解线性方程组的解法

1、线性方程组,线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之 一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术 和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、 最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数 与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的 判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相 关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下,线性方程组,3.1 消元法,第一章讨论了含n个方程的n元线性方程组的求解 问题.下面我们讨论一般的n元线性方程组(system of linear equations,

2、3.1,写成矩阵形式为,其中,分别称为方程组（3.1）的系数矩阵(coefficient matrix)、 未知量矩阵和常数项矩阵,当 时，称 为n元齐次线性方程组； 当 时，称 为n元非齐次线性方程组. 并称,为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为 一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的,如果 可以使（3.1）中的每个等式都 成立，则称 为线性方程组（3.1）的一个 解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解,集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(s

3、ame solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解,消元法是求解线性方程组的一种基本方法，其基 本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解 方程组. 在中学代数里我们学过用消元法求解二元或 三元线性方程组，现在把这种方法理论化、规范化、 并与矩阵的初等变换结合起来，使它适用于求解含更 多未知量或方程的线性方程组. 为此，先看一个例子,例1 解线性方程组,解 原方程组,显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组） 同解，所以原方程组有唯一解,由此不难发现，在求解线性方程

4、组的过程中，可 以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组 的同解性,在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和 常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变 换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行 变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于 用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将 例1的求解过程写成矩阵形式,所以原方程组有唯一解,即,一般地，不妨设线性方程组（3.1）的增广矩阵可通 过适当的初等行变

5、换化为阶梯形矩阵,因而由初等行变换不改变矩阵的秩可知：线性方程 组（3.1）的系数矩阵 与增广矩阵 的秩分别为,与,由线性方程组的初等变换不改变线性方程组的 同解性可知：线性方程组（3.1）与阶梯形方程组,3.2,同解，且其解有三种情形： 情形1，当 ，即 时，方程组（3.1）无解. 情形2，当 ，即 时， 方程组（3.1）有唯一解,情形3，当 ，即 时， 方程组（3.2）可变成,其中 在相应数域上可任意取值， 称为自由未知量，以下我们在实数域R上讨论，任意 给定自由未知量一组值： 代人可求得 的相应值，把这两组数合 并起来就得到方程组（3.1）的一个解，因此方程组 （3.1）有无穷多个解，其

6、一般解为,为自由未知量,或,综上所述，我们可得以下重要定理,定理3.1（线性方程组有解判别定理） 线性方程组 有解的充要条件是它的系数矩阵 与增 广矩阵 等秩，即,推论3.1（解的个数定理） （1）n元线性方程组 有唯一解的充要条件是,2）n元线性方程组 有无穷多解的充要条 件是 . 此时它的一般解中含 个自由未知量,3）n元线性方程组 无解的充要条件 是,由于上述讨论并未涉及常数项 的 取值，因此对 时的n元齐次线性 方程组,3.3,即 ，显然有 ，由定理3.1可得下述定理,定理3.2 （1）n 元齐次线性方程组 只有零解 的充要条件是它的系数矩阵 的秩 . （2）n元齐次线性方程组 有非零

7、解的充要条 件是它的系数矩阵 的秩,推论3.2 （1）n 个方程的n元齐次线性方程组 只有零解的充要条件是它的系数行列式 . （2）n个方程的n元齐次线性方程组 有非零 解的充要条件是它的系数行列式,3） 若n元齐次线性方程组中方程个数m小于未知 量个数n，则它必有非零解,书例 解线性方程组,解 对方程组的增广矩阵 作初等行变换，有,所以同解方程组为,一般解为,为自由未知量,或,注 自由未知量的选取不唯一，如例2中， 可化为,所以一般解为,为自由未知量,例3,解线性方程组,解,解得唯一解,例4,解线性方程组,解,最后一个为矛盾方程组,故方程组无解,例5,t 为何值时线性方程组,解,有解? 并求解,方程组有无穷多解,例6,解线性方程组,解,这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于未知,个数，故必有非零解,只需对系数矩阵施以初等行变换,求得全部解为,例7,下面的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解,解,的情况下，求出全部解,此时一般解为,其中k为任意常数,一般地，求解含参数的线性方程组是本章的重 点之一，必须熟练掌握. 在求解含参数的线性方程组 时，若增广矩阵 能用初等行变换化为阶梯形，则 解法1较简便；，若增广矩阵 用初等行变换化为阶 梯形很困难，而此时方程个数与未知量个数又相等， 则