巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题

1、巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题【例1】求 y=x+3+x+2+x+1+x+x-1+x-2+x-3的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少？ 初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。 绝对值的代数意义：a=a, (a0)；a=a, (a0)。 绝对值的几何意义：a是数轴上表示数a的点到原点的距离。众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b（ab)，则A,B之间的距离：AB=a-b（如图1）。设点X在数轴上表示的点为x,则x-a+x-

2、b表示点X到点A和点B的距离之和：XA+XB，由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么XA+XB可以取到最小值AB，即：当axb时，x-a+x-b取最小值a-b； 同样，设点C在数轴上表示的点为c，（abc)，则x-a+x-b+x-c表示点X到点A、点B和点C的距离之和：XA+XB+XC，由图3可以看出，如果X落在B点，那么XA+XB+XC可以取到最小值AC，即：当x=b时，x-a+x-b+x-c取最小值a-c。 一般说来，设f(x)=x-a+x-a+x-a+x-an，其中aaan，那么：当n为偶数时，fmin(x)=f(a)，其中an/2aan/2+1；且f(a)=(an-a1)+(an

3、-1-a2)+(an/2+1-an/2)=(an+an-1+ an/2+1)-(a1+a2+an/2)当n为奇数时，fmin(x)=f(a（n+1）/2)；且f(a)=(an-a1)+(an-1-a2)+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】=【an+an-1+ a(n+1）/2+1】-【a1+a2+ a(n+1）/2-1】也就是说，偶数个绝对值相加，当x处于最中间的两个点所表示的数之间时，其值为最小，x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加，当x等于最中间那个点所表示的数时，其值为最小，x只有一个取值。利用这个原理来解决【例1】的问题将非常容易地得到结论：y=x-（-3）+x-（-2）+

4、x-（-1）+x-0+x-1+x-2+x-3，所以x=0时y最小，最小值为12。下面我们利用这一原理解决更多的问题。【例2】已知y=x+1+2x-1+x-2，求y的最小值。【解】y=(2x+1+6x-1+3x-2)=（x-（-1）+x-（-1）+x-1+x-1+x-1+x-1+x-1+x-1+x-2+x-2+x-2）有11个绝对值相加，11为奇数，当x=a5，即x=1时，y最小为：(21+1+31-2)=（4+3）=7/3【例3】已知a+3+a-5=8，求a的取值范围。【解】当-3a5时，a+3+a-5的最小值为8，a的取值范围是-3a5【例4】已知2a+1+a-2+b+1+4b-5=9，求ab的值。【解】2a+1+a-2=a+1+a+1+a-2，当a=-1时，最小值为3；b+1+4b-5=b+1+b-5+b-5+b-5+b-5，当b=5时，最小值为6，2a+1+a-2+b+1+4b-59，只有当a=-1，b=5时，原式=9，ab=（-1）5=-1【例5】如图4，一条公路旁有6个村庄，分别为A，B，C，D，E，F，现在政府要在公路边建一个公交站，请问建在哪一段比较合理？【分析】所建公交站应该到各村的距离之和最小，以公路为数轴，设A，B