计数原理、概率、随机变量及其分布

1、第7课时离散型随机变量及其分布列,基础梳理 1离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为_ _,常用字母X，Y，表示 所有取值可以一一列出的随机变量，称为_,随机,变量,离散型随机变量,2离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表,称为离散型随机变量X的_，简称为X的_，有时为了表达简单，也用等式_表示X的分布列,概率分布列,分布列,P(Xxi)pi，i1,2，n,pi0(i1,2，n,思考探究 如何求离散型随机变量的分布列？ 提示：首先确定随机变量的取值，求出离散型随

2、机变量的每一个值对应的概率，最后列成表格,3常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X的分布列是,1p,p,则这样的分布列称为两点分布列 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从_分布，而称pP(X1)为成功概率,两点,2)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件Xk发生的概 率为P(Xk)_，k0,1,2， m，其中mminM，n，且nN，MN， n，M，NN*.称分布列,为超几何分布列如果随机变量X的分布列 为超几何分布列，则称随机变量X服从 _,超几何分布,课前热身 1若随机变量X的概率分布列为,2袋中有3个白球，5个黑球，从中任取

3、两 个，可以作为随机变量的是() A至少取到1个白球 B至多取到1个白球 C取到白球的个数 D取到的球的个数 解析：选C.选项A，B表述的都是随机事件,选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2,3若某一射手射击所得环数X的分布列为 则此射手“射击一次，命中环数X7”的概率是_ 解析：P(X7)P(X7)P(X8)P(X9)P(X10)0.090.280.290.220.88. 答案：0.88,4设某运动员投篮投中的概率为P0.3，一次投篮时投中次数的分布列是 则a_，b_. 解析：此分布列为两点分布列 答案：0.70.3,考点1 离散型随机变量的分布列的性质,设离散

4、型随机变量X的分布列为 求：(1)2X1的分布列； (2)|X1|的分布列,解】由分布列的性质知： 0.2 0.10.10.3m1， m0.3. 首先列表为,从而由上表得两个分布列为： (1)2X1的分布列： (2)|X1|的分布列,题后感悟】 (1)利用分布列中各概率之 和为1可求参数的值，此时要注意检验，以 保证每个概率值均为非负数 (2)若X是随机变量，则2X1，|X1|等仍然是随机变量，求它们的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布 列，注意在求|X1|1的概率时有两种情 况，即P(|X1|1)P(X0)P(X2,2011高考湖南卷)某商店试销某种商品20天，获得如下

5、数据,考点2 离散型随机变量的分布列的求法,试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率 (1)求当天商店不进货的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列,所以X的分布列为,题后感悟】求离散型随机变量的分布列的步骤是： (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i1,2， ，n)； (2)求出取各个值xi的概率P(Xxi)； (3)列表，求出分布列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确,备选例题 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个

6、红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球， (1)求得分X的概率分布列； (2)求得分大于6分的概率 【解】(1)从袋中随机取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，得,分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8,故得分X的分布列为,变式训练 1.4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元 (1)从中任取一支，求其标价X的分布列； (2)从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔 的最高标价，求Y的分布列,解：(1)X的可能取值分别为10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X的概率分布为,Y的分布列为,考点3 超几何分布,题后感悟】

7、(1)处理概率分布问题首先应该明确分布类型若是我们熟悉的分布问题,可直接运用相关公式或结论求解 (2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数,备选例题 2011年10月1日，为庆祝中华人民共和国成立62周年，来自北京大学和清华大学的6名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有1名北京大学志愿者的概率是,1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率； (2)设随机变量为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求的分布列 【解】(1)记“至少有1名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件

8、A，则事件A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”,设有北京大学志愿者x名,所以的分布列为,变式训练 2从某批产品中，有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件，假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)0.04. (1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率; (2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列,解：(1)设任取一件产品是二等品的概率为p, 依题意有P(A)p20.04， 解得p10.2，p20.2(舍去) 故该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2,方法技巧 1.对于随机变量X的研究,需要了解随机变量将取哪些值以及取

9、这些值或取某一个集合内的值的 概率,对于离散型随机变量,它的分布正是指出了 随机变量X的取值范围以及取这些值的概率. 2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出取各个值的概率,失误防范 掌握离散型随机变量的分布列，须注意 (1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率看每一列，实际上是：上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的每完成一列，就相当于,求一个随机事件发生的概率 (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误,命题预测 从

10、近几年的高考试题来看，离散型随机变量的分布列是考查的热点，题型为解答题，分值为12分左右，属中档题,分布列常与排列、组合、概率、均值与方差等知识结合考查，以考查基本知识、基本概念为主,预测2013年高考，离散型随机变量的分布列仍然是考查的热点，同时应注意概率与分布列相结合的题目，重点考查学生的运算能力和理解能力,规范解答,本题满分10分)设S是不等式x2x60的解集，整数m，nS. (1)记“使得mn0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件； (2)设m2，求的分布列,解】(1)由x2x60得2x3， 即Sx|2x3. 2分 由于m，nZ，m，nS且mn0， 所以A包含的基本事件为： (2,