第一章一元二次方程

1、学习好资料欢迎下载1.1 一元二次方程学习目标1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界 的有效数学模型2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式，会根据实际问题列一元二次方程学习重、难点重点：一元二次方程的概念和一般形式难点：正确理解和掌握一般形式中的 a0, “项”和“系数”学习过程：一、学前准备：1、回顾方程、一元一次方程的概念：2、一个正方形的周长为12,这个正方形的边长是多少?3、一个正方形的面积等于2,这个正方形的边长是多少?二、自主探索（请仔细阅读课本 P80 P81页，完成下列问题）：1、小区在每两幢楼之间，开辟面积为 900平方米的一块长方形绿地，

2、并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？若设宽为x米，则可列方程： 2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两 年的年平均增长率？若设这两年的平均增长率为 x,则可列方程： 3、一个正方形的面积的2倍等于15,这个正方形的边长是多少？若设这个正方形的边长为 x,贝卩可列方程： 4、 一个数比另一个数大3,且两个数之积为10,求这两个数。若设设较小的一个数为x,则可列方程：议一议：观察上面列出的4个方程，它们有哪些相同点？（从方程的概念看）归纳：一元二次方程的概念：一元二次方程必须同时满足的三个条件：一元二次方程的一般形式：，其中二次项、一次项和常数项分别是

3、，二次项系数和一次项系数分别是 。三、例题教学：例1根据题意，列出方程：一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的边长？例2 把2（x2- 1） = 3 x方程化成一般形式，并写出它的二次项、一次项和常 数项；二次项系数、一次项系数四、随堂练习：（1）判断下列方程是否为一元二次方程: 5x2 + 3x = 22 (X2 1) = 3yx2-=3(x 3)=(x+ 5)、F8i练习 1 、2五、拓展延伸：1、K为何值时，关于x的方程(Q ) x2+2(k+1)x+3(k-1)=0(1) 是一元一次方程？(2)是一元二次方程？2、如果乂+X-仁

4、0,求代数式(1)2X+2X-4的值(2) 乂+2乂-7 的值六、课堂小结：引导学生总结：1、一元二次方程定义的三要素。2、一元二次方程的一般形式及二次项系数不能为零七、作业F 82 习题 1.1 1八、教(学)后反思:1.2 一元二次方程的解法(1)学习目标直接开平方法1、了解形如(x+ m) 2= n (n0)的一元二次方程的解法2、会用直接开平方法解一元二次方程学习重、难点重点：会用直接开平方法解一元二次方程难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系学习过程：一、学前准备：1、回忆一下：什么叫做平方根？2、平方根有下列性质：(1)一个正数有零的平方根是(3) 负数没有平方根23、想一想：

5、如何求出方程 x =4的解呢？二、自主探索(请仔细阅读课本 P83 P84页，完成下列问题)： 探究解方程x2 = 2根据平方根的定义，由x2= 2可知，x就是2的,因此x的值为即此一元二次方程的解为：X1 =, X2 =这种解一元二次方程的方法叫做 用直接开平方法所解方程的特点：方程左边是：方程右边是：三、例题教学例1解下列方程：(1) x2= 2(2) 4x2 1 = 0例2解下列方程:(x+ 1) 2= 2212 (3 x) 3 = 0给你提个醒：如果一个一元二次方程具有 (x+ m) 2= n (n0)的形式，那么就可 以用直接开平方法求解。(用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次

6、方程的左边 化为一个完全平方式，右边化为非负常数，且要养成检验的习惯)四、课堂练习(1) P84练习 1、2、3五、拓展延伸:1请写出一个两根互为相反数的一元二次方程2 22、解方程（2X-5）=（X+ 4）六、课堂小结1用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤;2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗?七、作业P 93 习题 1.21八、教（学）后反思:1.2一元二次方程的解法(2)学习目标1、经历探究将一元二次方程的一般(x+ m) 2= n (n 0)形式的过程，进一步理解配方法的意义2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法学习重、难点重点：使学生掌握配方法

7、，解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的学习过程：一、学前准备：1、用用直接开平方法解方程：(1)、25J 16 = 0(x+ m) 2= n (n0)形式(2)、81 (X 2) 2 = 42、试一试：把下列各式配方成完全平方式:2 2X2 +8x=(x +)2 ；2 2x _5x += (x -).2 2x-10x=(x +)22 2x _9x += (x -)3、想一想：如何解方程x2+ 6x+ 4 = 0呢?二、探索新知：(请仔细阅读课本P84P&页，完成下列问题)：我们如何解方程x2+ 6x+ 4 = 0呢？先将常数项移到方程的右边，得在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方，即

8、32后，得?即解这个方程，得归纳配方法的概念：三、例题教学例 解下列方程：(2)、x2 + 3x 1 = 0(1)、 x2 4x+ 3 = 0议一议：用配方法解二次项系数为 1的一元二次方程的一般步骤:思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方?四、课堂练习1、F87练习 1 、2、32、仔细阅读课本F86的数学实验室，体会数学中的割与补以及数形结合的思想五、拓展延伸：1、已知 x、Y满足 X2+Y2-4X+6Y+13=Q 求 2X-Y 的值2、你能判断二次三项式x2+ 4x+ 5的正负吗?3、试证明：不论X为何值，多项式3x2 4x+ 5的值总大于2x2 2x+ 1的值

9、六、课堂小结1、配方法解一元二次方程的作用是什么？配方时要注意什么？2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是什么?七、作业P 93 习题 1.2 2八、教（学）后反思：1.2 一元二次方程的解法(3)学习目标1、掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤和方法2、会正确运用配方法解一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法学习重、难点重点：使学生掌握用配方法解二次项系数不为 1的一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的 (x+ m) 2= n (n0)形式学习过程：一、学前准备：1、口述用配方法解二次项系数为 1的一元二次方程的一般步骤：2、用配方法解下列方程

10、：2 2(1) x 6x 7= 0;(2) x + 3x + 1 = 03、想一想：如何解方程2x2 5x+ 2 = 0呢？二、探索新知：(请仔细阅读课本P87 P88页，完成下列问题)：由于方程2x2 5x + 2 = 0不是(x+ m) 2= n ( n 0)的形式，因此不能用直接开平 方法解，而且也不符合上节课用配方法所解的方程的形式，但如果将方程两边同时除以 二次项系数的话就和上节课所学的一样了。即方程两边同时除以2,得F面用上节课的知识求解:小结：对于二次项系数不为1的一元二次方程，我们可以先将两边同时除以 ，再利用配方法求解。三、例题教学解下列方程： 3 X + 8x+ 1 = 0

11、一3 x2+ 4x + 1 = 0归纳：用配方法解二次项系数不为 1的一元二次方程的一般步骤:1 、2、3、4、四、课堂练习1、P88练习：(1)、( 2)、(3)、(4)、2、一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h(m)与抛出后小球运动的时间 t(s)有如下关系：h=24t-5t经过多少时间后，小球在上抛点的距离是16n?五、拓展延伸：1、已知 x、Y 满足 2乂+ 2XY-4x+4=0,求 X、Y 的值2、试用配方法证明：不论 X为何值，代数式2x2 + 4x+ 5的值总为正数六、课堂小结1、配方法解一元二次方程的作用是什么？配方时要注意什么？2、用配方法解二次项系数不为1的一元二次

12、方程的一般步骤是什么?七、作业P 93 习题 1.2 3八、教（学）后反思:1.2 一元二次方程的解法(4)学习目标1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条 件是 b24ac 02、会用公式法解一元二次方程学习重、难点重点：掌握一元二次方程求根公式的探究，并熟练地应用公式法解一元二次方程 难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式 常出符号错误 学习过程：一、学前准备：1、回顾用配方法解一元二次方程的一般步骤？2、用配方法解一元二次方程：2 x2 7x+ 3 = 03、用配方法结合直接开平方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出

13、一种 更好的方法，迅速求得一般形式的一般步骤一元二次方程ax2 + bx+ c = 0 (a0)的实数根呢？二、探索新知：(请仔细阅读课本P88P90页，完成下列问题)：用配方法探究一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 (a 0)的求根公式：因为a = 0，方程两边都除以a，得移项，得配方，得即2思考1 :当b2-4ac_0时，又已知a=0 , b -Z2aC大于等于零吗？4a2答：当b24ac _ 0时，一般形式的一元二次方程 ax2 bx c = 0 (a = 0)的根为，即。由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 bx c = 0 (a = 0)的求根公式：(b2 -4ac

14、艺 0 )归纳公式法的概念：。思考2：当b2-4acv0时，一兀二次方程ax 5x7 = 02 = 0)有头数根吗？为什么?答:三、例题教学例用公式法解下列方程: 2 x2 7x = 4 x2+ 3x+ 2 = 0归纳：用公式法解一元二次方程 ax2 bx 0(= 0)的一般步骤:1 、2、 3、4、四、课堂练习1用公式法解下列方程：(1)、2x2 + 7x = 4(2)、丄 x2+ 1x + 1 = 0(3)、x2+ 3 = 2 0 时，;(2) )当 b2-4ac = 0 时，;(3) 、当 b2-4ac v 0 时，。把(1)、(2)合起来：当当b2-4ac 0时方程有实根。我们把叫做一

15、元二次方程ax2 + bx+ c = 0(a0)的根的判别式2、反之若已知一个一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 (a0)的根的情况，也能得到判别 式的值的符号：(1) 、当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2-4ac0(2) 、当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2 -4a 0(3) 、当一元二次方程没有实数根时，b2-4ac 0三、例题教学 3 x2- 4 3 x = 4例1不解方程，判断下列方程根的情况： 3x2- x + 1 = 3x 5 (x2 + 1) = 7x例2 若方程8x2( m- 1) x+ m- 7 = 0有两个相等的实数根，求 m的值；并 解这个方程。四

16、、课堂练习1、 P9i练习 1 、22、当k为何值时，关于x的方程x2( k+ 1) x+丄口= 04(1)、有两个实数根？(2)、无实数根?五、课堂小结说一说本节课你有哪些收获？六、作业1、不解方程，判断下列方程根的情况： 4x2+ 13x+ 9 = 0 3 (x 2) = X2、当m为何值时，方程 8mx +( 8m+ 1) x+ 2m = 0有两个不相等的实数根？ 有两个相等的实数根？七、教(学)后反思：补充：阅读课本P93 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 (a 0)的两实根为X1 + X?aX1 x X2a3 x2 + 4x = 5没有实数根

17、？、X2 则:运用公式完成P93的试一试：1、21.2 一元二次方程的解法（6）学习目标1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和 多样性学习重、难点重点：因式分解法解一元二次方程难点：将方程的右边化为零后，对左边进行正确的因式分解学习过程：一、学前准备：1、把下列各式因式分解：（1）、x2 x（2）、x3 x（3）、x2 6x+92、若 ax b=0,贝U a=或 b= .二、探索新知：（请仔细阅读课本P91 P92页，完成下列问题）1、请你用不同的方法解方程 x2 x = 0【提示一】用配方法解【提示

18、二】用公式法解仔细观察方程的左边，还有其他方法可以解吗?由此得解一元二次方程又一方法 因式分解法：0给你提个醒：1、如果一个一元二次方程的一边是 0,另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解。2、因式分解法是解一元二次方程最简便的方法。三、例题教学例1解下列方程: x+ 3 x (x+ 3) = 0 x2 = 4x例 2 解方程(2x 1) 2 x2= 0四、课堂练习1、P92练习 1 、2、32、小明在解方程（x + 2） 2 = 4 （x + 2）时，在方程两边都除以（x+ 2）,得x+ 2=4，于是解得x =2,这样解正确吗？为什么?3、选用适当的方

19、法解下列方程:(2)、2x2 3X-1 = 0、（x+ 1） 2-9 = 02 2(3)、( 2x+ 3) = x2(4)、(x+ 1)+ 2 (X+ 1)+ 1 = 0五、课堂小结说一说本节课你有哪些收获?六、作业氐习题1.2 4 、5 （用因式分解法解）七、教（学）后反思：1.3 用一元二次方程解决问题(1)学习目标1、通过对实际问题的分析，进一步理解一元二次方程是刻画客观世界的有效模型2、 经历用决实际问题的过程，知道解应用问题的一般步骤和关键所在，并能根据具 体问题的实际意义，检验结果的合理性。学习重、难点重点：用一元二次方程解“组织旅游”问题难点：分析问题寻找等量关系学习过程：一、学

20、前准备：1、我们以前列一元一次方程还是列分式方程解应用题的关键是什么？2、你能列方程解决下列问题吗？(1)、一个正方体的表面积是216 cm 、已知两个数的和等于12,积等于32,求这两个数。分析：可设其中一个数为x,由“和等于12”列代数式表示另一个数为“ 12-x”,再由“积等于32”列出方程, 从而求出这两个数 、某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人,若人数不超过30人，则总费用不超过30X 800=24000 28000,所以人数应超过30人且设为x人，因此实际人均费用二 ,由此可

21、以列出方程：请写出解题过程：注：解出来的解要检验，必须符合实际意义且要符合条件中的“人均旅游费用不得低于500元”。归纳：列一元二次方程解应用题的一般步骤：三、变式题：根据例2该旅行社广告的收费标准，甲公司又组织第二批员工到龙湾风景区旅游，并支付给旅行社29250元，求该公司第二批参加旅游的员工人数。四、思维拓展:,求这个正方体的棱长？(2)、一个直角三角形的面积是24 cm 2,两条直角边的差是2 cm,求两条直角边长?二、探索新知：(请仔细阅读课本P94P95页，完成下列问题)：人均旅游费用降低10,但人均旅游费用不得低于500元。甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组

22、织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？分析：首先应得到总费用是28000,即有等量关系：春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准:如果人数超过25 人，每增加1人，人 均旅游费用降低 20 元，但人均旅游费用 不得低于700元27000元，请问该单位这某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ （06年镇江市中考题）五、课堂小结1、用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程?2、用一元二次方程解决问题的关键是什么？六、作业大本P887七、教（学）后反思:1.3 用一元二次方程解决问题（2）学习目标1、进一步

23、体会通过建立一元二次方程解决“面积与体积”和“平均增长率”问题2、进一步体会运用一元二次方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、 解决问题的能力学习重、难点重点：列一元二次方程解“面积与体积”和“平均增长率”问题难点：理解“平均增长率”中的变化过程，寻找正确的等量关系学习过程：一、学前准备：1、请写出长方形、正方形、圆等图形的面积公式以及长方体的体积公式：2、原产量、增产量和实际产量的关系为:二、探索新知：（请仔细阅读课本P95 P96页，完成下列问题）：1、一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是 5 cm,容积是500 cm 3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和

24、宽。分析：这个问题中的相等关系是 解:2、 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月 利润的月平均增长的百分率是多少？分析：这个问题中的相等关系是 如果设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，那么7月份的利润是元,8月份的利润是元。解：课堂练习、P96练习1、3、四、思维拓展：1、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540米2，道路的宽应为多少？32 m（你能想出几种解法，比一比看谁的解法简单）2、某服装店花2000元进了批服装，按50%勺利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购买，结果又一

25、次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折？五、课堂小结说一说本节课你有哪些收获?六、作业F9o习题 1.3 2 、4、5、6七、教（学）后反思：1.3 用一元二次方程解决问题（3）学习目标1、进一步认识建立一元二次方程方程模型的作用，提高数学的应用意识2、在用一元二次方程方程解决实际问题的过程中，提高抽象、概括、分析问题的 能力学习重、难点重点：用一元二次方程解决质点运动问题。难点：正确寻找等量关系。学习过程：一、情境创设一根长22cm的铁丝。（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由。二、探索活动（请仔细阅读

26、课本 P97页，完成下列问题）：分析情境问题可知：如果设这根铁丝围成的矩形的长是 xcm，那么矩形的宽是 根据相等关系： 可以列出方程求解。解：（1）、（ 2）、思考：这根铁丝围成的矩形中，面积最大是多少?三、例题教学A P B例 1 如图，在矩形 ABCD中，AB=6cm, BC=12cm，点P从 点A沿AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点 Q从点B沿边BC 向点C以2 cm/s的速度移动，问几秒后 PBC的面积等于8 cm 2?分析：题中含有等量关系： 只要用含点P、Q运动路程的代数式来表示三角形各边的长并代入等量关系式即可 得到相应的方程。解:四、课堂练习1、P38练习(0t 3

27、)那么，当t为何2、如图，在矩形 ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动。如果P、Q同时出发，用t (s)表示移动的时间值时， QAP的面积等于2cm2?五、思维拓展:1如图，有100m长的篱笆材料，要围成一矩形仓库, 要求面积不小于600吊，在场地的北面有一堵50m的旧墙， 有人用这个篱笆围成一个长40m，宽10m的仓库，但面积 只有40X 10斥，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢?2、AABC中，N B=90 : AB = 6,BC=8,点p从点A开始沿边AB向点B以卩

28、叽 的速度移动,与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2Cms的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发,当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：(1) 经过几秒，PBQ的面积等于8cm2?(2) PBQ的面积会等于10cm2吗？会，请求出此时的运动时间;六、课堂小结说一说本节课你有哪些收获?七、作业F99习题 1.3 6 、7、8八、教(学)后反思：1.3 用一元二次方程解决问题（4）学习目标1、进一步体会利用一元二次方程解决有关商品的销售问题。2、增强数学的应用意识，进一步提高分析问题、解决问题的能力学习重、难点重点：列一元二次方程解决有关商品的销售问题。难点：正确寻找出商品销售问题中的等量关系