空间向量与立体几何同步检测

1、第三章 3.13.1.2一、选择题1. 如图，ABCD AiBiCiDi是平行六面体，则下列错误的一个 命题是导学号64150650()A .存在唯一的实数对x, y,使得AC1 = xAB+yADB .存在唯一的实数对x, y,使得AC=xAB+ yADC.存在唯一的有序实数组x, y, z,使得A(C1 = xAB+yAD + zAA D .存在唯一的有序实数组x, y, z,使得AC=xAfe+yAfc + ZAA1 答案A解析若选项A中命题为真，则可得到AC1, AB, AD共面.而 由图可知AC1, AB, aD不共面.2. 已知不共线向量 a, b,且AB=a + 2b, BC=

2、5a + 6b, CD = 7a 2b,则一定共线的三点是尊学号 64150651|()A . A、B、DB. A、B、CC. B、C、DD. A、C、D答案A解析AD = CD CA= Cd + AC = CD + AB +BC = (7a 2b) + (a + 2 b) + ( 5a+ 6 b) = 3a+6b = 3AB. A、B、D三点共线，同理B、C、D三项错误.故选A.3 .已知A、B、C三点共线，O为空间任意一点，如果OC= xOA1+ gOB,则x的值为导学号641506525-6B1- 6-D5- 6-1- 6 -代 C-答案B15解析由直线向量参数方程知x+6= 1,二x=

3、6.4.设a, b是不共线的两个向量，入 氐R且？a+Q = O,则导 学号 64150653()A . a= b= 0B. A 尸 0C. A0, b= 0D.尸 0, a= 0答案B解析由共面向量定理知，选B.5 .对于空间中任意三个向量a, b,2a b, 它们疋是导学号64150654()A .共面向量B .共线向量C.不共面向量D .既不共线也不共面向量答案A解析2a b由a与b线性表出，所以三向量共面.6. 已知正方体ABCD AiBiCiDi中，P, M为空间任意两点，如 果有PM = PB1 + 7 BA + 6AAi 4A；Di ,那么 M 必I导学号 64150655()A

4、 .在平面BAD1内C.在平面BA1D1内B .在平面BAQ内D .在平面AB1C1内答案C解析本题主要考查四点共面的判断方法.由于 PM = PBi + 7 BA + 6AAi 4AiDi = PBi + BA + 6BAi 4AlDi = PB1 + BiAi + 6BAi 4A；Di = Rai + 6(RAi - PB) 4(PDi-Pai) = 11RAi - 6PB 4PDi，于是 M , B, Ai, Di四点共面，故选C.二、填空题7. 已知空间四边形OABC如图所示，M是AB的中点，N是CM 的中点，用基底a,b,c表示ON,则ON =导学号641506561 1 1 答案/

5、a+4b + 2解析ON=0M1+mN1 1 =2(OA + OB)+2MC=2(a + b) +|(AC + BC)1 1 =2(a + b) + 4(c a+ c b)111 =4a+ 4b+ 2.8. 已知 a, b, c不共面，且 m= 3a+2b+ c, n= x(a b) + y(b c) 2(c a)，若 m/ n ,贝S x + y =|导学号64150657答案4解析t n=(x+ 2)a + (y x)b (y + 2)c,x+ 2 y x丁 = T(y+ 2),5x 3y+4= 0二 x 3y 4- o ，解得 x= 2，y= 2,二 x + y= 4.三、解答题9. 正

6、方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为BBi和AQi的中点.证明：向量A1B BQ、EF是共面向量.导学号64150658解析证法一：如图所示：EF =EB+BA1 + A1f1 1 =2B1B A1B+2ATD1=只盹 + BC)A1b1=2B1C A1B.由向量共面的充要条件知,A1B、B1C、EF是共面向量.形.证法二：如右图，连结A1D、BD,取AQ中点G,连结FG、BG,1 1贝S有 FG 綊2DD1, BE 綊2DD1, FG 綊 BE.四边形BEFG为平行四边 EF/ BG. EF/ 平面 A1BD.同理，B1C/ AQ，二 B1C/平面 A1BD. A1B、BC、EF

7、都与平面A1BD平行. A1B、歸、EF共面.一、选择题1 .若ei , e是同一个平面a内的两个向量，则|导学号 64150659()A .平面a内任一向量a,都有a= & + g(入卩 R)B .若存在实数入，使入ei+0,贝S入= 0C.若ei, e2不共线，则空间任一向量a,都有a= 2ei + (入卩 R)D .若ei, e2不共线，则平面a内任一向量a,都有a= 2ei +心(入 氏R)答案D解析由共面向量定理知选D.2. 给出下列两个命题： 如果向量a, b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a,b的关系是不共线； O, A, B, C为空间四点，且向量OA, OB , OC不

8、构成空间 的一个基底，那么点O, A, B, C一定共面.其中正确的命题是导学号 64150660()A .仅B .仅C.D .都不正确答案B解析可判定不正确，正确.故选 B.3. 如图所示，已知A, B, C三点不共线，P为平面ABC内一定 点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量 OP的为导学号 64150661,( )A.OA + 2AB+ 2ACC.OA + 3aB-2aC答案CB.oA-3AB-2ACD.OA + 2AB- 3AC解析根据A, B, C, P四点共面的条件可知aP= xAB+ yAC.由图知 x= 3, y=- 2,a OP= OA+ 3AB-2AC,故选 C.4

9、 .若 a= ei + e2 + 3e3, b= e+ e2 2e3, c= ei 3e2 + 2e3, d= 4e+ 6e2 + 8e3, d = aa +由+ y ,贝a p , 丫的值分别为 导学号64150662()A.18_910，18 9 15，10，2C.18_910，1810 2答案A18a=a+B+尸 4解析由题意，有 a+p 3 y= 6解得3 a 2 p+ 2 y= 891尸-2故选A.二、填空题5.给出下列几个命题:导学号64150663a= “从上海往正北平移 9 km”，b= “从北京往正北平移 3km”，那么 a= 3b; (a+ b) + A?+ ?(a+ d)

10、= b+(1+ 莎a+ ?(c+ d); 有直线I，且I / a,在I上有点B,若AB+ Ca= 2a,则Cl.其中正确的命题是.答案解析正确.因为向量相等与始点无关；正确，因为向量运算满足分配律和结合律；正确，因为 AB+ CA=CA+ AB= CB= 2a,所以CB与I平行，又B在I上，所以C I.6. 已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 OA = 2xBO + 3yCO + 4zDO，贝S 2x+ 3y + 4z= ，导学号 64150664答案1解析OA= 2xOB 3yOC 4zOD，由A，B，C，D四点共面，则有一2x 3y 4z= 1, 2x

11、+3y+ 4z= 1.7. 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，若 A1 = xAB + 2y BC +3zCC,贝Hx + y+ z等于.导学号 64150665答案7解析如右图，A1 = AB+BC+ CC1 = AB +BC + ( 1) CC，又已知 AG = x AB + 2y BC +3z CC,-x AB+ 2y BC+ 3z C1C=aB+bC+ ( i)Ccx= 12y= 13z= 1x= 1,1y= 2,z=3/. x+y+ z= 11 1 7 + = + 2 3 6.三、解答题8. 已知非零向量e1,e2不共线，如果AB= e + e2, AC=2e1 + 8e

12、2,AD = 3ei 3e2,求证：A、B、C、D 四点共面.导学号 64150666证明 令 Xe1 + e2)+ K2e1 + 8e2)+ u(3e1 3e2)= 0, 则(Z+ 2 叶 3 U e1 + ( Z+ 8 3 Ue2 = 0.飞1、e2不共线,Z+ 2 口+ 3 u= 0, Z+ 8 a 3 u= 0.Z= 5,易知尸1, 是其中一组解，则5AB+AC+ AD = 0.U= 1.二 A、B、C、D 共面.另证：观察易得 AC+ AD = (2e1 + 8e2)+ (3e1 3e2)= 5& + 5e2 = 5(e+ e2)= 5AB. AB=蜕+5AD.由共面向量知，aB, aC, aD共面.又它们有公共点A,