大学微积分l知识点总结

1、大学微积分I知识点总结【第一部分】大学阶段准备知识1、不等式:a b .ab2 a2 b2 _ 2aba bbc引申（ai +吐 +.+an ）、,aa a一 n22n印去 n a 二 a1a2.anna3 b3 c3 _3abcsab32双向不等式：a-b|+ b两侧均在ab 0或ab 0时取等号扩展：若有 yx2 . xn,且x1 x2 . x p p为常数则y的最大值为：X+xDXn iI n 丿柯西不等式：设ai、a?、.a n, bi、b、. bn均是实数，则有：a a2b2 .2 乞 c 2 a? 2 . 4 2 b 2b? 2 .bn 2当且仅当，a bi为常数，i =1,2,3

2、.n时取等号2、函数周期性和对称性的常用结论1、若 f (x+a) =f (x+b),则 f (x)具有周期性；若 f (a+x) = f (b-x ), 则f (x)具有对称性。口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”2、周期性(1) 若 f (x+a) =f (b+x),贝U T=|b-a|(2) 若 f (x+a) =-f (b+x)，贝U T=2|b-a|(3) 若 f (x+a) = 1/f (x),贝U T=2a(4) 若 f (x+a)=【1-f (x)】/【1+f (x )】，则 T=2a(5) 若 f (x+a)=【1+f (x)】/【1-f (x )】，则 T=4a3、对称

3、性(1) 若 f (a+x) =f (b-x )，贝U f (x)的对称轴为 x= (a+b) /2(2) 若 f (a+x) =-f (b-x) +c，则 f (x)的图像关于(a+b) /2，c/2 )对称4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴 和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。(1) 若f (x)的图像有两条对称轴x=a和x=b，则f (x)必定为周期函数，其 中一个周期为2|b-a| 。(2) 若f (x)的图像有两个对称中心(a，0)和(b，0)，(a b)，则f (x)必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a| 。(3) 若f (x)的

4、图像有一个对称轴x=a和一个对称中心(b，0)，( a b)， 则f (x)必定为周期函数，其中一个周期为4|b-a| 。3、三角函数正弦sin=l余弦cos=m正切 tan 一：=m余切 cot = mn正害V sec_：= m余割 csc_：=n倒数关系:tan：: cot:商的关系：sin csce1cos；:sec?sin；： 丄 -sec；： ta n：-COS;：CSC;：平方关系：sinl cos2=121 ta n11 cot2= 1cos；： sin；：5仝secc平常针对不同条件的两个常用公式：sinl cos2 一： = 1tan_： cot= 1一个特殊公式：sinsi

5、sin - sin 二-sin sin -二二倍角公式:sin2A = 2sinA *cosA2 2 2cos2A =cos A-sin A =1-2sin Atan2A =2ta nA21-ta n2A半角公式:2 sincos21 -cosa2 2i a = - 1 cosa2 2sinatan - 2) 1 + cosa1 -cosasinacotsina1 cosal2 丿 1 - cosa sina三倍角公式:一一1 、sin3a=4sina sin +a isini -a i2丿13丿cos3a =4cosa*costan3a 二 tanatan+ a icos13丿+a *tan

6、 no，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立（2）第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题 P（ n） 验证n=no时P（n）成立 假设non。)成立，能推出Q(q成立，假设Q(“成立，能推出P(k) 成立。5、初等函数的含义概念：初等函数是由幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常 数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生，并且能用一个解析式表 示的函数。【有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】【基本初等函数：对数函数、指数函数、幕函数、三角函数、反三角函数】6、二项式定理：即二项展开式，即(a+b ) n的展开式(a+b f =Cn0an

7、 +。,&-1+.+Cnkan-k bk +. + Cnnbn其中Cnk称为二次项系数Cnkan-k *bk叫做二次项展开式的通 项，它是第k 1项，用Tk 1表示其中,kCn n -1- k -1 1 k-1 ! *kk-1n-k 1k7、高等数学中代换法运用技巧 倒代换把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替，此种方法被称为“倒代换”法 增量代换若题目中已知xm则引入辅助元x=m+a(a0)，再将辅助元代入题中解题。此种代换方法称为“增量代换法” 三角代换a2 双代换n“ Xlim -:引入两个辅助元进行代换 n：y-8、其他一些知识点(1) 0不是正数，不是负数。是自然

8、数。0是偶数，偶数分为：正偶数、负偶数 和0(2) 正偶数称为“双数”(3) 正常数：常数中的正数(4) 质数：又称“素数”。一个大于 1的自然数，如果除了 1和它自身以外， 不能被其他自然数整除的数，否则称为“合数”。最小的质(素)数是2。1既不是素数，也不是合数。(5) exp：高等数学中，以自然对数e为底的指数函数(6) 在数学符号中，sup表示上界；inf表示下界(7) 三：表示恒等于(8) 0的阶乘是1.阶乘是一个递推定义，递推公式为：n! =n (n-1 )!因为1 的阶乘为1，即1! =1 X 0!，故0! =1【第二部分】函数与极限常用结论(等价无穷小很重要)（1 +x $+

9、nx丄 11 x n _1 xnex _1 x1ex -1 x x 1时成立1 -x1I l n丿e1其中，O,lim v x 二 b a、b为常数XrXox 5Ko11 f x Z ： e一些重要数列的极限:In (卡匚 xex-1 t xax-lTXInaarcs in xarcta nx 丿另一些重要的数列极限:lim 丄=0 k0lim q 0 q v伪常数lim n a =1 a1n nnimoa为常数lim 州=1n_.Xr 0时，sinx r xtanxr x1 - COSXr列举一些趋向于o的函数: q 0 a0, b0, = 0（门心n a1, 0n 丄 0Inn柯西极限存在

10、准则：柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理。给出了极限收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数& ,存在这样的正整数N,使得当mN, nN时就有|x”Xm|v 。这个准则的几何意义表示，数列 Xn收敛的充分必要条件是：该数列中 足够靠后的任意两项都无限接近。设函数f(x )和F(x )满足下列条件： xf a 时，lim f(x)=O, lim F(x)=0; 在点a的某去心邻域内f(x )与F(x)都可导，且F(x)的导数不等于0; xf a时，lim (f(x)/F(x)存在或为无穷大则 x f a 时，lim (f(x)/F(x)= lim (f(x)/F(x)(2) 等价无穷小一般要将变量

11、的取值变为趋向于 0的代数式，如x%,令t=1/x无穷小的概念： 高阶无穷小：当lim A=0时，如果lim (B/A)=0,就说B是比A高阶的无穷小 低阶无穷小：当lim A=0时，如果lim (B/A)=,就说B是比A低阶的无穷小 如果lim ( B/A)=K (Km0,1 )，就说B是A的同阶非等价无穷小 等价无穷小：lim (B/A) =1,就说B为A的等价无穷小(3) 斯托尔茨定理 设数列yn单调增加到无穷大，则(4). f (x)是连续函数:lim f g x L f lim g xX旳X旳(5) 求两个数列之商的极限，在两数列都具有高次项的情况下，可以直接比较 最高次项而忽略较低

12、次项，该原理仅仅限于无穷数列，对于有穷数列不能直取。(6) 分母趋近于0,而分子不为0,其极限不存在或无穷1.1 4c2证明：Xn = Jc +Xn斗,所以哩宀=Xn )()设lim xn二A,对()两侧求极限可 知lim xn二c lim xn4 n )： ：nn ”所以,(8) 在计算极限题目中，若题目中同时出现sinx、arcsinx、或者cosx、arcsosx 时，令 t= sin x 或 cosx(9) 在求极限的过程中如果遇到 n次项等高次项而无法解题时，一般可以通过 借助ex进行消去高次项的运算，有的也可以使用泰勒公式。(10)计算极限时出现出现tan(tanx)或者sin(s

13、in x)的形式，应用泰勒公式计算(11)三个重要的结果若 lim an =a,则 lim a1a2 aanj :若 lim an = a(an0),则 lim n a1 a2.an = an_an 1n n_若 an0, n = 1,2,3,., lim = a,则 lim $an = a n护 ann*(12)有的题目涉及递推公式、数列问题如汁予142n解题思路：2Sn - Sn函数的连续性和间断点问题(1) 如何讨论并确定函数的连续性？ 若该函数是初等函数，则该函数在其定义域区间均连续 若是一元函数，则可对其求导，其导数在某点上有意义则函数在该点必然连续(可导必连续) 求助极限，函数在该

14、点极限等于函数在该点函数值，计算时注意左右极限(2) 间断点问题 间断点的分类: 若lim f(x)二代而f (x)在x = x0处没有定义或者有定义 但f(x)= A,贝V称为f(x)的Xi。可去间断点。若X = X。为函数f (x)的可去间断点，只需补 充定义或改变f (x)在X = x0 的函数值，使f (x)在处连续，此时f(x)已经不是原函数。 若 lim f (x)二 f (x0 ), lim f(x)二 f(x0)。但 f(x0)=f(x0),则称 x = x0 为函数 f (x)x0 .jx -的跳跃间断点，f (x0+) 一 f (x。-)称为跳跃度可去间断点和跳跃间断点统称

15、第一类间断点。第一类间断点的特点是左右极限均 存在 若f (x)在X =X0的左右极限至少有一个 不存在时，X =Xo称为函数f(X)的第二类间 断点如果函数f(x)在区间a,b上仅有有限个第一类间断点，则函数f(x)在区间(a,b上按段连续(3) 致连续与不一致连续一致连续(均匀连续)：设函数f(x)定义在集合x上，若-；0.( ；) 0当 x、 X X且满足|x-x|V-；时，就有| f(x)-f(x”)|V ；，则称f(X)在X上一致连续。定义表明，无论X中的两点X和X位置怎样，只要二者充 分靠近，相应函数值差 的绝对值就可以任意地 小。不一致连续：设函数f(x)定义在集合x上，存在；0

16、0,无论对多么小的0,总 存在 X、X，尽管 |x-x“| 6,但是 I f(X)-f (x)| *0lim f(x)=A 充要条件X X0lim f (x)二 Alim f (x)二 AX=X0 一【第三部分】导数与微分法线斜率和切线斜率相乘等于-1 (切线与法线垂直)6 u2 . un =比u2 . unUi U2 . Un 二 UiU2.Un Ui 论山 Ui 口2山反函数求导：反函数导数X原函数导数 =1或写成：dy=dx | -dxdyy =yo常见的函数的导数（基础函数求导）：c JO c为常数八exln|x -xtan x 1 tan2x = secx(xa)=o( x1x1lo

17、ga -丄 xnasin x = cosxcotx 二-cscxsecx 二 secx tanxcscx 二-cscx cotx1 arcsinex :V1 -x2arccosx 二-arcta nx =11 x2arccotx = -11 x2ax = axna1lnx :xcosx 二-sinx特殊复合函数：y二u xv（x）的求导方法：左七/lzv衣虫下）v u丄VU !T 转化 T y = e fy = U v 4n + IU丿y=f（x）亦称为“零阶导数”（函数的零阶导数就是其本身）=0，满足该恒等式隐函数：F （x，y）=0，y=f（x）带入即可得到F【x，f（x） 即为隐函数国际

18、数学通用标记:c a - f x f x是a、b上的连续函数1Da b- f x f x 在 a、b 上可导:c 证：业二业.史二业二亚dta、bi - f x f x的二阶导数在a、b的区间上连续1D2 a、b丨=f x f x在a、b内二次可导/易错点：求导时，不能将y与f (x)等同。二者导数未必一致【带有绝对值的函数该如何求导？】带有绝对值的函数脱掉绝对值符号后是一个分段函数，应当分段求导。特别应注 意的是，分段点的导数严格来讲，应当按定义来求。【经典题型总结】(1) 设函数f (x)在XM 0时可导，且对任何非零数x, y均有f(x y)=f(x)+f(y), 又f(1)存在。证明当

19、xm0时，f(x河导。证：令 x=1，由 f(x y)=f(x)+f(y)W： f(y)=f(1)+f(y)，所以：f(1)=0对任何xm 0,由题设及导数定义知，- x 1lim f(x 丁-心匚 lim f I x Lf(x) =血少:x)= lim 1 f（1 ：x）-f（1）Jf（i）x 0x xx x=o x x=0 x xj x xx所以函数在f(x)不等于0的时候处处可导（2）在方程 x2 -d-y a1x dy a1x dy a2y = 0（3|, a2为常数）中令 x = et,证明可将 dxdx dxa2y = 0方程化成如下的形式：d y （a1 -1）dydt dx d

20、tdte4dt2dtdte） e1d2y2 dy jteedt2dt原式二e2t(dyedx所以:佝1）巴 a2y = 0dt2dtdx2 e*） a1et de_t a2y = 0dx=_莒吐他、Jdy J dy2 dy ；d2xdy2高阶导数:(1)高阶导数的运算法则 （u +v f）= u（n）+ v（n） （c u书）=c、（u t W其中c为常数） uv P=Cnu（n V（ hCnJ1 Vg.+Cnnu（V（n）& 厲峙严 V）k=e(2)【浅谈高阶导数的求法】高阶导数求法一般包括6种方法，即根据高阶导数定义求之；利用高阶导数 公式求之；利用莱布尼茨公式求之；用复合函数的求导法则求

21、之；用泰 勒公式求之；交叉法，等等。 定义法：运用求导公式，求导法则求导，n阶导数一般比较其规律性 高阶求导公式：把高阶求导公式化为代函数之和，分别求之 莱布尼茨公式求导：当所求导数的函数是两个函数的乘积时， 宜用莱布尼茨公 式求之。特别地，当其中一个函数的高阶导数为 0,可以用此公式求之；两个因 子中，其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时，可以用此公式 。 复合函数求导法：复合函数求导法则还可以推广到多次复合的情形。在求导时,能从外层向内层逐层求导，一直求到对自变量求导数为止。若存在单值反函数，常用复合函数求导法则，求其反函数的高阶导数。【名词释义】单值反函数：若对定义域每一个自变量x,

22、其对应的函数值f (x) 是唯一的，则称f (x)是单值函数。反过来，对于任何一个函数值 y,都有唯一 的一个自变量x与之相对应，则此时称y=f (x)为单值反函数。 泰勒公式求导法f(x)=x3sinx，利用泰勒公式求f(60)4 x6 x8 x10解：f x =x4 -.357二，f60=-l206!3证明题： 证明一函数(隐函数)处处可导：则应先根据题意找出几个关键的点，然后根 据导数的基本公式：lim f(x仏x)-f(x)进行判定 xT x 证明 f (x) =a，即证 F (x)=f ( x)-a=0(3) 部分初等函数的高阶导数x： n =x：-n ：n-1 1(ax S)=ax

23、，(lna J ex n卅-nIn 仲)=(-1 $1 (n -1!(1 +x-nx门n2lnx = -1 in -1 !(sinx /)= sin |x (cosx f)=线性复合公式：f (ax +b)= an f f tax + b )一阶导数：切线斜率二阶导数：曲线曲率关于曲线凹凸性的两个定理及应用设 av xi f (X2)一 f (Xl) f(x2)x2 -x1(2) 若 f (x)的图形在 a,b 上是凹的，则 f(xj f (x2)- f(xi) f(x2)【经典题型总结】3(1 )设 T X=f( t)f ，(存在且 f )工 0,求 d4dxY=t- f (t) -f (t

24、)解答f t t f t -f tt f tf t.f .2、d d yd2ydtgx2 丿(t)1dx2 _ dx 一 ft _f tdtd3y_dt 乎F1?，f”tdx3 dkf t f t 3dt(2)函数的二阶导数等于原函数，求该函数表达式解：设 y| = p, y = y,dpdpdydpdp,yp p y =ydxdydxdydyp dp 二 y dy展开：1 p2 = y22 2则 p =. y2a,即dya a是任意常数2乎二 y2 a dxdy2= dx，即=t dx土 Jy2 +a.y a tx Inb （其中b是任意常数） 通解为：y 、._ y2In y . y2 a

25、 = bex,可得y y . y2e-x，可得yx-x_ b e a e2 2bxxbe a e-22b令，2亦可写为:其中，c2 旦,得通解：2by =sshx c2chx-xc2e双曲正弦双曲正切x -xshx =乞2，双曲余弦2x -xthx二x_，双曲余切e +e-X | -x chx = e 2x -x e ex -x e -ecthx 二（3）f（ x）、g（ x）都可导，且满足：f（ x）=g（ x）、f（ x）=g（x）g（ 0）=1。证明：g2（ x）-f2（ x） =1f（0） =0；证：由上可知，f（X）=f（x）设f（x）- c1ex c2e-x（其中g、c2为任意常数

26、） f 0 =0,. c1 c2 =0, f x = c1ex - c1e-x又 ffxXe-x同理,gx =1g2x-f2x =1【微分：】自变量的改变量等于自变量的微分1x-X2导数又称“微商”dx = x ； dy = A x 二 A dx 二 f x dx.dy x dx微分四则运算：设u=u （X）、v=v （x）在点x处均可微，则u 土 V、uX V u/v （vM 0）在x处都可 微，且：(1) d u 二v =du 二 dv(2) duv =v du u dv特别地，d c u = c du c是常数v du-u dv 小dv2 v = 0 v特别地，d丄=-卑2工0）lv丿v

27、22丄 fX截距的性质：截距不是距离，所以截距是有正负的dx (dx 丿 dx证明 y = f(X ) y“ = (y)= = 2 直=黛 dx拐点：在数学上，拐点是指改变曲线向上或者向下方向的点。直观地说，拐点是 使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。若该曲线的图形函数在拐点有二 阶导数，则二阶导数必为零或者不存在驻点：函数的导数为0的点称为函数的驻点可导、可微、连续、极限之间的关系？可导 可微可导（可微）= 连续= 极限存在 左极限、右极限都存在且相等（箭头反方向的话不一定成立）可导= 左导数、右导数都存在且相等连续= 左连续且右连续+极限值等于函数值连续 极限存在且等于函数值极限存在

28、 左极限、右极限都存在且相等在某点处（左、右）极限是否存在与该点处函数是否有定义无关【第四部分】微分中值定理及导数的应用(1) 费马定理设f ( x)在点X0处取到极值，且f( Xo)存在，贝U f (Xo) =0。(2) 罗尔定理如果函数f(x)满足：在闭区间a,b上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间 端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点E (a E b), 使得 f( E )=0.(3) 拉格朗日中值定理如果函数f(x) 满足：(1)闭区间a,b上连续(2)开区间(a,b)内可导。那 么：在(a,b)内至少有一点 E (a E b)，使等式 f(b)-

29、f(a)=f ( E )(b-a) 成立。(4) 柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可 导；(3)对任一 x (a,b), F(x)工0。那么在(a,b)内至少有一点E，使等式 f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f( E )/F( E )成立。(5) 泰勒公式与麦克劳林公式泰勒公式：若函数f(x)在开区间(a，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区 间内时，可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f(x.)/2! (x-x.)A2,+f(x.)/3! (x-x.)A

30、3+f(n )(x.)/n! (x-x.)A n+Rn其中Rn=f(n+1)( E )/(n+1)!- (x-x.)A(n+1),这里E在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。麦克劳林公式：若函数f(x)在开区间(a，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在 此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)/2!*2,+严(0)/3!W3+f(n )(0)/n! n+Rn其中 Rn=f(n+1)( 9 x)/(n+1)! xA(n+1),这里 0 9 0,则f (x)在区间I上递增 若x I内部，f (x)0，则 f (x)取极小值【误点解析】：使

31、用洛必达法则之后极限不存在，不能直接说原极限不存在双阶乘：相隔的两个数相乘：如5! ! =5X 3X1不动点：g (t) =t的点叫做不动点f (x)g (x) Jf (x)= g (x)1满足此条件，即可证明f (x)、f(x)= g (x)g (x)在 Xo处 n 阶相切f (x) = g (x)f(n) (x) =g(n) (x)曲率:(1)曲率公式为:|yl31 y2 2(2)曲率的中心坐标为:r-2x-yo+y)iy2I y1(3)曲率半径R = -31_y2 2厂(4) 圆的各个位置的曲率是相同的，都是半径的倒数反函数：如果函数的导数不为0，那么该函数在定义域区间上有反函数【例谈微

32、分中值定理辅助函数的构造模式与方法一】辅助函数是解决许多数学问题的有效工具，中值定理及推导过程中用到了演 绎、分析分类等数理逻辑方法和一些具体的方法。如构造辅助函数等等，下面就 介绍几种重要的构造辅助函数的方法。(1) 凑导数法例如：设函数f (x)在【a、b】上连续，在(a、b)内可导，证明：存在 E ( a、b)，使得 2 E【f (b) -f (a)】=(b2-a2) f ( )证明：令 F (x) =x2【f (b) -f (a)】-(b2-a2) f (x)即可(2) 几何直观法例如：如果f (乂)在【0、1】上可导，且0Vf (x)V 1,对于任何x(0,1) 都有f (x)工1,

33、试证在(0,1)有且仅有一点E，使得f ( E ) =E证：令 g (x) =f (x) -x再用反证法证明其唯一性(3) 常数值法(K)在构造函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常用常数K值法来构造辅助函数。这种方法一般选取所政等式中含 E的部分作为K,即将常 数部分分离出来令其得 K,恒等式变形，令一端为a与f(a)的代数式，另一端 为b与f (b)的代数式，将所证等式中的端点值(a或b)改为变量X，移项即 为辅助函数F (X)。再用中值定理，待定系数法等方法确定 K。一般来说，当问 题涉及到高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑运用泰勒公 式。例如：设f (乂)在

34、【a、b】上连续，在(a、b)上可导。Ov av b。试证明b存在一点 (a、b)，使等式 f (b)-f (a) In)令 =f (b)-f (a), f (b) _k Inb 二 f (a)-K Ina In b -In a证：令b=x，得辅助函数：F (x)f (x)-K Inx.F( ) 0, f( )K，所以 K f()。故得证(4) 倒推法这种证明方法从要证的结论出发，借助与逻辑关系导出已知的条件和结论。例如：设f ( x)在【a、b ( Ov av b)上连续，在(a，b)内可导，且f (a) b， f (b) = a。证明：在(a， b)内至少存在一点，使 f ( ) = -f

35、 )证：构造函数：f (E +f ( E) =0即可(5) 乘积因子法对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关系的证明。直 接构造函数往往比较困难，将所证的结论两端同时乘以或除以一个恒为正或负 的函数，证明的结论往往不受影响。e x(，是常数)是一个很好的 因子例如：若f (x)在【a、b上连续，在(a、b)内可导，且f (a) =f ( b)=0证明：(a, b),使f( ) f ()证：结论两侧同时乘，以然后伶(x) e-xfx)-e- -f (x)(6) 介值法证明中，弓I入辅助函数g (x) =f (x) - n x。将原问题转化为【a、b 内可导函数g (x)的最大值或最

36、小值至少有1个必在内点达到，从而可通过 g (x)在【a, b上的可导条件，直接运用费马定理完成证明。例如：证明若f (x)在【a，b上可导，则f (x)可取到f (a)与f (b) 之间的一切值证明：卜(a), f(b)令 g (x)= f (x)x由f (x)的性质,g ( x) 在 a、b上可导，且 g(x)二f (x)-由的性质，有g (a)穏(b)v0.不妨设 g(a)0,即卩 lim g ( x)g ( a) 0t x-a由极限性质知，S0使得当x US1 (a)时，g ( x) g (a)即g ( a)不是g ( x) (x ( a, b)的最大值。同理，g (b)也不是 所以一

37、定存在一点X。，使得f (X。)= 0. f (X。)=。得证(7) 分离变量法拉格朗日与柯西中值定理常用来解决多个中值的问题。以两个中值的情况 为例说明如下：若要证明存在E、n (a, b),使得f ( a, b, E, n ) =0.则通常应将 函数f ( a, b, E, n) =0改写成“变量分离”的形式，即h ( a, b) = 5 ( E) (n)或者 h ( a, b) = 5 ( E) + 5 (n)的形式，然后观察 5 (E)、5 ( n) 是否分别拉格朗日公式的右侧。例如：设 g (x)0, g(x)=Oo( a 乞 xb)，则存在-(a, b)g(b)使得：g( )f (

38、b) - f (a) l- g( )ln g(a)证明：将待证明结论转 变为:f (b)- f(a) =_LL1,令g(x)=|ng(x)_g(bHgC)mILg(a)g()1G(x) =一g(x),对f (x)和g(x)应用拉格朗日定理得：(a,b)g(x)f(b)- f(a)b - a= f(),即Ing(b)Ing(a)bag()f(b)-f(a)又 f()Ing(b)_lng(a)飞()g() b -a故得证【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法二】(1) 使用罗尔定理时用“积分法”或“解微分方程法”构造辅助函数。使用“积分法”构造辅助函数的基本步骤：将结论等式中的E换成x :对第

39、一步的结果进行变形，使两边求积分；两边求不定积分；把第三步的结果化成C=F(x)的形式，其中C为任意常数，且f (x)中不含有C;最后的F(x) 就是所要构造的辅助函数。例如：设f (x )在la, b止连续，在la, b内可导，其中a1,且f(a)=Ob证明在(a,b)内至少存在一点 ，使f( )= f()a分析：将结论等式中f)二一 f()的都换成X,得到f (x)=匕2 f(x)aa再变形为 a = f (x),两边积分得：-aln(b-x)Tnc=ln f(x) b-x f (x)-c =(b-x)a f (x),求得辅助函数为：F (x) = (b-x)a f (x)证：设F(x)

40、=(b -x)a f (x),因为F (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导， 且F(a) =0 =F(b),所以由罗尔定理知，存 在(a,b)，使得F)=0 所以：F( ) a (b - )a f ( ) (b -)a f( )0所以：f(a(2) 使用拉格朗日定理用“单边积分法”构造辅助函数。所谓的单边积分 法就是： 若所要证明的等式中只含有E，就是把有E的函数式与常数项分离到两 边，将E换成x后进行单侧积分求出原函数即为辅助函数。 若所要证明的等式中含有E和n,就把含有E的函数式与含有n的函数 式分离到等式两边，将E换成x后进行单侧积分求出原函数即为辅助函数；将n换成x后进行单侧积分求出原函数即为另一辅助函数。f( f