高考综合复习专题二十四解析几何中的范围问题研究性学习之二

1、学习好资料欢迎下载高考综合复习专题二十四解析几何中的范围问题（研究性学习之二）在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、 长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此，一般情况下的解题 思路，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里，我们 对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。一、题设条件中的不等式关系 ”之运用事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为 探索或寻觅范围

2、的切入点而提供方便。在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往 成为解题的关键环节.例1、（2004浙江卷）已知双曲线中心在原点，右顶点为A（ 1，0），点P、Q在双曲线右支上，点M （m , 0）到直线AP的距离为1.I半冬佝（1） 若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；（2） 当 J 1时，AAPQ的内心恰好是点 M,求此双曲线方程.分析：对于（1），已知直线AP的斜率k的取值范围，要求m的取值范围，首先需要导岀k与m的关系式；对于（2）， 则要利用三角形内心的性质，三角形内心到三边距离相等；三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线；三角形 面积等于

3、半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺解：（1）由已知设直线 AP的方程为y = k（x 1），即kx y k= 0 点M到直线AP的距离为1|k|e,V3,3. + 1胸 空解得-或-1-寥山+李気所求m的取值范围为-（2）根据已知条件设双曲线方程为当-1 时，点M的坐标为（匸）. A(1,0),点M到直线AP的距离为1, APQ的内切圆半径 r= 1 , :丄 PAM = 45 1 的方程，注意到这里题设条件与点P的密切关系，故考虑从求点P坐标突破.解:（1）由题设知卿+10棋0,且盘-J刪斗1-1芒-廉设点P坐标为 - ，则有=将与亡一-”亠片1联立，

4、解得2/ m0，且二 n1即所求m的取值范围为lg(2)右准线L的方程为则心二朋+i设点也+ 1d用(i)将代入得糾=2又由题设知 二由得協+ J骸-1 = 2-柘，无解.(ii)将代入得由此解得m = 2由题设得 ”科二片从而有-于是得到直线 _二的方程为 丁;“ -点评：对于(1)，解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式 1 1 对于(2),以求解点P坐标-为方向，对已知条件的基本策略.进行数形转化”，乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简二、圆锥曲线的有关范围”之运用我们在学习中已经看到，椭圆、双曲线和抛物线的范围”，是它们的第一几何性质。事实上，我们研究范围”，一在于认知：认

5、知圆锥曲线特性；二在于应用：应用”它们来解决有关问题。例、以为焦点的椭圆一 一与x轴交于A，B两点(1) 过二 作垂直于长轴的弦 MN，求/ AMB的取值范围；(2) 椭圆上是否存在点P,使/ APB = 120 ?若存在，求岀椭圆离心率e的取值范围解：(1)基于椭圆的对称性，不妨设定二为右焦点，M在第一象限，则易得设 A( a,0)，B(a,0)，则/ AMB 为直线 AM 至U BM 的角,a(c- a)利用公式得I匚八-丄此时注意到椭圆离心率的范围：0e1，.由得- AAMB 0，y0y仙120口0_羽=曽逐1 +比ze上阳1 , 尸根据公式得学习好资料欢迎下载整理得!.宀/(I召又这里

6、y =代入得.丄宀厂：此时注意到点 P在椭圆上，故得-2辰只八2由得：由得-于是可知，当N 时，点P存在且此时椭圆离心率的取值范围为当J 时，点P不存在.三、一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用在直线与曲线相交问题中， 直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由 相关一元二次方程有二不等实根 ”来体现。因此,对于有关一元二次方程的判别式0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导岀该量的不等式的原始不等关系。例1、已知椭圆的一个顶点A(0, - 1)，焦点在x轴上，且右焦点到直线 上计的距离为3,若斜率不为0的直线丨与椭圆交于不同两点 M、N，使M、N关于过A点的直线对

7、称，求直线丨的斜率取值范围。解：(既设又解)设右焦点F(c,0)，则由又b= 1,二丿椭圆方程为设直线丨的方程为y = kx + mM (町(处j吋点P(心丿J将代入得由题意A C - wj3 +1 0(0)鬲x2 - 一51 3 3fc2+l J-3km/a二耳+牌二点P坐标为又根据题意知)DM、N关于直线AP对称，故有丸】+十3km屮_Ll3 - ()2 +1D(此 w 0)于是将代入得- W - 2七一1艺0(庄泊0)w -1 t 0或0 k / 1,故由得：r: - :4因而得1a3由解岀 上代入并利用得梵殳 + 仏亠5 s 0(1 0(1 a 3) t(r3 1(1 5另一方面，再注

8、意到-： 匸-再由得4al a 3) 9 位因此有-即所求椭圆c的长轴的取值范围为-点评：欲求圆锥曲线的某个重要参数的取值范围，需要利用或挖掘题目中的不等关系.在这里，我们由-二导岀关于a、b的等式之后，一方面利用了本题中人们熟知的A0确定的不等式，另一方面又利用了颇为隐蔽的新设方程中的大小关系：ab0，双方联合推岀 2a的范围.这里的不等关系的充分挖掘与应用，乃是解题成功的关键四、点在圆锥曲线内部的充要条件”之运用所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点 等。因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。

9、其中，常用的充要条件为：点岖（孔小）在圆只+护+刀工+矽+ * mD内部Ok/+D心+砌+ F 3 b 0）內部0第一牛 1, ba b点岖仇在抛物线戸=2px(p 切内部 2%个交点为B,例、已知椭圆的焦点为 r- 1 ，过点亠且垂直于x轴的直线与椭圆的 冈引+ 1码创i，又椭圆上不同两点a、C满足条件：冈如玛於禹创成等差数列(1) 求椭圆的方程；(2) 设弦AC的垂直平分线方程为 y = kx +m,求m的取值范围.解:(1)由题设得2a= 10, c = 4二 a= 5 , b= 3 , c= 4椭圆方程为 -：(2)(设而不解)设.则由题意得匸: I7 -1 2(a -4e) = (a

10、 晒)+ (a-吒)故有点/ A、C 在椭圆：- 上.“ : -:-两式相减得- 1 * - -94由及所设得1-弦AC的垂直平分线方程为学习好资料欢迎下载169由题意得注意到当x = 4时椭圆上点的纵坐标为-1 ，又点在椭圆内部准线的距离与成等比数列，求离心率e的取值范围所求的取值范围为点评：此题解法充分体现了以我为主”勺思想。以我为主：以我所引入的参数诠释已知条件，以我所引入的参数构造弦的斜率，以我对这一解的认知决定解题策略，本解法以运用自设参数为主而将所给的y = kx + m放在十分次要的位置，从而使我们一直沉浸在所熟悉的探索中，待抬头看题设时，解题已经胜利在望。想一想：这里为什么可以

11、不用直线 方程y = kx + m与椭圆方程联立。五、圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系”之运用相等”与 不等”是辩证的统一，根据 相等”与 不等”之间相互依存的辩证关系，椭圆与双曲线定义中显示了明朗的相等”关系，那么必然蕴含这隐蔽的不等”关系。因此，对于椭圆或双曲线的探求范围问题，适时认知并发掘出本题的不等关系，往往成为解题成败的关键环节。圆锥曲线的定义中隐含的不等关系主要有：设点F为椭圆C上一点，则有隔|-|尸耳|莖/皴I刃lI + 區釘工加i殳点P为双曲线C上一点.则有|丹；|十|尸耳|亘2芒或|旧|-如任2囊-亠，若在其左支上存在点P且点P到左罕-务= 1(* 6 A 0)例、已知双曲线-的左、右焦点分别为分析：寻求e的范围的一般途径为(1) 认知或发掘出本题的不等关系；(2) 将(1)中的不等关系转化为关于 a,b,c的不等式；(3) 将(2)中的不等式演变为关于 e的不等式，进而通过解这一不等式导出所求范围PR. PF.I PFA-FFJ = 2a其中，有关双曲线上点 P处的两条焦点半径-的问题，定义中明朗的等量关系：丄J是认知或求值的理论基础；而定义中隐蔽的不等关系：亠丄一一二