《概率论与数理统计》第二章习题解答

1、第二章随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X，则X的可能值为；投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保一年内没有死亡：0,概率为1-0.0002-0.0010=0.9988所以X的分布律为：2500000.0002.0010.9988X表示取2、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5,在其中同时取三只,出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3，4，5,分布律为也可列为下表X： 3 ， 4 ， 5P：10 10 103、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表

2、示取出次品的只数，(1)求X的分布律，(2)画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数 X可能为0，1, 2个P(X 1)c； *cA1235P(X 2)c；C；3c1 2 3c15135再列为下表X：0 ， 1 ， 2p. 丝12丄:35 ， 35 ， 354、进行重复独立实验，设每次成功的概率为P，失败的概率为q =1- p(0pY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=

3、2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=C31 0.6 (0.4)2 (0.3)3 C32 (0.6)2 0.4 (0.3)8经验收无次5 件，仅9、有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10 件，品接受这批产品，次品数大于 2 拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取 当 5 件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率（2）需作第二次检验的概率（3）这批产品按第 2 次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第 1 次检验未能做决定且第二次检验时被通过

4、的概率（5）这批产品被接受的概率解：X表示10件中次品的个数，丫表示5件中次品的个数，由于产品总数很大，故 XB（10， 0.1 ）， YB（5， 0.1 ）（近似服从）（1）P X=0=0.910 0.349（2） P X2=P X=2+ P X=1= c100.120.98 C；00.10.99 0.5815（3）P Y=0=0.90.590（4） P 0X2, 丫=0（0Xw2与 丫=2独立）= P 0X4) = 1 Fx e 1.6(3) P3 分钟至 4 分钟之间= P 3X 4=Fx Fx(3) e 1.2 e 1.6(4) P至多3分钟或至少4分钟= P至多3分钟+P至少4分钟=

5、1 e 1.2 e 1.6(5) P恰好 2.5 分钟= P (X=2.5)=020、设随机变量X的分布函数为Fx(x)0,x 1,In x,1 x e,1,x e.求(1) P (X2), P 0X3, P (2X52); (2)求概率密度 fx (x).解：(1) P (X 2)=Fx (2)= ln2 , P (0X 3)= Fx (3) Fx (0)=1 ,(2) f(x) F(x)e,0,其它21、设随机变量X的概率密度f (x)为(1) f(x)x21 x 1其它x 0 x 1(2) f (x)2x1x20 其他求X的分布函数F (x)，并作出(2)中的f ( x)与F (x)的图

6、形。解：(1)当一K x 1 时：112 I2 x当 1 1)。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为因此 丫B(5,e2).即 P(Y k) 5 e 2k (1 e2)5k,(k 1,2,3,4,5kP(Y 1) 1 P(Y 1)1 P(Y 0)1(1 e 2)51(1 y9)51(1 0.1353363)5510.8677510.48330.5167.25、设K在(0, 5) 上服从均匀分布，求方程4x2 4xK K 2 0有实根的概率0 K 5其他(K+2) 0。1TK的分布密度为：f(K)0要方程有根，就是要K满足(4 0 2 4X 4X解不等式，得K2时，方程有实根。5 0dx

7、 I5 1P(K 2) f(x)dxdx2 2 526、设 XN (3.22)(1) 求 P (2X 5)，P ( 4)X2，P (X3)若 XN2)，贝u P ( aXWB )= 丄P (2X 5) = (T(T= (1) ( 0.5)=0.84130.3085=0.5328P ( 4X2)=1 P (| X2)= 1 P ( 2 P3)=1 P (X C )=P (X C )=1 P (XC )= P (XC)得P (X C )=-2=0.5又P (XC )= 宁0,查表可得宁0 C =327、某地区18岁的女青年的血压(收缩区，以mm-Hg计)服从n(110,122)在该地区任选一一 1

8、8岁女青年，测量她的血压 X。求(1) P ( X 105), P (100X x) 0.05.解： P(X 105)105 110)12 )(0.4167)1(0.4167) 10.6616 0.338428、由某机器生产的螺栓长度（cm服从参数为卩=10.05 ,6 =0.06的正态分布。规定长度在范围10.05 0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少?设螺栓长度为XPX不属于(10.05 - 0.12, 10.05+0.12)=1- P (10.05 - 0.12X10.05+0.12)=1 -(10.050.12) 10.05006(10.05 0.12) 10.050.06

9、=1 - (2) - ( - 2)=1- 0.9772 - 0.0228=0.045629、一工厂生产的电子管的寿命 X （以小时计）服从参数为卩=160,（未知）的正态分布，若要求P （120 v X 200= =0.80，允许6最大为多少?P (120 v X(1, e)= e1 Y 的分布密度为：(y)fh(y) |h(y)| 1 7 1 y e0y为其他(2)求Y= 2lnX的概率密度。Y= g (X)= 2lnX是单调减函数丫又X h(Y) e 7反函数存在。a = ming (0), g (1)= min(+ s, 0 )=0B =maXg (0),g (1)= maX+ s, 0

10、 )= + sY的分布密度为：(y)fh(y) |h(y)| 11e-20 yy为其他35、设 XN (0, 1)(1)求丫=&的概率密度彳X2 X的概率密度是f(x) 1 e - , Xv2nY= g (X)=eX是单调增函数又X= h (Y ) = InY 反函数存在且a = ming (), g (+)= min(O, +)=0B = maxg ( ), g (+ )= maXO, +)= + Y的分布密度为：(2)求丫=2X+1的概率密度。在这里，丫=2乂+1在(+ x,x )不是单调函数，没有一般的结论可用设丫的分布函数是Fy (y),则Fy ( y)=P ( Y y)=P (2X+

11、1 y)当 y 1 时：Fy(y) P . y21 X y21故丫的分布密度书(y)是:当 y1 时( y)= Fy ( y)=1y1 .2-2x22 dx12n 1)(3) 求丫=| X |的概率密度。丫 的分布函数为 Fy ( y)=P (Y y )= P ( | X | y)当 y 0 时，Fy ( y)= P (| X | y )= P ( y X y)= e 2 dxy U2n 丫的概率密度为：当 y 0 时：书(y)= Fy ( y)=x22 dx236、(1)设随机变量X的概率密度为f (x)，求丫 = X 3的概率密度。Y=g (X )= X 3是X单调增函数,丄又X=h (Y

12、 ) = 丫3，反函数存在,a = min g ( g), g (+)= mi n(0, +)= gB = maxg ( g),g (+ g )= maXO, + g)= + g丫的分布密度为:1 2书(y)= f h ( h ) | h ( y)| = f(y3)占 y 乞 y,但y 0(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。法一：X的分布密度为：f(x)Y=x2是非单调函数当 x0时y=x2 ?反函数是xxx当 x0 时 y=x2 ?,yfG. y)G. y)丫f 丫 (y) = f ( 、. y)( .、y)_Ve y2ye法二：y Fy (y)P(Y y) P

13、( . y X .、y)P(X . y) P(Xy)y 0.y 0.丄e77丫f y (y) =2 . y037、设X的概率密度为求Y=sin X的概率密度。Fy ( y)=P (丫三 y)= P (sin X y)当 y0 时：Fy (当0W y 1时：XW n )y)=0Fy ( y) = P (sin X y) = P (0 X arc sin y 或 n arc sinywarcsin y2x n 2x2dxr0 n2n arcsiny n2dx当 1y 时：Fy (丫的概率密度书(y )为：y 0 时，书(y )= Fy ( y) = (0 ) = 0arcsin yn0y1 时，书

14、(y )= Fy ( y) =ZdxNdx0n2n arcsin y n2= 2njl y2iwy 时，e ( y )= Fy ( y) =(1) = 0y)=i38、设电流I是一个随机变量，它均匀分布在9安：11安之间。若此电流通过2欧的电阻，在其上消耗 W 212.求W的概率密度。解：Q I在9,11上服从均匀分布I的概率密度为:W 212的取值为162 W 242分布函数 Fw w P W w P 2I 2 w39、某物体的温度T (F )是一个随机变量,且有TN(98.6 , 2),试求率密度。已知0討32)法一：T的概率密度为f(t)(t 98.6)2又 0 g(T) 9(T32)是单调增函数。反函数存在。9T h(0)0 325且 a = ming ( o),g (+ o)= mi n( 一 OOOO)= 一 OB = maxg (),什 X)= ma* 一 OOOO)= + OO0的概率密度书(0)为法二：根据定理：若XN ( a i,(T1),贝U Y=aX+l:N (a a 计b, a 2(T2 )由于 TN (98.6, 2 )故 0