理力质点动力学

1、第三篇 动力学,动力学,一.研究对象,二.力学模型,研究物体的机械运动与作用力之间的关系,2.质点系：由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统,1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体,刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系,引 言,动力学,自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化的模型；包括刚体、弹性体、流体,三.动力学分类,质点动力学 质点系动力学,质点动力学是质点系动力学的基础,四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求

2、作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动,综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力,第九章 质点动力学的基本方程,91 动力学的基本定律 92 质点的运动微分方程,第九章 质点动力学基本方程,动力学,质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统的基础。质点动力学的基础是三个基本定律。质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化之间的关系。 质点动力学的基本定律： 第一定律(惯性定律)：不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。第一定律明确指出了物体运动状态发生变化的原因。 第二定律(力与加速度之间的关系的定律)：质点的

3、质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同,91 动力学的基本定律,动力学,设作用在质点上的力为F，质点的质量为m，质点获得的加速度为a，则牛顿第二定律可以用矢量方程表示为,动力学,第二定律建立了质点的质量、 作用于质点的力和质点运动加速度 三者之间的关系，并由此可直接导 出质点的运动微分方程，它是解决 动力学问题最根本的依据。 牛顿第二定律指出了质点加速度方向总是与其所受合力的方向相同，但质点的速度方向不一定与合力的方向相同。因此，合力的方向不一定就是质点运动的方向,动力学,第三定律(作用与反作用定律)：两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反、沿着同

4、一直线，且同时分别作用在两个物体上。 第三定律说明了力的产生是由于两个物体相互作用而引起的，它不仅适用于静止(平衡)状态的物体，而且同样适用于运动状态的物体,动力学,将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的 运动微分方程,1.矢量形式,9-2 质点的运动微分方程,2.直角坐标形式,动力学,3.自然形式,质点运动微分方程除以上三种基本形式外，还可有极坐标形式、柱坐标等形式。 应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题,动力学,质点动力学两类问题： 第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力(微分问题)。解题步骤和要点,正确选择研究对象 一般选择联系已知量和待求量的质点。 正确

5、进行受力分析,画出受力图 应在一般位置上进行分析。 正确进行运动分析 分析质点运动的特征量 。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 建立坐标系 。 求解未知量,动力学,例1 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为 ，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力,解： 选重物(抽象为质点)为研究对象； 受力分析如图所示,运动分析，沿以O为圆心，L为半径的圆弧摆动,动力学,列出自然形式的质点运动微方程,求解未知量,注 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 一部分

6、由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力,例2 已知质量为m的质点M在坐标平面 内运动，如图所示。其运动方程为 ，其中 是常数。求作用于质点上的力F。 解：将质点运动方程消去时间t，得,动力学,可见，质点的运动轨迹是以 为半轴的椭圆。对运动方程求二阶导数，得加速度,动力学,即 将上式代入公式中，得力在直角坐标轴上的投影 即 可见，F和点M的位置矢径r方向相反，F始终指向中心，其大小与r的大小成正比，称之为向心力,动力学,第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）。 已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数,解题步骤如下

7、： 正确选择研究对象。 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力 （应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确 定出其运动初始条件,动力学,选择并列出适当的质点运动微分方程,如力是常量或是时间及速度函数时， 可直接分离变量,求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用 运动的初始条件，求出质点的运动,如力是位置的函数，需进行变量置换,例1 质量为m的质点沿水平x轴运动，加于质点上的水平为 ，其中 均是常数，初始时 。求质点运动规律。 解： 研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程,建立质点运动微分方程 即,分

8、离变量，对等式两边积分，并以初始条件 代入，有,动力学,积分后得 因 ，分离变量，再次积分，并以初始条件 代入，有 积分后得,动力学,动力学,列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算,微分方程 积分一次 再积分一次,解：选择填充材料M为研究对象，受力如图所示， M作斜抛运动,例2 煤矿用填充机进行填充, 为保证充填材料抛到距离为S=5米，H=1.5米的顶板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速度v0 ? (2)初速 与水平的夹角a0,动力学,代入最高点A处值，得： 即 将到达A点时的时间t，x=S ，y=H 代入运动方程，得,发射初速度大小与初发射角 为,动力学,例3 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度,解： 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。火箭在任意位置x 处受地球引力F