高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值 理 北师大版

1、3.2导数与函数的单调性、 极值、最值,考纲要求:1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次,1.导函数的符号和函数的单调性的关系 (1)如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的; (2)如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0,则在这个区间上,函数y=f(x)是减少的. 2.函数的极值与导数 (1)函

2、数的极大值点和极大值:在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值. (2)函数的极小值点和极小值:在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值. (3)极值和极值点:极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点,4)求可导函数极值的步骤: 求出导数f(x). 解方程f(x)=0. 对于方程f(x)=0的每一个解x0,分析f(x)在x0左、右两侧的符号(

3、即f(x)的单调性),确定极值点: 若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”,则x0为极大值点; 若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”,则x0为极小值点; 若f(x)在x0两侧的符号相同,则x0不是极值点,3.函数的最值与导数 (1)最大值点:函数y=f(x)在区间a,b上的最大值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).函数的最小值点也有类似的意义. (2)函数的最大值:最大值或者在极大值点取得,或者在区间的端点取得. (3)最值:函数的最大值和最小值统称为最值. (4)求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下: 求f(x)在(a,b)内的极值; 将f(x)的各极

4、值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)已知函数f(x)在(a,b)内可导,则f(x)0是f(x)为增函数的充要条件. () (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. () (3)对可导函数f(x),f(x0)=0是x0点为极值点的充要条件. () (4)函数的极大值不一定比极小值大. () (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. (,1,2,3,4,5,2.如图是函数y=f(x)的导函数f(x)的图像,则下面判断正确的是() A.在区间(-2,1)上f(x)是增

5、加的 B.在区间(1,3)上f(x)是减少的 C.在区间(4,5)上f(x)是增加的 D.在区间(2,3)上f(x)不是单调函数,答案,解析,1,2,3,4,5,3.函数f(x)= x2-ln x的最小值是() A.0B. C.1D.不存在,答案,解析,1,2,3,4,5,4.如图是f(x)的导函数f(x)的图像,则f(x)的极小值点的个数为,答案,解析,1,2,3,4,5,5.若函数f(x)=x3+ax-2在(1,+)上是增加的,则实数a的取值范围是,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.函数f(x)在区间(a,b)上递增,则f(x)0,“f(x)0在(a,b)上成立”是“f(x)在

6、(a,b)上单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x),“f(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.如函数y=x3在x=0处导数为零,但x=0不是函数y=x3的极值点. 3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1利用导数研究函数的单调性 例1(2015兰州、张掖联考)已知函数f(x)=ln x,g(x)=f(x)+ax2+bx,其中g(x)的函数图像在点(

7、1,g(1)处的切线平行于x轴. (1)确定a与b的关系; (2)若a0,试讨论函数g(x)的单调性. 思考:如何利用导数的方法研究函数的单调性,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何利用导数的方法研究函数的单调性? 解题心得:1.导数法求函数单调区间的一般流程: 求定义域求导数f(x)求f(x)=0在定义域内的根用求得的根划分定义区间确定f(x)在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性. 2.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,

8、当f(x)不含参数时,解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间;当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 3.若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1(2015浙江嘉兴质检)已知函数 (1)当 时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在-1,1上为单调函数,求实数a的取值范围,令f(x)=0,得ex=1或ex=2, 即x=0或x=ln 2; 令f(x)0,则xln 2

9、; 令f(x)0,则0xln 2. f(x)的递增区间是(-,0),(ln 2,+);递减区间是(0,ln 2,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2利用导数研究函数的极值 例2(2015天津模拟)已知函数f(x)=ln x-a2x2+ax(aR). (1)求f(x)的单调区间与极值. (2)若函数在区间(1,+)上单调递减,求实数a的取值范围,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:函数的导数与函

10、数的极值有怎样的关系? 解题心得:1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. 3.利用导数研究函数极值的一般流程,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,cR)的导函数f(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线的斜率为4-c. (1)确定a,b的值; (2)若c=3,判断f(x)的单调性; (3)若f(x)有极值,求c

11、的取值范围,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3利用导数研究函数的最值,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:求函数的最值可划分为哪几步? 解题心得:求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤: (1)求函数在(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值,考点1,考点2

12、,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为,答案：16,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.函数y=f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)上任意子区间内都不恒等于零,则f(x)0f(x)在(a,b)上为增函数;f(x)0f(x)在(a,b)上为减函数. 2.求可导函数极值的步骤: (1)求f(x);(2)求f(x)=0的根;(3)判定根两侧导数的符号;(4)下结论. 3.求函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值时,首先求出各极值及区间端点处的函数值;然后比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行. 2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论. 3.一个函数在其定义域内最值是唯一的,可以在区间的端点取得. 4.解题时,要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好当f(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的