关于行列式的一般定义及计算方法

1、.关于行列式的一般定义和计算方法n阶行列式的定义n阶行列式=（1）2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和; (2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。即=；行列式对行满足的性质对列也同样满足。性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如:

2、 D=ad-bc , =bc-ad= -D以r表第i行，C表第j列。交换i,j两行记为r,交换i,j两列记作CC。性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。（第i行乘以k，记作r）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。性质5：如果行列式D的某一行（或某一列）的

3、所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。=+性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。推论 如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m个数之和(m2)，则此行列式等于m个行列式之和。一个n阶行列式，如果它的元素满足：；试证：当n为奇数时，此行列式为零。每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）nD性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。按行：按列：将性质7 与Laplace定理合并为下列结论： （1） 和 （2）行列式的计算1利用行列式定义直接

4、计算例1 计算行列式解 Dn中不为零的项用一般形式表示为.该项列标排列的逆序数t（n1 n21n）等于，故2利用行列式的性质计算例2 一个n阶行列式的元素满足则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由知，即故行列式Dn可表示为由行列式的性质当n为奇数时，得Dn =Dn，因而得Dn = 0.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例3 计算n阶行列式 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不变，得4降阶法降阶法是按

5、某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例4 计算n阶行列式解 将Dn按第1行展开.5逆推公式法逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn1或Dn与Dn1, Dn2之间的一种关系称为逆推公式（其中Dn, Dn1, Dn2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。例5 证明 证明：将Dn按第1列展开得 由此得递推公式：，利用此递推公式可得6利用范德蒙行列式例6 计算行列式解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此类推直到把新的

6、第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式7加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。例7 计算n阶行列式 解： （箭形行列式）8数学归纳法例8 计算n阶行列式解：用数学归纳法. 当n = 2时 假设n = k时，有 则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得由此，对任意的正整数n，有9拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。例9 计算行列式 解：上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结

7、，才能更好地掌握行列式的计算。(1); 证明 . 关于行列式的消项（其中C代表列R代表行）(2)=(a-b)3; 证明 =(a-b)3(3) =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d); 证明 （c2 ,c3 ,c4减数字去第一列的） =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). (4)=xn+a1xn-1+ +an-1x+an . 证明 用数学归纳法证明. 当n=2时, , 命题成立. 假设对于(n-1)阶行列式命题成立, 即 Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ +an-2x+an-1, 则Dn按第一列展开, 有

8、=xD n-1+an=xn+a1xn-1+ +an-1x+an . 因此, 对于n阶行列式命题成立. 6. 设n阶行列式D=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转, 依次得 , , , 证明, D3=D . 证明因为D=det(aij), 所以 . 同理可证 . 7. 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式): (1), 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0; 解 (按第n行展开) =an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 , 再将各列都加到第一列上, 得 =x+(n-1)a(x-a)n-1.(3); 解

9、 根据第6题结果, 有 此行列式为范德蒙德行列式. 例3 练习3：证明: . 证明：左边从最后一行开始，每行减去上一行，得到： 1 2 3 . n-1 n 1 1 1 . 1 1-n . . . . 1 1-n 1 . 1 1 然后做列变换，从各列中减去第一列，得到： 1 1 2 . n-2 n-1 1 0 0 . 0 -n . . . . 1 -n 0 . 0 0 再把各列乘以(1/n)，加回到第一列，得到： (n+1)/2 1 2 . n-2 n-1 0 0 0 . 0 -n . . . . 0 -n 0 . 0 0 最后沿第一列展开得到结果是(1/2)*(n+1)*nn-1*(-1)(n-1)(n-2)/2enjoythetrustof得到.的信任have/puttrustin信任intrust受托的，代为保管的take.ontrust对.不加考察信以为真truston信赖giveanewturnto对予以新的看法