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文档简介
1、2.3.1(一) 直线与平面垂直的判定,一个人走在灯火通明的大街上,会 在地面上形成影子,随着人不停的走动, 这个影子忽前忽后、忽左忽右,但是无 论怎样,人始终与影子相交于一点,并 始终保持垂直.,复习引入,讲授新课,1. 直线和平面垂直的定义,讲授新课,如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直,则直线l与平面互相垂直,记作 l.,1. 直线和平面垂直的定义,讲授新课,如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直,则直线l与平面互相垂直,记作 l. l叫平面的垂线,叫直线l的垂面.,1. 直线和平面垂直的定义,讲授新课,如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直,则直线l与平面互相垂直,记作 l.
2、l叫平面的垂线,叫直线l的垂面. 直线与平面垂直时,它们惟一的公共点P 叫做垂足.,1. 直线和平面垂直的定义,讲授新课,如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直,则直线l与平面互相垂直,记作 l. l叫平面的垂线,叫直线l的垂面. 直线与平面垂直时,它们惟一的公共点P 叫做垂足.,1. 直线和平面垂直的定义,举例:生活中直线与平面垂直的现象有 哪些?,举例:生活中直线与平面垂直的现象有 哪些?,提问:你觉得垂直的依据是什么?,举例:生活中直线与平面垂直的现象有 哪些?,提问:你觉得垂直的依据是什么?,思考:给定一条直线和一个平面,如 何判定它们是否垂直?,n,m,l,2. 直线和平面垂直的判
3、定,B,定理:一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直,则这条直线与该平 面垂直.,l,2. 直线和平面垂直的判定,符号语言:,若lm,ln,mnB, m,n,则l.,练习 如图,在长方体ABCD-ABCD中, 与平面BCCB垂直的直线有 ; 与直线AA垂直的平面有 .,B,D,C,A,B,A,D,C,例1 已知ab,a,求证:b.,a,b,b,例1 已知ab,a,求证:b.,m,a,b,n,例1 已知ab,a,求证:b.,m,a,b,n,线面垂直线线垂直线面垂直,例2 在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ABBC,PA=AB,D为PB的中点,求证:ADPC.,直线与平面垂直的判定方法:,
4、1.定义;,2.定理;,3.两条平行线中的一条与平面垂直, 则另一条也与这个平面垂直.,线面垂直线线垂直,课堂小结,瀛海学校 杨宇,2.3.1(二)三垂线定理,一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足。,斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影;,斜线上任意一点在平面上的射影,一定在斜线的射影上。,2.斜线,斜线段,AC在的射影,已知PO是平面的斜线, PA 、AO是PO在平面上的射影。a ,aAO。 求证: aPO,在平面内的一条直线,如果和这
5、个平面的一条 斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。,三垂线定理,证明:,aPO,PA a ,AOa,a平面PAO,PO平面PAO,PA a,三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。,aPO,PA OA是PO在内的射影 a AO a ,由三垂线定理,三垂线定理包含几种垂直关系?,线影垂直,线面垂直, 线斜垂直,直 线 和 平面垂直,平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直,平面内的直线和平面的一条斜线垂直,例1 已知P 是平面ABC 外一点, PA平面ABC ,AC BC, 求证: PC BC,证明: PA平面ABC AC是PC在平面AB
6、C上的射影 BC平面ABC BC AC 由三垂线定理得 BC PC,例2 直接利用三垂线定理证明下列各题:,(1) PA正方形ABCD所在平面,O为对角线BD的中点 求证:POBD,PCBD,(3) 在正方体AC1中,求证:A1CB1D1,A1CBC1,(2) 已知:PA平面PBC,PB=PC,M是BC的中点, 求证:BCAM,(1),(2),(3),三垂线定理解题的关键:找三垂!,怎么找?,一找直线和平面垂直,二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直,注意:由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件,解题回顾,线影垂直,线斜垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面
7、内的射影垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,三垂线定理的逆定理,?,在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么,它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理的逆定理,aAO,PA OA是PO在内的射影 a PO a ,由三垂线逆定理,三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么,它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。,定 理,逆 定 理,例4 在四面体ABCD中,已知ABCD,ADBC 求证:ACBD,BCDO,于是ADBC.,证明:作AO平面BCD于点O, 连接BO,CO,DO,则BO, CO,DO分别为AB,AC, AD在平面BCD上的射影。,O,ABCD,CD 面BCD,,同理BDCO,,于是O是BCD的垂心,,由三垂线逆定理CDBO,
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