高等数学下复旦大学出版习题十一

1、习题十一1设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明：其中P(x,y)在L上连续证：设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段， 则 L：，始点参数为t=b1，终点参数为t=b2故2设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线，证明：，其中P(x,y)在L上连续证：L：，起点参数为x=a，终点参数为x=b故3计算下列对坐标的曲线积分：(1)，其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)，其中L为圆周x=Rcost，y=Rsint上对应

2、t从0到的一段弧；(4)，其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行)；(5)，其中为曲线x=k，y=acos，z=asin上对应从0到的一段弧；(6)，其中是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)，其中为有向闭拆线ABCA，这里A，B，C依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)，其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧解：(1)L：y=x2，x从0变到2，(2)如图11-1所示，L=L1+L2其中L1的参数方程为图11-1L2的方程为y=0(0x2a)故 (3)(4)圆周的参数方程为：x=acost，y=asint，t:02故 (

3、5)(6)直线的参数方程是 t从10故(7)(如图11-2所示)图11-2，x从01，z从01，x从01故(8)4计算，其中L是(1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；(4)曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧解：(1)L：，y：12，故(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y-2，y：12故(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L2，则L=L1+L2且L1：

4、，y：12；L2：，x：14；故从而(4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0，终点(4,2)对应的参数t2=1，故5设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a,0)沿椭圆移动到B(0,b)，求力所做的功解：依题意知 F=kxi+kyj，且L：，t：0(其中k为比例系数)6计算对坐标的曲线积分：(1)，为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第、封限；(2)，为x2+y2+z2=1在第封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分解:(1)：即其参数方程为：t：02故：(2)如图11-3所示图11-3=

5、1+2+31： t：0，故又根据轮换对称性知7应用格林公式计算下列积分：(1)， 其中L为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；(2)，其中L为正向星形线；(3)，其中L为抛物线2x=y2上由点(0,0)到(,1)的一段弧；(4)，L是圆周上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)，其中m为常数，L为由点(a,0)到(0,0)经过圆x2+y2=ax上半部分的路线（a为正数）图11-4解：(1)L所围区域D如图11-4所示，P=2x-y+4，Q=3x+5y-6，由格林公式得(2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x2sinx-2yex，则，从而，由格林

6、公式得(3)如图11-5所示，记，围成的区域为D（其中=-L）图11-5P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2，由格林公式有：故(4)L、AB、BO及D如图11-6所示图11-6由格林公式有而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)，即，于是从而(5)L，OA如图11-7所示图11-7P=exsiny-my，Q=excosy-m，由格林公式得：于是：8利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线x=acos3t，y=asin3t2ex2；(2)双纽线r2=a22cos2；(3)圆x2+y2=2ax解：(1)(2)利用极坐标与直角坐标的关系x=rcos，y=rsi

7、n得，从而xdy-ydx=a2cos2d于是面积为：(3)圆x2+y2=2ax的参数方程为故9证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：(1)；(2)；(3)沿在右半平面的路径；(4)沿不通过原点的路径；证：(1)P=x-y，Q=y-x显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，故积分与路径无关取L为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L的方程为：y=x，x：01于是(2) P=6xy2-y3，Q=6x2y-3xy2显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，有，所以积分与路径无关取L为从(1,2)(1,4)(3,4)的折线，则(3)，P，Q在右半平面内有连续偏导数，且，在右半平面内恒有，故在右半平面

8、内积分与路径无关取L为从(1,1)到(1,2)的直线段，则(4) ，且在除原点外恒成立，故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关，取L为从(1,0)(6,0)(6,8)的折线，则10验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个函数u(x,y)：(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy；(2)2xydx+x2dy；(3)(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy；(4)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy解：证：(1)P=x+2y，Q=2x+y，所以(x+2y)dx+(2x+y)dy是

9、某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分(2)P=2xy,Q=x2, ，故2xydx+x2dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分(3)P=3x2y+8xy2，Q=x3+8x2y+12yey，故(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某个定义在整个xOy面内函数u(x,y)的全微分，(4)P=2xcosy+y2cosx，Q=2ysinx-x2siny，有，故(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy是某一个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分，11证明：在整个xOy平面内除y的负半轴及原点外的开区域G内是某

10、个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数证：，显然G是单连通的，P和Q在G内具有一阶连续偏导数，并且，(x,y)G因此在开区域G内是某个二元函数u(x,y)的全微分由知12设在半平面x0中有力构成力场，其中k为常数，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关证：场力沿路径L所作的功为其中，则P、Q在单连通区域x0内具有一阶连续偏导数，并且因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关13当为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？解：因为：z=0，在xOy面上的投影区域就是故当取的是上侧时为正号，取的是下侧时为负号14计算下列对坐标的曲面积分：(1)，其中是球面x

11、2+y2+z2=R2的下半部分的下侧； (2)，其中是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第封限内的部分的前侧；(3)，其中f(x,y,z)为连续函数，是平面x-y+z=1在第封限部分的上侧；(4)，其中是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)，其中为曲面与平面z=h(h0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；(6)，其中为x=y=z=0，x=y=z=a所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)：，下侧，在xOy面上的投影区域Dxy为：x2+y2R2(2)如图11-8所示，在xOy面的投影为一段弧，图11-8故，在yOz面上的

12、投影Dyz=(y,z)|0y1，0z3，此时可表示为：，(y,z)Dyz，故在xOz面上的投影为Dxz=(x,z)|0x1，0z3，此时可表示为：，(x,z)Dxz，故因此：(3)如图11-9所示，平面x-y+z=1上侧的法向量为n=1,-1,1，n的方向余弦为，图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：(4)如图11-10所示：图11-10=1+2+3+4其方程分别为1：z=0，2：x=0，3：y=0，4：x+y+z=1， 故由积分变元的轮换对称性可知因此(5)记所围成的立体为，由高斯公式有：(6)记所围的立方体为，P=y(x-z)，Q=x2，R=y2+xz由高斯公式有15.设某流体的流速V=

13、(k,y,0)，求单位时间内从球面x2+y2+z2=4的内部流过球面的流量.解：设球体为，球面为，则流量（由高斯公式）16利用高斯公式，计算下列曲面积分：(1)，其中为平面x=0，y=0，z=0，x=a，y=a，z=a所围成的立体的表面的外侧；(2)，其中为球面x2+y2+z2=a2的外侧；(3)，其中为上半球体x2+y2a2，的表面外侧；(4)，其中是界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2=9的整个表面的外侧；解：(1)由高斯公式(2)由高斯公式：(3)由高斯公式得(4)由高斯公式得：17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：(1)，其中为圆周x2+y2+z2=a2，x+y+z=0，若从x

14、轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)，其中是用平面截立方体：0x1，0y1，0z1的表面所得的截痕，若从Ox轴的正向看去，取逆时针方向；(3)，其中是圆周x2+y2=2z，z=2，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；(4)，其中是圆周x2+y2+z2=9，z=0，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向解：(1)取为平面x+y+z=0被所围成部分的上侧，的面积为a2（大圆面积），的单位法向量为由斯托克斯公式(2)记为为平面被所围成部分的上侧，可求得的面积为（是一个边长为的正六边形）；的单位法向量为由斯托克斯公式(3)取：z=2，Dxy：x2+y24的上侧，由斯托克斯公式得：(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取：z=0，Dxy：x2+y29由斯托克斯公式得：18把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L为：(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；(2)沿抛物线y=x2从点(0,0)到点(1,1)；(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1)解：(1)L的方向余弦，故(2)曲线y=x2上点(x,y)处的切向量T=1,2x其方向余弦为，故(3)上半圆周上任一点处的切向量为其方向余弦为，故19设为曲线x=t，y=t2，z=t3上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分化成对弧