专题勾股定理培优版综合

1、专题 勾股定理在动态几何中的应用.勾股定理与对称变换(一)动点证明题1.如图，在 ABC中, AB=AC若P为边BC上的中点，连结 AP,求证：BPX CP=aW-AP;(1)(2)若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗若成立请证明，若不成立请说明(3)若P是BC边延长线上一点，线段 AB AP、BP CP之间有什么样的关系请证明你的结论.(二)最值问题AB(1)求证： AMBs ENBB任意一点,PI k(2)当M点在何处时，AW CM的值最小;当M点在何处时，AW BWCM的值最小，并说明理由;(3)当AW BW CM的最小值为.3 1时，求正方形的边长.4.问题：如图，在 ABC中，

2、D是BC边上的一点，若/BA=Z C=2Z DA(=450，DC=2求BD的长小明同学的解题思路是：禾U用轴对称，把 ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决.BANDEMCECEBC MBM2.如图，E为正方形ABCD勺边AB上一点，AE=3，BE=1, P为AC上的动点，则PBfPE的最小值是 3.如图，四边形ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线将BM绕点B逆时针旋转60得到BN连接EN AM CM.(1)请你回答：图中BD的长为_；BC(2)参考小明的思路，探究并解答问题：如图，在ABC中, D是BC边上的一点，若/ BAD=/ C=2Z DAC=30 , DC=2

3、求 BD和 AB的长.图图二.勾股定理与旋转5阅读下面材料：BC为边在BC的下方作等边 PBC求AP的最大值。小伟是这样思考A:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.到 A BC,连接AA,当点CB：心将 ABP逆时针旋转60请你回答:B弋值是参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题:果可以不化简）如图3，等腰Rt AB边 AB=4,PABC内部一点,A他的方法是以点B为旋转中落在识C上时，此题可解（如图2）.C则AP+BP+C的最小值是（结6.如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3 BP=4 CP=5求/ 图1变式 1: ?ABC中, / ACB=9Oo AC=BC 点 P 是？ABC

4、内一点，且B的度数.CA的度数曰他将C变式2:问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA： PB： PC=1：P2 : 3，小娜同学的想法是：不妨设 PA=1，PB=2, PC=3,设法把PA PB7F BCP绕点B顺时针旋转90得到 BAE（如图2）,然后连结戸3问题得请你回答：图2中/APB的度数为请你参考小娜同学的思路，解决下列问题:小伟遇到这样一个问题：如图1,在厶ABC（其中/ BAC是一个可以变化的角）中，AB=2 AC=4以如图3, P是等边三角形ABC内一点，已知/ APB=15,Z BPC=25.（1） 在图3中画出并指明以PA PB PC的长度为三边长的一个三角形（保留

5、画图痕迹）；（2）求出以PAPBPC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 图1图2图37.已知Rt ABC中, / AC住90, CA=CB有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE CF分别与直线AB交于点M N.（1）当扇形CEF绕点C在/ACE的内部旋转时，如图，求证： MN2 AM2 BN2；（2）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式 MN 证明；若不成立，请说明理由.变 式 1 :女口 图， 在 Rt ABC 中BAC 90 , AC AB, DAE 45AM 2 BN2是否仍然成立若成立，请F图且 BD 3, CE 4,贝U DE = 变式

6、2:如图，在Rt ABC中，AB AC , D、E是斜边BC上两点，且/ DAE=45，将 ADC绕点A顺时针旋转90后，得到 AFB，连接EF，下列结论: 厶 AED AEF ; 厶 ABE = ACD ; BE DC DE ; BE2 DC2 DE2其中正确的是（）A.；B ；C ； D.（三）其它应用7.在厶ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的 边长为1），再在网 格中画出格点 ABC （即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示这样不需求 ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.（1） 请你将 ABC的面积直接

7、填写在横线上 ;思维拓展：（2）我们把上述求 ABC面积的方法叫做构图法.若 ABC三边的长分别为 Qa、Ti3a、（a 0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为 a ）画出相应的 ABC，并 求出它的面积填写在横线上 ;探索创新：（3）若厶ABC中有两边的长分别为 返a、M0a （ a 0 ），且厶ABC的面积为2 a2，试运用构图 法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的 ABC（全等的 三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上.8.已知/ AB（=90,点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB AP为边在 / ABC的内部作等边 ABEH APQ连结QE并延长交BP于点F.（1） 如图1,若AB=2 3，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时 EF