b的最小值是二 cos2x3xcosmos-j.22丿 J 2 ! +甘=2cosx .2 亠 2cos2 x = 2 cosn2222x ,f x =cos2x-4 cosx = 2cos x-4，cosx-1 =2 cosx -，-2； 1 cosx 0, 1 I当人b, 1耐，cosx=h时，有f (x min =-2扎2 -1，故-2扎彳一仁一弓二又0, 11,当- f(1)，即a _xe a-e1 二1a xe2若f (x) f 1对所有x.= R都成立，求证： 求当x取何值时，f(x)取到最小值.-2(a e)

21、x x2 9 2a e 1 ,整理得 x2 -2( a e)x 2a 6 10 ,要此不等式对于任意x. R成立，当且仅当于是得(a e -1)2 0 , If (x) 了 =-4(； #4(2； 2一1) 0 .【点评】2 呻呻4,2=x 2(ae)x+d，是一个开口向上的抛物线, 故当xe时，f(x) 2取得最小值，此时 f(x)也取到最小值.函数f(x)定义为向量的模长，它有着明确的几何意义. 若向量a, e不平行，我们用两条起点相同的有向线段表示它们，如右图：-xe表示起点 A在向量e所在直线上，终点 B为向量的终点的一个活 ,OA=x；时，f(x)AB，显然，当向量 AB_e时，AB

22、的模 f(x)二1 2a xea -xe表示起点A在向量(动的向量，OA二xe时，f(x)=AB，显然，当向量 AB_e时, 长取到最小值，即 f (x)有最小值.的模O15.3函数回顾=因为大部分学校期末考试都会考查函数，所以这里安排了对函数的回顾，供老师选讲.经典精讲【例9】【解析】【例10】I计算： lg2 +Ig5 lg 捆; Ig52+2lg8 十Ig5 4g20 +(lg2 ).log 2 33满足不等式2x A1的x的取值范围是2 满足不等式log.2 x a0的x的取值范围是 .丄：-:3 .23 -1, : ， 0,1 .(2012广州七中高一上)已知函数 y=f(x)是R上

23、的偶函数，且f(x)在0, :：)上是 减函数，若f (a) f(-2)，则a的取值范围是 .&设偶函数f(x)=logax、b在(0，：)上是单调递减函数，则f(b -2)与f(aT)的大小关系是()A .f(b2) f (a1)B . f(b 2). f(a 1)C.f (b-2： f (a1)D .不能确定5 f7-D .1 -_ 4I4A .5 -:H-4：已知函数f (x)的定义域为x | x.二R - x= 1-且f (x 1)为奇函数.当x :：: 1时， f(x)=2x x + 1那么当x1时，f(x)的递减区间是()4，丿I【解析】(目标班专用)已知y =loga(2 -ax

24、 )在-2 - 0上是减函数，贝U实数 2 ；C ；由此函数为偶函数知 b = 0，a的取值范围是f(x) Toga X，当 x 0 时，f (x) rlogaX 在(0 ,：)上单调递减，故 0 ：a ：:1 - f (b 2) =f (_2) =f (2)，而 a 1 ： 2，故 f(a 1) . f (2)- 即 f (a 1) . f (b _2).B ；f(x 1)是奇函数，故f(x1)有对称中心(0 - 0)，故f(x)有对称中心(1, 0)，可作出函数 的草图，如下(也可以直接根据中心对称函数在对称区间上的单调性相关直接得到结果)x =关于(1 - 0)的对称直线为x =-，故所

25、求递减区间为，:.4I4丿由a是底知a 0，故2-ax2在-2，0上单调递增，又复合函数在-2，0上单调递减，故 y=logax也是减函数，故0：a：1.又函数在-2，0上有定义，故2 - ax2 7对x-2，0 1 1恒成立，而当x - 2时，2ax2 =24a -0= a -，综上知，a 0，-2I 2丿【例11】(广州高一测试)已知定义在(0，:：)上的函数f(x)同时满足下列三个条件：f 二-1 ;对任意 x、y (0，：)都有 f (xy)二 f (x) f (y);当 0 ： x ： 1 时,f (x) 0 . 求 f(4)、f(、.2)的值；证明：函数f (x)在(0，:：)上为减函数；解关于x的不等式f