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文档简介
1、.学生 个 性 化 教 学 辅 导 教 案学校年级科目教师日期时段次数课题能被4、8、9整除的数的特征教学重点难点重点:能被4,8,9整除的数的特征难点:能被4,8,9整除的数的特征教学步骤及教学内容一、作业检查:二、课前热身: 三、内容讲解:数的整除具有如下性质:性质1 如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除。例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除。性质2 如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如,21与15都能被3整除,那么2115及21-15都能被3整除。性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数
2、整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9763整除。利用上面关于整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性,我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来:(1)一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个,那么这个数就能被2整除。(2)一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除。(3)一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除,那么这个数就能被3整除。(4)一个数的末两位数如果能被4(或25)整除,那么这个数就能被4(或25)整除。(5)一个数的末三位数如果能被8(或1
3、25)整除,那么这个数就能被8(或125)整除。(6)一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除。其中(1)(2)(3)是三年级学过的内容,(4)(5)(6)是本讲要学习的内容。因为100能被4(或25)整除,所以由整除的性质1知,整百的数都能被4(或25)整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和,所以由整除的性质2知,只要这个数的后两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。这就证明了(4)。类似地可以证明(5)。(6)的正确性,我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。837800307810031078(991)3(91)7899
4、83937(89939)(837)。因为99和9都能被9整除,所以根据整除的性质1和性质2知,(89939)能被9整除。再根据整除的性质2,由(837)能被9整除,就能判断837能被9整除。利用(4)(5)(6)还可以求出一个数除以4,8,9的余数:(4)一个数除以4的余数,与它的末两位除以4的余数相同。(5)一个数除以8的余数,与它的末三位除以8的余数相同。(6)一个数除以9的余数,与它的各位数字之和除以9的余数相同。例1 在下面的数中,哪些能被4整除?哪些能被8整除?哪些能被9整除?234,789,7756,8865,3728.8064。解:能被4整除的数有7756,3728,8064;
5、能被8整除的数有3728,8064; 能被9整除的数有234,8865,8064。例2 在四位数562中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除?解:如果562能被9整除,那么56213应能被9整除,所以当十位数是5,即四位数是5652时能被9整除;如果562能被8整除,那么62应能被8整除,所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672时能被8整除;如果562能被4整除,那么2应能被4整除,所以当十位数是1,3,5,7,9,即四位数是5612,5632,5652,5672,5692时能被4整除。到现在为止,我们已经学过能被2,3,5,4,8,9整除的数的特征。根据整
6、除的性质3,我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如,判断一个数能否被6整除,因为623,2与3互质,所以如果这个数既能被2整除又能被3整除,那么根据整除的性质3,可判定这个数能被6整除。同理,判断一个数能否被12整除,只需判断这个数能否同时被3和4整除;判断一个数能否被72整除,只需判断这个数能否同时被8和9整除;如此等等。例3 从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列。解:因为组成的三位数能同时被2,5整除,所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征,数字和270与570都能被3整除,因此所求的这些数为270,570,720,750。
7、例4 五位数能被72整除,问:A与B各代表什么数字?分析与解:已知能被72整除。因为7289,8和9是互质数,所以既能被8整除,又能被9整除。根据能被8整除的数的特征,要求能被8整除,由此可确定B6。再根据能被9整除的数的特征,的各位数字之和为A329BA3f296A20,因为lA9,所以21A2029。在这个范围内只有27能被9整除,所以A7。解答例4的关键是把72分解成89,再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上,应先确定B所代表的数字,因为B代表的数字不受A的取值大小的影响,一旦B代表的数字确定下来,A所代表的数字就容易确定了。例5 六位数是6的倍数,这
8、样的六位数有多少个?分析与解:因为623,且2与3互质,所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由六位数能被2整除,推知A可取0,2,4,6,8这五个值。再由六位数能被3整除,推知3ABABA33A2B能被3整除,故2B能被3整除。B可取0,3,6,9这4个值。由于B可以取4个值,A可以取5个值,题目没有要求AB,所以符合条件的六位数共有5420(个)。例6 要使六位数能被36整除,而且所得的商最小,问A,B,C各代表什么数字?分析与解:因为3649,且4与9互质,所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数能被4整除,就要能被4整除,因此C可取1,3,5,7,9。要使所得的商最小,就要使这
9、个六位数尽可能小。因此首先是A尽量小,其次是B尽量小,最后是C尽量小。先试取A=0。六位数的各位数字之和为12BC。它应能被9整除,因此BC6或BC15。因为B,C应尽量小,所以BC6,而C只能取1,3,5,7,9,所以要使尽可能小,应取B1,C5。当A=0,B=1,C5时,六位数能被36整除,而且所得商最小,为150156364171。四、课堂小结 【知识归纳】数的整除具有如下性质:性质1 如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除。性质2 如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么
10、这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。能被4,8,9整除的数的特征: (1)一个数的末两位数如果能被4(或25)整除,那么这个数就能被4(或25)整除。(2)一个数的末三位数如果能被8(或125)整除,那么这个数就能被8(或125)整除。(3)一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除。 (4)一个数除以4的余数,与它的末两位除以4的余数相同。 (5)一个数除以8的余数,与它的末三位除以8的余数相同。 (6)一个数除以9的余数,与它的各位数字之和除以9的余数相同。五、作业布置 1能被4,8,9,24,36,72中的哪几个数整除?2个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个?3一些四位数,百位上的数字都是3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整除又能被3整除。在这样的四位数中,最大的和最小的各是多少?4 五位数能被12整除,求这个五位数。
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